函数中任意性和存在性问题探究高考中全称命题和存在性命题与导数的结合是近年高考的一大亮点，下面结合高考试题对此类问题进行归纳探究一、相关结论：结论1：x1[a,b],x2[c,d],f(x1)g(x2) [f(x)]min[g(x)]max；【如图一】结论2：x1[a,b], x2[c,d],f(x1)g(x2)[f(x)]max[g(x)]min；【如图二】结论3：x1[a,b], x2[c,d],f(x1)g(x2) [f(x)]min[g(x)]min；【如图三】结论4：x1[a,b], x2[c,d],f(x1)g(x2) [f(x)]max[g(x)]max；【如图四】结论5：x [a,b], x [c,d],f(x)g(x )f(x)的值域和g(x)的值域交集不为空；1 2 1 2【如图五】例题1：已知两个函数f(x)8x216x k,g(x)2x35x24x,x[3,3],k R;(1) 若对x [ 3,3],都有f(x)g(x)成立，求实数k的取值范围；(2)若x [ 3,3], f(x)g(x)成立，求实数k的取值范围；使得(3) 若对x1,x2[3,3],都有f(x1)g(x2)成立，求实数k的取值范围；解：（1）设h(x)g(x) f(x)2x33x212xk,（1）中的问题可转化为：x[3,3] 时，h(x) 0恒成立，即[h(x)]min0。

h'(x) 6x26x 12 6(x 2)(x1)；当x变化时，h(x),h'(x)的变化情况列表如下：x-3 (-3,-1) -1 (-1,2) 2 (2,3) 3h(x)+ 0 －0 +h(x) k-45 增函数极大值减函数极小值增函数k-9因为h( 1) k 7,h(2) k20,所以，由上表可知[h(x)]min k 45，故k-45≥0，得1k ≥45,即k ∈[45,+∞).小结：①对于闭区间 I ，不等式f(x)<k 对x ∈I 时恒成立 [f(x)]max<k,x ∈I;不等式f(x)>k 对x ∈I 时恒成立[f(x)] min>k,x ∈I.②此题常见的错误解法：由[f(x)]max ≤[g(x)]min 解出k 的取值范围.这种解法的错误在于条 件“[f(x)]max ≤[g(x)]min ”只是原题的充分不必要条件，不是充要条件，即不等价. （2）根据题意可知，（2）中的问题等价于h(x)=g(x)－f(x)≥0在x ∈[-3,3]时有解,故[h(x)]max ≥0.由（1）可知[h(x)]max=k+7，因此k+7≥0，即k ∈[-7,+∞). (3)根据题意可知，（3）中的问题等价于 [f(x)]max ≤[g(x)]min ，x ∈[-3,3].由二次函数的图像和性质可得 ,x ∈[-3,3]时,[f(x)]max =120－k.仿照（1），利用导数的方法可求得x ∈[-3,3]时,[g(x)]min =－21.由 120－k ≥－21得k ≥141,即k ∈[141,+∞).说明：这里的x 1,x 2是两个互不影响的独立变量.从上面三个问题的解答过程可以看出 ,对于一个不等式一定要看清是对 “ x ”恒成立，还是“x ”使之成立，同时还要看清不等式两边是同一个变量，还是两个独立的变量 ,然后再根 据不同的情况采取不同的等价条件,千万不要稀里糊涂的去猜.. 例题2：(2010年山东理科22) 已知函数f(x)lnxax 1a1(aR);x1(1)当a 时，讨论f(x)的单调性；2 （2）设 2 1g(x) x 2bx4 时，若对 x 1 (0,2) x 2 [1,2] ,使 ，当a ，4f(x 1) g(x 2)，求实数b 的取值范围；解：（1）（解答过程略去，只给出结论）当a ≤0 时，函数f(x)在（0,1）上单调递减，在（ 1，+∞）上单调递增； 当a=1时，函数f(x)在（0，+∞）上单调递减；2 1时，函数f(x)在（0,1）上单调递减，在11当0<a< (1, 1)上单调递增，在（ (1, )上 2 a a 单调递减；（2）函数的定义域为（ 0，+∞），f （x ）= 1－a+a1=－ ax 2x1 a ，a=1时，由f （x ）=0可得x1=1,x2=3.xx 2x 24因为a= 1∈（0,1），x 2=3 （0,2）,结合（1）可知函数f(x)在（0,1）上单调递减，在（ 1,2） 4 2上单调递增，所以f(x) 在（0,2）上的最小值为f(1)=－1. 2由于“对 x 1∈（0,2），x 2∈[1,2],使f(x 1) ≥g(x2)”等价于“g(x)在[1,2]上的最小值不大 于f(x)在（0,2）上的最小f(1)=－1”（※）又g(x)=(x －b)2+4－b 2,x ∈[1,2],所以值.2①当b<1时，因为[g(x)]min=g(1)=5－2b>0,此时与（※）矛盾；②当b∈[1,2]时,因为[g(x)]min=4－b2≥0，同样与（※）矛盾；③当b∈（2，+∞）时，因为[g(x)]min=g(2)=8－4b.2解不等式8－4b ≤－1，可得b ≥17.综上，b 的取值范围是[ 17 ,+∞).28 8二、相关类型题： 〈一〉、"a f(x)"型； 形如"af(x)","af(x)"型不等式，是恒成立问题中最基本的类型，它的理论基础是“a f(x)在 x D 上恒成立，则 a f(x)max (xD);a f(x)在x ∈D 上恒成立，则af(x)min (xD);”许.多复杂的恒成立问题最终都可归结到这一类型.例1 ：已知二次函数 f(x) ax 2x ，若 x [0,1] 时，恒有|f(x)|1，求实数a 的取值范 围.解： |f(x)|1，∴1ax 2x 1；即 1 xax 21x ；当x 0 时，不等式显然成立，∴a ∈R.当0 x 1时，由2 11 1 11 11 xax 1 x 得： x 2xa x 2x ，而(x2x )min 0∴a 0. 又∵( 1 1 )max2，∴a 2, 2 a 0，x 2x综上得a 的范围是a[ 2,0]。

