变量几何法是一种基于约束的代数方法，它将几 何模型定义成一系列特征点，并以特征点坐标为 变量形成一个非线性约束方程组 当约束发生变化时，利用迭代方法求解方程组， 就可以求出一系列的特征点，从而输出新的几何 模型
在三维空间中，一个几何形体可以用一组特征点定义， 每个特征点有3个自由度．即(x，y，z)坐标值。用N个特 征点定义的几何形体共有3N个自由度，相应需要建立 3N个独立的约束方程才能唯一确定形体的形状和位置。 将所有特征点的未知分量写成矢量： X=[x1,y1,z1,x2,y2,z2,…,xN,yN,zN]T N为特征点 个数 或 X=[x1,x2,x3,x4,x5,x6,…,xn-2,xn-1,xn]T n=3N,表示形体的总自由度 将已知的尺寸标注约束方程的值也写成矢量 d=[d1,d2,d3,…,dn]T
常见的约束类型
变量设计原理
几何元素指构成物体的直线、圆等几何因素 几何约束包括尺寸约束及拓扑约束 尺寸值指每次赋给的一组具体值 工程约束表达设计对象的原理、性能等 约束管理用来驱动约束状态，识别约束不足或过约束等题； 约束网络分解可以将约束划分为较小方程组，通过联立求解得到每个几何 元索特定点(如直线上的两端点)的坐标，从而得到一个具体的几何模型
尺寸驱动示例
驱动前
修改后
前后图形的拓扑关系不变
尺寸驱动的实现
实现尺寸驱动的关键，在于尺寸链的求解 尺寸驱动的几何模型由几何元素、尺寸元素和拓扑元素 三部分组成。当修改某一尺寸时，系统自动检索该尺寸 在尺寸链中的位置，找到它的起始几何元素和终止几何 元素，使它们按新尺寸值进行调整，得到新模型，接着 检查所有几何元素是否满足约束。如不满足，则让拓扑 约束不变，按尺寸约束递归修改几何模型，直到满足全 部约束条件为止。 尺寸驱动法一般用于结构形状基本定形，可以用一组参 数来约定尺寸关系的设计对象。生产中最常用的系列化 零件就属于这一类。
工程图的特点
(1)工程图是以画法几何为基础，并符合《机械制 图》国家标难的图形。 (2)工程图中的尺寸标注是几何形体的一个直接和自 然的描述者，从而提供了一个修改几何形体的最合 适的方式。即尺寸标注的变化能自动转化到几何形 体的相应变化。 (3)工程图是由一组正投影视图构成的，尺寸标注可 以水平和垂直方向尺寸链为基础，并可规定这两个 方向的尺寸标注的作用域。
几何元素 工程约束
几何约束
约束管理
约束网络分解
几何模型
尺寸值
4.4 参数化图形建库方法
建立图形库的三种方法： (1)对于一些形状固定的图形，可用子图或符号的形式表示， 对每一种具体规格的图形分别绘出，作为单独的子图或符号 建立国库，单独调用。相当于AutocAD中的形和块。 (2)对于标准件和通用件，可以利用参数化编程的方法，编制相 应的标准件图形生成程序库。 (3)利用参数化设计的方法。一些新的CAD系统已提供参数化图 库管理工具，因此，可以采用参数化图库管理工具建立图形 库
尺寸链的求解
工程图中绝大多数是以水平和垂 直方向尺寸链即轴向尺寸链为其 主要的尺寸约束，对于角度、斜 标注、半径标注等，也可转换成 相应的轴向尺寸。
水 平 尺
a2 a3
a3 a2 a4
a5
a6
树 结 构
F
a4 a1
A
寸 链
D
a1
C
a5
a6
B
G
E
A
B
C
D
E F
G
尺寸
的 标 ，
的
尺寸
4.3.2 变量几何法
i=1,2,3,…,n
求解非线性方程组的最基本方法是牛顿迭代法
x n +1 = x n − [ f ' ( x n )] −1 F ( x n )
或
f 11 f 21 J= ... f n1 f 12 f 22 ... f n2
J • ∆x = r
... ... ... ...
