的剧烈程度，还需要研究物体内各点的相对位移。
变形的度量——应变
一个物体受作用力后，其内部质点不仅要发生相对位置的改 变（产生了位移），而且要产生形状的变化（产生了变形）。 物体的变形程度用应变来度量，物体在某一时刻的形态与早先 的形态（一般指初始状态或未变形的状态）之间的差别就是物 体在该时刻的应变。物体变形时，其体内各质点在各方向上都 会有应变。
直，相应的应变称为主应变 。
剪应变为零的方向就是应变主轴方向；主轴方向的应变就是主应变
主应变和应变张量不变量
qNi li
ij ij l j 0
主方向方程有非零解的条件是其系数行列式必为零。
ij ij 0
展开得关于 的一元三次方程：
主应变特征方程
3
(
x
y
z
)
2
[
x
y
y z
z
x
(
弹性力学
第三章 应变
§3-1 变形与应变概念 §3-2 变形连续条件 §3-3 应变增量和应变速率张量 §3-4 应力应变分析的相似性与差异性
§3-1 变形与应变概念
弹性体在受外力以后，还将发生变形。物体的 变形状态，一般有两种方式来描述：
1、给出各点的位移；2、给出各体素的变形。
弹性体内任一点的位移，用此位移在x、y、z 三个坐标轴上的投影u、v、w来表示。以沿坐标轴 正方向为正，沿坐标轴负方向为负。这三个投影称 为位移分量。一般情况下，弹性体受力以后，各点 的位移并不是定值，而是坐标的函数。
31
1 2
(
3
1
)
max
பைடு நூலகம்
1 2
(1
3
)
应变张量分解和应变偏量不变量
（4）应变张量可以分解为应变球张量和应变偏张量
x m ij yx
zx
xy y m
zy
z
xz yz
m
m
0
0
0
2 xy
2 yz
2 zx
)]
x y z
2 xy yz zx
x
2 yz
y
2 zx
z
2 xy
0
该方程一定存在三个根，设为1， 2， 3称为该点主应变:
( 1)( 2 )( 3 ) 0
主应变和应变张量不变量
再次展开关于 的一元三次方程：
3 (1 2 3 ) 2 (1 2 23 31 ) 1 23 0
m 0 0
mij
0
m
0
0 0 m
x
m
eij yx
zx
xy y m
zy
xz
yz
z m
应变球张量
应变偏张量
该应变状态只有体积 等向膨胀或收缩，而 没有形状畸变
该应变状态只有形状 畸变而没有体积改变。
应变张量分解和应变偏量不变量
应变张量分解和应变偏量不变量
用主应变表示应变偏量：
斜平面上应变向量qN的三个分量： qNi=ij lj
qN qN
1 2
11 21
12 22
13 23
l1 l2
qN 3 31 32 33 l3
如果应变矢量 qN 正在平面法线N 方向上，则在这一方向上剪 应变为零，则该法线方向即为主方向（或应变主轴）。其含义
为：在这些方向上，运动前是彼此垂直的，其运动后仍保持垂
yx zy xz
变形的度量——应变
正（线）应变
x
x
σx
σx
dx
dx
u
u +du
物体内一点 P（x,y,z）在 N (l, m, n)
方向上的线应变
N
lim r
r0 r
r ：变形前在P点处沿 N 方向所取
的微线段
r ：变形后Δr的增量
x
d d
u x
N
r r
P(x,y,z)
变形的度量——应变
少的角应变取正，反之取负。
应变分量与位移分量的关系
ABCD ABCD，求线素
A点在X方向的位移分量为u，
dy
v
AB、AD的正应变 x、 y ：
y
u u dy y
C'
v
v y
dy
D" D'
D
C
A' u
B'
v v dx
B" x
B点在X方向的位移：
u u u u dx x
线素AB的正应变为：
3 J1 2 J2 J3 0
在一定的应变状态下，物体内任一点的主应变不会随坐标系 的改变而改变，因而，特征方程中的系数 J1，J2，J3 必为常 数，称为应变不变量。
主应变和应变张量不变量
第一应变不变量
J1 x y z 1 2 3 kk
