1．计算下列定积分：⑴ sin( x)dx ； 33【解法一】应用牛顿 - 莱布尼兹公式sin( x)dx sin( x)d ( x )cos( x)333 3 3 33[cos() cos( )] [ cos(cos)] 0。
33333【解法二】应用定积分换元法令 x3 u ，则 dx du ，当 x 从 单调变化到 时，u 从2单调变化到 4 ，333444 2sin( x)dx3sinuducosu 23于是有2 [coscos ]333333[ cos( cos )] 0 。
3 3⑵1dx；2(11 5x)3【解法一】应用牛顿 - 莱布尼兹公式1dx 11(11 5x) 3 d (115x)1 15x)2 12(11 5x)355(112221 [1 2 (11 1 2) 2] 1(121)51 。
10 (11 5 1)510 16512【解法二】应用定积分换元法令 11 5x u ，则 dx1du ，当 x 从 2 单调变化到 1 时， u 从 1 单调变化到516，于是有1dx 116u 3du112 161 11)51 2(11 5x)355u1(。
1210 162512⑶ 2 sincos 3 d ；【解法一】应用牛顿- 莱布尼兹公式2 sin 3d231 42 1 [cos 440]0 cos0 cos d coscoscos44 21[0 1] 1 。
44【解法二】应用定积分换元法令 cosu ，则 sin ddu ，当从 0 单调变化到 时， u 从 1 单调变化2到 0，于是有2sin cos3d0 u 3du1u 3du 1 u 4 0111 0 。
0 44⑷(1 sin 3 )d ；【解】被积式为 (1 sin 3)d ，不属于三角函数的基本可积形式，须进行变换。
由于1 是独立的，易于分离出去独立积分，于是问题成为对sin 3 d 的积分，这是正、余弦的奇数次幂的积分，其一般方法是应用第一换元法，先分出一次式以便作凑微分：sin dd cos ，余下的 sin 2 1 cos 2 ，这样得到的 (1 cos 2 )d cos 便为变量代换做好了准备。
具体的变换方式有如下两种：【解法一】应用牛顿 - 莱布尼兹公式(1 sin 3 )d1dsin 2 sin d(1 cos 2 )d cos(cos1 cos 3 ) 03 1(cos cos0) (cos 3cos 3 0) 1( 1 3 4 。
( 1 1) 1)3 3 【解法二】应用定积分换元法令 cos u ，则 sin ddu ，当 从 0 单调变化到时， u 从 1 单调变化到1，于是有(1 sin 3 )d1dsin 2 sin d(1 cos 2 )d cos11u 3 ) 11(1 u 2 ) du(u1 31 4 (11)(1 1)。
33⑸ 2 cos 2 udu ；6【解】这是正、余弦的偶次幂，其一般积分方法为，利用三角函数的半角公式：cos 2u1 cosu ，将平方部份降次成为一次的余弦三角函数： cos2 u1 cos2u ，使之2 22可以换元成为基本可积形式：【解法一】应用牛顿 - 莱布尼兹公式2cos 2 udu2 1cos2u du 1 ( 2 du 1 2 cos2ud2u)662 2 62 61(u 2261 (2 3【解法二】应用定积分换元法1sin 2u 2 )1[() 1(sin sin )]2 622 6 233) 。
4令 2ux ，则 du1dx ，当 u 从 单调变化到时， x 从 单调变化到，26 2 3于是有2cos 2 udu2 1cos2u du 1 ( 2 du 1 2 cos2ud2u) 662 2 6 2 61 (u22 61 cos xdx) 1[(2 6 )1sin x ]2 322 31 [3 1(sinsin )] 1 (33) 。
2 23 2 422dx ； ⑹2 x【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法中的三角变换法：为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方，应令x 2 sin u ，当 x 从 0 单调变化到 2 时，u从0 单调变化到，且 2 x2 2 2sin 2 u2 cosu ，2dx2 cosudu ，使得2 2 2 21cos2u2 x dx 2 cosu 2 cosudu 2 du 0 0 0 22 du 2 cos2udu u 02 1 2 cos 2ud 2u0 0 2 0u 02 12 sin 2u 21 1 x2dx；⑺ 1x221(sin0)。
2 2 2【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法中的三角变换法：为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方，应令x sin u ，当 x 从1单调2变化到 1 时，u从单调变化到，且1 x2 1 sin 2 u cosucosudu ，4 x2 sin 2 u ， dx2 sin 2 u 使得1 1 x2 dx 2 cosu cosudu 2 cot2 udu 2 (csc2 u 1)du12x2 4 sin2 u 4 4( cot u u) 2 [(cot cot ) (4 )]1。