〈二〉、"f(x 1)f(x) f(x 2)"型例2 已知函数f(x) 2sin(x)，若对 x R ，都有"f(x 1) f(x) f(x 2)"成立，则2 5 |x 1 x 2|的最小值为____.解∵对任意x ∈R ，不等式f(x 1) f(x)f(x 2)恒成立，∴f(x 1),f(x 2)分别是f(x)的最小值和最大值.对于函数y sinx ，取得最大值和最小值的两点之间最小距离是π，即半个周期.又函数f(x)2sin(x)的周期为 4，∴|x 1 x 2|的最小值为2.2 5 〈三〉、."f(x1x2)f(x 1)f(x 2)"型2 2例3：(2005湖北)在y2x,ylog 22x,y x 2,ycosx 这四个函数中，当0 x 1x 2 1 时，使"f(x1x2) f(x 1) f(x2)"恒成立的函数的个数是( ) 2 2A.0 B.1 C.2 D.3解：本题实质就是考察函数的凸凹性，即满足条件"f(x1x2) f(x 1) f(x2)"的函数，2 2 3应是凸函数的性质，画草图即知 y log 22x 符合题意；选C〈四〉、."f(x 1)f(x 2)0" 型x 1 x 2例 4已知函数 f(x) 定义域为 [ 1,1] ， f(1) 1 ，若 m,n[， n0时，都有1,1]m" f(m) f(n) 0"，若f(x) t 22at 1对所有x[ 1,1]，a [1,1]恒成立，求实数t 取m n值范围. 解：任取 1x 1 x 2 1，则f(x 1) f(x 2) f(x 1)f(x 2)(x1x 2)，由已知x 1 x 2f(x 1)f(x 2) 0，又x 1 x 2 0，∴f(x 1)f(x 2) 0f ，即f(x)在[1,1]上为增函数.x 1x 2∵ f(1)1，∴x[1,1]，恒有f(x)1；∴要使 22f(x) t 2at 1 x [1,1] ，a [ 1,1] 恒成立，即要t 2at 11 恒对所有 成立，故t 2 2at 0恒成立，令g(a) 2at t 2，只须g(1)0且g(1)0， 解得t 2或t 0或t 2。

评注： 形如不等式 f(x 1)f(x 2) 0"或" f(x 1) f(x 2)恒成立，实际上是函数" x 1x 2 x 1 x 2 0"的单调性的另一种表现形式，在解题时要注意此种类型不等式所蕴涵的重要信息. 〈五〉、."f(x)g(x)"型：例5：已知f(x) 1lg(x 1) ，g(x)lg(2x t)，若当x [0,1]时，f(x) g(x))恒成立， 2求实数t 的取值范围.解：f(x) g(x)在x [0,1] 恒成立，即x 1 2xt 0在x [0,1] 恒成立 x1 2x t 在[0,1]上的最大值小于或等于零.令F(x)x 1 2x t ，F '(x) 14 x11，∵x [0,1]2 x∴F '(x)0 ，即F(x)在[0,1]上单调递减，F(0)是最大值. ∴f(x)F(0)1 t 0 ，即t 1 。

〈六〉、"f(x 1) g(x 2)"型4例6：已知函数f(x) 1x 3 x 23x 4,g(x)9x c，若对任意x 1,x 2[2,2] ，都有3 32 f(x 1) g(x 2)，求c 的范围.解：因为对任意的x,x 2 [ 2,2]，都有f(x) g(x )成立，1 1 2∴[f(x)]max[g(x)]min ，∵f '(x)x 22x3，令f '(x) 0得x 3,x1x ＞3或x＜-1；f '(x)0得1x3；∴f(x)在[ 2, 1] 为增函数，在[ 1,2]为减函数.∵ f(1) 3,f(2) 6 ，∴ [f(x)]max 3, 3 18 c c 24 ∴ ，∴ 。

. 2〈七〉、"| f(x 1)f(x 2)|t"（t 为常数）型；例7：已知函数 f(x) x 42x 3，则对任意t 1,t 2 [ 1,2] （t 1 t 2）都有2 |f(x 1)f(x 2)| ____恒成立，当且仅当t 1=____，t 2=____时取等号.解：因为| f(x 1) f(x 2)| |[f(x)]max [ f (x)]min |恒成立，由 f(x) x 42x 3,x[ 1，易求得[f(x m)a ]x 327,2] f ( ，)221 6 [f(x)]min f( 1) 5 ，∴|f(x) f(x)|2。