体积应变
第二应变不变量
J2
x y
0
e31 e32 e33 0 0 0 0 0 e33
0 e12 0 0 0 e13 0 0 0
e21
0
0
0
0
0
0
0
e23
0 0 0 e31 0 0 0 e32 0
都表示纯剪切变形，因此eij 只与单元的剪切变形有关
应变张量分解和应变偏量不变量
应变张量的性质： （1）存在三个互相垂直的主方向，在该方向上线元只有线 应变（主应变）而无切应变。主应变张量为
§3-1 变形与应变概念
刚体平移
刚体位移
*物体内各点之间不产生相对位移
刚体转动
位移
变形位移
线变形 *物体内各点之间产生相对位移
角变形
§3-1 变形与应变概念
由于外部因素 —— 载荷或温度变化 位移 —— 物体内部各点空间位置发生变化 位移形式 刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相对
位置不变。 变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变了物体内部各
个点的相对位置。
§3-1 变形与应变概念
刚体位移：物体内部各点位置变化，但仍保持初始状态相对 位置不变（即其体内任意两点之间距保持不变）。
刚体位移包括平行移动和转动位移
§3-1 变形与应变概念
变形位移：位移不仅使得位置改变，而且改变了物体内部各 个点的相对位置。即物体的形状发生改变。
的切应变。
MN 1
2
为变形后
M
、N
两垂直方向
间角度的变化量
则 xy ：变形后 x、y 两垂直方向间夹角的
变化量。
γ=α+β
直角改变量
N
2 1
P(x, y, z) M
变形的度量——应变
剪（切）应变——两正交线素夹角的减少
，
剪应变以直角变
，
小时为正，变大
时为负，与剪应
力的正负号规定
相对应。
正（线）应变——线素的相对伸长或缩短
x
dx dx dx
y
dy dy dy
z
dz dz dz
正应变以伸长时为正，缩短时为负， 与正应力的正负号规定相对应。
变形的度量——应变
剪（切）应变
τ
α
τ
β
物体内一点 P(x，y，z)的两垂直 方向M 和 N 方向之间的角度变化量，称之为 M 和 N 方向
ij
1 ( ui 2 x j
uj ) xi
1 2 (ui, j
uj,i )
ij yxx
xy y
xz yz
1 2
x yx
1 2
xy
y
zx
zy
z
1 2
zx
1 2
zy
1 2 1 2
xz yz
z
主应变和应变张量不变量
考虑一个法线为N的斜平面，方向余弦（l1=l，l2=m，l3=n）
xy
yx
2
yz
zy
2
zx
xz
2
变形的度量——应变
线应变
①、涉及受力物体内某一点； ②、涉及该点的某一方向； ③、是一个无量纲的物理量； ④、表征某点某方向伸长变形的线应变取
正，反之取负；
角应变
①、涉及受力物体内某一点； ②、涉及过该点的某两相垂直方向； ③、是一个有单位，无量纲的物理量。 ④、表征某点两坐标轴正方向所夹直角减
x
u x
y
v y
xy
v x
u y
同样方法来考察体素在XOZ和YOZ平面内的变形情况，可得：
z
w z
，
yz
v z
w y
，
zx
w x
u z
应变分量与位移分量的关系
x
u x
；
y
v y
；
z
w z
；
xy
u y
v x
yz
v z
w y
zx
w x
u z
该式表明了一点处的 位移分量和应变分量 所应满足的关系，称 为几何方程，也称为 柯西(Cauchy)关系。
e
x
eij 0
0 ey
0
0
e1
0
0 e2
0
0
ez
0
0
21 2 3
3
0
0
2 2 1 3
3
0
注意，纯剪应变状态
的条件与纯剪应力状
0 态的条件相同，即纯
0
剪应变的必要充分条
件是kk =0 ，因此，eij
e3
为纯剪状态，并且ij
和eij 有相同主轴。
0
0
2 3
1
2
C'
点在Y方向的位移分量：