4 2 4 2 4 a2 a2 x2dx（a 0 ）；⑻0 x【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法中的三角变换法：为使根号内的变量在后的平方差转换成完全平方，应令 x a sin u ，当 x 从0单调变化到 a 时， u 从0单调变化到，且x2a2x2a2 sin 2 u a2sin 2 u sin2 u a cosu ，2dx a cosudu ，使得a 4a 2 x 2 dx2a 2 sin 2 u a cosu a cosudu a 2 sin 2 2udux 2 04a42 1cos4udu a 4(u 1sin 4u) 42 842 0a 4[1(sin 2 0)]1 a 4 。
82 416⑼ 3dx；1x 2 1 x 2【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是 2，应该应用第二类换元法中的三角变换法：为使根号内的变量在后的平方和转换成完全平方，应令x tanu ，当 x 从 1 单调变化到 3 时， u 从单调变化到，且43dx x 2sec 2 udu sec 2 udu cosu du 1 d sin u x 2 1 tan 2 u 1 tan 2 u tan 2 u secu sin 2 u sin 2 u使得3dx3 1d sin ux 2 1 x 2 sin 2 u14这时，再令 sinut ，当 u 从 单调变化到 时， t 从 2 单调变化到3 ，4 3 22又得 3123 1 1sin 2 ud sin u22t 2dtt41 2x x 2dx ；⑽32 222 )22 (2 。
233【解】被积函数中含根号，且根指数及根号内多项式的次数都是2，应该应用第二类换元法中的三角变换法。
由于根号内的二次多项式并非为三角变换中的平方和或差的标准形式，需要先将其转化为标准形：2x x 2 1(1 2x x 2 ) 1( x 1)2 ，现在，根号内的二次多项式成为了变量在后的平方差的形式了，因此可令x 1 sin u ，当 x 从 0 单调变化到 1 时， x 1从 1单调变化到 0，从而 u 对应从单调2变化到 0，而且2x x 21 sin2 ucos 2 u cosu ， dx cosudu ，于是1 2x x2 0 cosu0 1 cos2udu1 1 0 dxcosudu2 (usin 2u)22221 ( )]1 )]}。
{[0[sin 0 sin(42224dx ；⑾11x0 2【解】 被积函数中含根号， 可见根指数与根号内多项式的次数不相等， 应该应用第二类换元法中的直接变换法：【解法一】令x u ，当 x 从 1 单调变化到 4 时， u 从 1 单调变化到 2，且由此得 x u 2 ，dx2udu ， 11 ，于是x 1 u14 dx x22udu 22(1 1 )du 2(u ln 1 u ) 121111 u11 u2[(2 1) (ln3 ln 2)]2(1 ln 32(12) 。
)ln2 3【解法二】为便于积分，可使变换后的分母成为简单变量，即令 1x u ，当 x 从 1 单调变化到 4 时， u 从 2 单调变化到 3，且由此得 x(u 1)2 ， dx2(u 1)du ，11 ，1 x u于是4dx32(u 1) 2 312(u ln u )311xu du(1) du222u2[(3 2) (ln3 ln 2)]2(1 ln 3) 。
2 1dx⑿ 31 x 1 ；4【解】 被积函数中含根号， 可见根指数与根号内多项式的次数不相等，应该应用第二类换元法中的直接变换法：【解法一】令1 x u ，当 x 从 3单调变化到1 时， u 从1单调变化到0，且由此得42x 1 u 2 ， dx2udu ，1 1 ，于是1 x 1 u 11dx0 2u1112 2 (1 )du 2(u ln u1) 0231du41 x12u 1 0u 12(1ln1ln1)1 2ln2 。
22u ，当 x 从 3单【解法二】 为便于积分， 可使变换后的分母成为简单变量，即令 1 x114调变化到 1 时， u 从单调变化到 1 ，且由此得 x 1 (u 1)2 ， dx2(u 1)du ，211，于是1 x1 u1dx 1 2(u 1)11 12 2 (12(u ln u ) 123 1 du)du41 x 12u1u2[(1) ( 1) ln 1 ln 1)]1 2ln2 。
221xdx；⒀15 4x【解】 被积函数中含根号， 可见根指数与根号内多项式的次数不相等， 应该应用第二类换元法中的直接变换法：令 5 4x u ，当 x 从 1单调变化到1 时， u 从 3 单调变化到 1，且由此得x1 (u2 5) ， dx1udu ，1 1，于是425 4xu11xdx 11 1 (u 25)1 1 125)du1 1 u 3 5u) 15 4x3u 4udu8(u( 332381[1(1 33 )5(1 3)] 1 。
8 3612e x⒁1x2dx；1 1 11e x 1 1e xdx ，为含复合函数 e x 的积分，且微分部份 dx 仅与复合函数 e x 【解】由于 x 2 dx x 2 x 2之中间变量1的微分12 dx 相差一个常数倍，可以应用第一换元积分法：xx【解法一】应用牛顿 - 莱布尼兹公式11112ex2112(e 2e 。