S3 5
S4 5
S5 5
S5
63
1
12 S16 S26 S36 S46 S56 S6612
与刚度矩阵一样有相似的性质 刚度矩阵与柔度矩阵互为逆矩阵
正轴、偏轴和一般情况
总结
材料对称性 的类型
三斜轴系 单斜轴系 正交各向异性 横观各向同性 各向同性
独立常 数数量
21 13 9 5 2
非零分量 个数
对简单层板来说，由于厚度与其他方向尺寸相比较小， 因此一般按平面应力状态进行分析
只考虑单层面内应力，不考虑单层面上应力
i Cijj i,j1,2,..6 ...,
应力分量，刚度矩阵，应变分量
i Sijj i,j1,2,..6 ...,
柔度矩阵
各向异性材料的应力应变关系
1 C11 C12 C13 C14 C15 C16 1
3
各向异性体弹性 力学基本方程
x
y
SS1211
S12
S13
S14
S15
S1
6yx
z yz
S3 S4
1 1
yzz
zx
S51
zx
xy S61 S62 S63 S64 S64 S66xy
6
弹性体受力变形的 位移与应变关系
本构方程
iC ijj
柔度分量、模量分量
u v w 1x 2y 3z
12 0 0 0 0 0 C6612
正应力与剪应变之间没有耦合，剪应力与正应变之间没有耦合 不同平面内的剪应力和剪应变之间也没有相互作用
横观各向同性材料
如果材料中每一点有一个方向的力学性能都相同，那么 为横观各向同性材料——5个独立常数
常常用来描述各向异性纤维和单向复合材料的弹性常数
1-2平面 1，2可互换
C11
S 22S 33
S
2 23
C 12
S13S 23
S12 S 33
C 22
S 33S11
S
2 13
C13
S12S 23
S13 S 22
C 33
S11S 22
S
2 12
C 23
S 12 S 13
S 23 S11
C 44
1 S 44
C 55
1 S 55
C 66
1 S 66
S11S 22S 33
15个方程求15个未知数——可解 难以实现 简化或数值解法
各向异性材料的应力应变关系
回来继续关注刚度矩阵
1 C11 C12 C13 C14 C15 C16 1
2
C21
C22
C23
C24
C25
C26
2
233 CC4311
C32 C42
C33 C43
C34 C44
C35 C45
CC4366233
C 33
1 12 21 E 1E 2
1 12 21 23 32 13 31 2 21 32 13 E 1E 2E 3
弹性常数的限制——各向同性材料
为保证E和G为正值，即正应力或剪应力乘以正应变或剪 应变产生正功
GE/2(1) 1
对于各向同性体承受静压力P的作用，体积应变可定义为：
如果材料有两个正交的材料性能对称面，则对于和这 两个相垂直的平面也有对称面（第三个）——正交各 向异性——9个独立常数
1 C11 C12 C13 0 0 0 1
2
C21
C22
C23
0
0
0
2
233 C031
C23 0
C33 0
0 C44
0 0
0 0
233
3
1
0
0
0
0 C55 0 31
w v w u u v 2 3 y z3 1 x z1 2 y x
2 xy xy
2 x y 2
2 y x 2
2 zx xz
2 x z 2
2 z x 2
2 yz yz
2 y z 2
2 z y 2
2
2x yz
x
yz x
zx y
xy z
2 2y zx
y
yz
S3 5 S4 5
S3 S4
66233
3
1
S15
S2 5
S3 5
S4 5
S5 5
S5
63
1
12 S16 S26 S36 S46 S56 S6612
正交各向异性材料用工程常数表 示的柔度矩阵
1
E1 12
E1 13
21 E2 1
E2 23
31 E3
32 E3 1
0 0 0
复合材料力学
第二课 简单层板的宏观力学性能
引言
简单层板：层合纤维增强复合材料的基本单元件 宏观力学性能：只考虑简单层板的平均表观力学性能， 不讨论复合材料组分之间的相互作用 对简单层板来说，由于厚度与其他方向尺寸相比较小， 因此一般按平面应力状态进行分析，只考虑单层板面内 应力，不考虑面上应力，即认为它们很小，可忽略 在线弹性范围内
Anisotropic Isotropy Orthotropy Failure Criterion
传统材料
对各向同性材料来说，表征他们刚度性能的工 程弹性常数有：E,G,v
E：拉伸模量 G：剪切模量 V：泊松比 其中
GE/2(1)
独立常数只有2个
各向异性材料的应力应变关系
应力应变的广义虎克定律
如果材料完全是各向同性的，则2个独立常数
C11C22C33 C12C23C31 C44C55C66(C11C12)/2
C11 C12 C12
0
0
0
1
2
233
31
C12
C12
0
0
C11 C12 0
0
C12 C11 0
0
0
0 C11 C12
2
0
0 0
0 C11 C12
2
0 0
1 2
0 0
23331
（正轴）
36
20 12 12 12
非零分量 非零分量
个数
个数
（偏轴） （一般）
36
36
36
36
20
36
20
36
12
12
各向异性材料的性质更多地取决于非零分量的个数
正交各向异性材料的工程常数
工程常数：
可以用简单试验如拉伸、压缩、剪切、弯曲 等获得
具有很明显的物理解释 这些常数比Cij或Sij中的各分量具有更明显的
xyzE/31 P2K P
K E /3 12
如果K为负，静压力将引 起体积膨胀
1/ 2
1 1/ 2
x y z P
x
x E
E
y
E
z
P E
(1
2 )
y
y E
E
x
E
z
P E
(1
2 )
z
z E
E
y
E
x
P E
(1
2 )
弹性常数的限制—— 正交各向异性材料
情况很复杂，从热力学角度来讲，所有应力做功的和 应为正值，联系应力应变的矩阵应该是正定的
0 0 0
0
0
0
S ij
E1
E2
E3
1
0
0
0
0
G 23
0
0
0
0 0
0 0
0 0
1 G 31
0
0
1
G 12
E1、E2、E3为1，2，3方向上的弹性模量 ij为应力在i方向上作用时j方向的横向应变的泊松比 G23,G31,G12为2-3，3-1，1-2平面的剪切应变
ij为应力在i方向上作用时j方向的横向应变的泊松比
1
2
233
31 12
C11 C12 C013 0 0
C12 C11 C13 0 0
0
C13 C13 C33 0 0
0
0 0 0 C44 0
0
0 0 0 0 C44 0
C1
1
0 0 0 0 0 C1 2
2123132231
C66
C11C12 2
根据纯剪切和拉伸与压缩组合之间的等效推导而出
各向同性材料
弹性力学知识
z
z
yz
xz
σy
六个应力分量 x,y,z,y,zzx ,xy
τ xy
x
主应力和主方向
材料往往在受力最大的面发生破坏，
y 物体内每一点都有无穷多个微面通
过，斜面上剪应力为零的面为主平
x
面，其法线方向为主方向，应力为
主应力，三个主应力，包括最大和
最小应力
x xy xz 0 x y z xy y yz 0 x y z zx yz z 0 x y z
S
11S
2 23
S
22
S
2 13
S
33
S
2 12
2S12S 23S 23
1
E1
21 E2
31 E3
0
0
0
12
1
32
0
0
0
E1 13
E2 23
E3
1
0
0
0
S ij
E1
E2
E3
1
0
0
0
0
G 23
0
0
0
0 0
0 0
0 0
1 G 31