相当于把行列式按第一行展开
2、性质
a 11 a12 a1n
deAt
a21
a 22
a2n det AT ,
an1 an2 a nn
a 11 a21 an1
a12 a 22 an2
a1n a2n a nn
性质1 行列式与它的转置行列式相等.
deAtdeAtT
说明 行列式中行与列具有同等的地位,因此行列式的性质
a11 a21
a21 a22
—
a12 a22
+
a 1 1 1 1 1 d S 1 e 1 a 1 t 2 1 1 2 d S 1 e 2t
a1a 122 a1a 221
1 3 7
例
设
A
2
4
3
,
计算
det
A
的值.
3 7 2
解
a11
det A
a1n def
n
1 k
a1k 1 det S1k
表示一个与 A 相联系的数，
a n1 a nn
常把上述表达式称为 A 的行列式 (determinant), 记作det A
或用大写字母 D 表示,而把相联系的那个数称为行列式的值.
今后，称上述具有n 行n 列的表达式为n 阶行列式.
a11 a1n
定义
对一n阶矩阵 A
an1 ann
a n 1 a n 2 a nn
请问若给n阶行列式的每一个元素都乘以同 一数k，等于用 乘以此行列式.
推论 对 n 阶行列式A ，有 detA n det A
推论 行列式中若有两行(列)元素成比例,则此行列式为零．
证
a 11 a 12 a 1 n
a 11 a 12 a 1 n
a i 1 a i 2 a in
a 31 a 32 a 33 a 34
a41 a42 a43 a44
a11 a12 a14
A23123detS23det S23 det S23 a31 a32 a34
a11 a12 a13
a41 a42 a44
det S44 M44 a21 a22 a23 A 44144M 44M 44
结论 n 阶行列式的值是 n！个不同项的代数和，其中的每 一项都是处于行列式不同行又不同列的n 个元之乘积.
定义 对 n 阶行列式 det A，称 det Sij 为元 aij 的余子式 ,
称 Aij 1ij detSij为元 aij 的代数余子式.
例如
a11 a12 a13 a14
a 21 a 22 a 23 a 24 D
凡是对行成立的对列也同样成立.
行列式的值
定理
对n 阶矩阵 A ，有 det A
n
ak1 Ak1
也可按第1列 展开计算.
k 1
性质2 互换行列式的两行(列),行列式值反号.
175 175 例如 6 6 2 3 5 8,
358 662
17 5 715 6 6 2 6 6 2. 35 8 538
a22 a32
a23 a33
a12
1
12
a21 a31
a23 a33
a13
1
13
a21 a31
a22 a32
a 1a 12a 2 3 3a 2a 3 32 a 1a 23a 1 2 3a 2a 1 33 a 1a 32a 1 3 2a 3a 1 22
a 1a 1 2a 23 3a 1a 1 2a 33 2a1a 22a 3 3 1a 1a 22a 1 33 a 1a 32a 1 3 2a 1a 32a 231
n
1 k
a1k 1 det S1k
k 1
an1 ann
a11
det A
a1n def
n
1 k
a1k 1 det S1k
k 1
an1 ann
例 设 D a11 a12 ，计算该行列式的值
a21 a22
解 因有 S11 = [ a22 ], S12 = [ a21 ], 故
de tA a11 a12
把删去第i 行及第j 列后所得的(n–1)阶子矩阵称为对应于元
aij 的余子矩阵，并以Sij 记之.
定义 一阶矩阵 [a11 ]的行列式之值定义为数a11 ，即
def
det [ a11 ]
a11
对 n = 2, 3, … , 用以下公式递归地定义 n 阶行列式之值：
a11
det A
a1n def
以下表的形式记 3 阶行列式值的计算公式
a11 a12 a13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33
a11a22a33 a12a23a31 a13a21a32
a13a22a31a12a21a33 a11a23a32
说明 三阶行列式包括3!项,每一项都是位于不同行,不同列 的三个元素的乘积, 其中三项为正, 三项为负.
k 1
an1 ann
1 3 7
2 4 3 111 1433112 2 3
72
3 2
3 7 2
7113 2 4
3 7
8 2 3 1 4 9 7 1 1 4 1 29
若写出计算3 阶行列式值的公式为
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13
a23 a33
a11
1 11
推论 若行列式有两行(列)完全相同，则此行列式为零.
性质3 行列式的某一行(列)中所有的元素都乘以同一数k, 等于用数 k 乘此行列式.
a 11 a 12 a 1 n
a 11 a 12 a 1 n
ka i 1 ka i 2 ka in k a i 1 a i 2 a in
a n 1 a n 2 a nn
a i 1 a i 2 a in k 0.
ka i 1 ka i 2 ka in
a i 1 a i 2 a in
a n 1 a n 2 a nn
线性代数第三章第一节
本章的主要内容
§2.1 行列式的概念和性质 §2.2 行列式值的计算 §2.3 若干应用(逆阵公式、克拉默法则等) 重点内容 行列式的计算
§2.1 行列式的概念和性质
1、概念 2、性质
一、 概念
a11 a1n
对任一n
a 11 a 1 n
a31 a32 a33
注 行列式的每个元素都分别对应一个余子式和一个 代数余子式.
根据该定义，可重新表达行列式的值
a11
det A
a1n def
n
1 k
a1k 1 det S1k
an1 ann
k 1
n
a1k A1k
k 1
其中 A1k 是元 a1k 对A 或 det A 的代数余子式.