参数化绘图方式操作流程
开始 交互绘图
N
满意否
Y
绘图输出
结束
两种绘图方式操作流程
图形参数化程序编写步骤
1. 分析图形的拓扑关系及其变化规律，提炼出 图形结构参数。 2. 建立图形结构参数与几何之间的关系，建立 图形的参数化模型。 3. 编程、调试图形程序
图形参数化程序的控制参数
1. 2. 3. 4. 位置参数：确定图形位于零件图上的定位基点坐标 方位参数：确定图形上的方位 结构参数：确定图形的结构形状 控制参数：控制图形的结构或视图的方向
f1n f 2n ... f nn
称作雅可比矩阵
其中
f
=
∂f ∂x
i j
i=1，2，3，…，n；j=1，2，3…，n;
∆x = [ ∆x1 , ∆x 2 ,..., ∆x n ]T
表示各个自由度的少量位移；
r = [ − F1 ,− F2 ,...,− Fn ]T
表示方程的残余数。
调用绘图函数或绘图命令编制 程序
4.2参数化图素拼装原理
根据零件不同的形状特征利用参数化编程原理实现零件拼装 的方法称为参数化图素拼装 参数化图素拼装
传动轴形状特征名称及参数
4.3 参数化设计方法
传统CAD方法的不足： （1）不能支持设计过程的完整阶段
（2）无法支持快速的设计修改和有效地利用以前 的设计结 果 （3）无法很好地支持设计的一致性维护工作 （4）不符合工程设计人员的习惯 （5）无法支持并行设计过程
约束和自由度
变量几何法的两个重要概念是约束和自由度 约束是对几何元素大小、位置和方向的限制，分为尺寸约束 和几何约束两类。 • 尺寸约束限制元素的大小，并对长度、半径和相交角度 的限制； • 几何约束限制元素的方位或相对位置关系 自由度衡量模型的约束是否充分。如果自由度大于零，则表 明约束不足，或没有足够的约束方程使约束方程组有唯一解， 这时几何模型存在多种变化形式
第4章 参数化设计技术
参数化编程原理 参数化图素拼装原理 参数化设计方法
• 尺寸驱动原理 • 变量几何法
参数化图形建库方法
参数化设计技术---引例
图形尺寸参数的变化
4.1 参数化编程原理
图形的描述可以分成三个部分 图形的拓扑关系 图形的几何参数（如点的坐标） 几何参数与图形结构参数（如图形的长、宽等）之间的关系 参数化编程方法的实质，就是将图形信息记录在程序中。 用变量记录图形的几何参数； 用程序表达几何参数与结构参数之间的关系； 调用绘图语句来描述图形的拓扑关系
参数化设计
参数化设计是以一种全新的思维方式来进行产品的 创建和修改设计的方法 它用约束来表达产品几何模型的形状持征，定义一 组参数以控制设计结果，从而能够通过调整参数来 修改设计模型，并能方便地创建一系列在形状或功 能上相似的设计方案 设计人员在更新或修改图形时，无需再为保持约束 条件而操心，可以真正按照自己的意愿动态地、创 造性地进行新产品设计 参数化设计方法大致可以分为尺寸驱动法和变量几 何法
30 o
2d
0.85d
R1.5d
2ddBiblioteka p0 ( x0 , y 0 )
p0 ( x0 , y0 )
0.7d
l
粗糙度标注符号的绘制
确定输入参数：
P0(x0,y0)------插入点坐标 α------旋转角 Ra------粗糙度Ra值
确定粗糙度符号的其它几何部 分参数
根据系统尺寸设置可以确定A1 根据P0, α确定点P1、P2、P3、P4坐标及 角度β1、β2、β3
dk
d
图形参数的确定
1. 2. 3. 4. 5. 6. 要保证图形参数可以唯一地确定图形； 机械图中的图形巳不再是抽象的几何图形，而是表示具体零件的结构，因此参 数的名称和定义应尽量结合工程实际； 优先考虑将描述零件规格、性能的参数作为图形参数； 为便于用户操作，参数的个数应尽量少； 在不影响对零件表达的情况下，图形的某些部分可采用简化画法，或使其与某 些参数建立一定关系，从而省去一些参数； 为便于参数输入操作，在程序编制时可以采取不同的输入方式；
尺寸驱动法
原理:将尺寸标注的变化自动转化成几何形状的相应变化 一个确定的几何形体由两类主要约束构成：结构约束和 尺寸约束。 结构约束是指那些不可被修改的拓扑或其他约束，例如 平行、相切、垂直、对称等； 尺寸约束包含了集合形体的度量信息，它控制了图元的 坐标、长度或半径以及图元之间的位置与方向等。 尺寸驱动技术就是根据尺寸约束，用计算的方法自动将 尺寸的变化转换成几何形体的相应变化，并且保证变化 前后的结构约束保持不变。
建立方程
f 1 ( x 1 , x 2 , x 3 ,... x n ) = d 1 f ( x , x , x ,... x ) = d 2 1 2 3 n 2 ... f n ( x 1 , x 2 , x 3 ,... x n ) = d n
写成一般形式
Fi ( x, d ) = 0