.
6.二次型 f (x1, x2 , x3 ) = (x1 + x2 )2 + (x2 − x3 )2 + (x3 + x1 )2 的秩为
.
1+a1 1
1
11
1 1 + a2 1
11
二、（10 分）计算 n 阶行列式 D = 1
1 1 + a3
11
其中 a1a2 an 0.
11 1
1 1 + an
三、（15 分）设V1 = L(1,2 ,3), V2 = L(1, 2 ) ，求V1 V2 , V1 + V 的基和维数，其中
1=(2,-1,0,1),2 = (−1,1,1,1),3 = (0,1, 2,3)；1 = (1,0,1, 2), 2 = (−1, 2,3, 4).
（3）求出 M 2 (F ) 的一个基，使 在这组基下的矩阵是对角阵.
七、（15 分）设 f1(x), f2 (x), , fm (x), g1(x), g2 (x), , gn (x) P[x]，证明
( f1(x) fm (x), g1(x) gn (x)) = 1 ( fi (x), g j (x)) =1, i = 1,2, ,m, j = 1,2, , n.
n
八、（10 分）设整系数线性方程组为 aij x j = bi ,i = 1, 2, , n. 证明对任意整数 b1,b2 , ,bn 都有整 j =1
数解的充分必要条件是系数行列式| aij |= 1.
九、（20 分）设 是数域 P 上线性空间V 的线性变换，且 2 = ，证明：
（1） -1(0)={ - ( ) | V} . （2）V = −1(0) (V ) .
西安建筑科技大学
2019 年攻读硕士学位研究生招生考试试题
(答案书写在本试题纸上无效。考试结束后本试题纸须附在答题纸内交回) 共 1 页
考试科目:
（818）高等代数
适用专业:
数学
一、填空题（共 6 题，每题 5 分，共 30 分）
1．设 x1, x2, x3 为 f (x) = 2x3 + x2 -3x + 2 的根,则

0
-3
0
8

六、（20
分）设
M
2
(F
)
是数域
F
上一切二阶矩阵所组成的向量空间，对于任意

a c
b
d


M
2
(
F
)
，
定义

a


c
b d


=

2a-b 3d
−3a
3c
，
（1）证明 是 M 2 (F ) 上的线性变换，并且写出 在基 E11, E12 , E21, E22 下的矩阵. （2）求出 的特征根.
四、（15 分）求齐次线性方程组 2x1x1++xx2 2−−xx3 3=−0x4 = 0 解空间（是 R4 的子空间）的一组标准正交基， 并将其扩充为 R4 的标准正交基.
1 0 0 0
五、（15
分）设矩阵
A
的伴随矩阵为
A*
=

0
1
0
0

，且
A-1
XA
=
2
XA
−
3E
，求矩阵
X
.
1 0 1 0
（3）如果 是V 的线性变换，且 −1(0)， (V ) 都是 的不变子空间，则 = .
1/1
x12x2 + x1x22 + x12x3 + x1x32 + x22x3 + x2x32 =
.
2. 设 g(x) = (x − c)2, f (x) = x5 − 5qx + 4r ，则 g(x) | f (x) 的条件是
.
3. 已知矩阵 Ann , A* 为 A 的伴随矩阵，则 ( A*)* =
.
4. 已知 1 = 1,2 = x,3 = x2 和1 = 1,2 = 1+ x,3 = (1 + x)2 是线性空间 P3[x] 两组基，则由基
1,2 ,3 到基1, 2 ,3 的过渡矩阵为
.
5.已知方阵 A 满足 A3 + 2A2 − A − 3E = 0，其中 E 为单位矩阵，则 ( A + E)−1 =