（×） （ ×）
n1
n 10
13 o 若
a
2 n
收
敛
,
b
2 n
收
敛
,则
a n bn绝对 收敛 .
（ √）
n1
n1
n1
14 o 若正项级数
u n满足
n1
u n 1 1，则此级数收敛 . （ × ）
un
例： 1 n1 n
un1 n 1 un n1
2. 确定幂级数收敛域
(1)求幂级数
an
8 o 对级数
u n，若有
n1
lim u n1 n un
1 或者
lim
n
n
|
un
|
1,
则级数 u n _必___定__发___散_ . n1
9 o * 绝对收敛级数各项重排
后，新级数
___仍__然___收__敛 __ ，且
. . .
.
其和 ___不__变____.
10 o * 两个绝对收敛级数
u n s ， v n ，则其乘积是新级数
n1
n1
___u _1 _v _1 _ __( _u 1 v _2 _ __u __2 _v _1 _) _ _ _ __( _u _1 _v _n __ u 2 _v _n _ _1 __ _ _ _ _ u _n _v _1 _) _ __ _ _ ,
(2)求幂级数 an ( x x0 )n收敛区间的方法是 _令__y_=__x_–x_0_, ___先__考__虑_ n0 ___n__0a_n_y_n_的 ___收__敛 ___区 __,间 ____再__换__回__x_的__收__敛__区__间_。_____ . .
.
. . . .
3. 函数可展为幂级数的充要条件
时级数收敛。 其和 S ____u_1__ ，余项 | rn | ____u_n_+_1__ .
. .
.
7 o 级数 u n 绝对收敛，是指 n1
级数 u n条件收敛，是指 n1
____若 ___n__1|_un
| 收敛
__________
___ .
__若 ___n_1_|_u__n | 发 ___散 __,___而__n1 u__n__收__敛 __ .
例：
(1)n1
1
n1
n
（ ×）
.
8 o 若
u
n
收
敛
,则
u n收敛 .
（ ×）
n1
n1
9 o
若 u n收敛
n1
,则
1 必发散
n1 u n
.
（√）
10 o
若 u n发散， 则
n1
1 n1 u n
必 收敛
.
（ ×）
11 o
1 n1 ( n 2
0 .0001
)
收敛
.
.
12 o 若 u n 收敛 , 则 u n 收敛 , 且和不变 .
展开成正弦级数和余弦级数； 会用傅立叶级数求某些简单的数项级数的和。
二 典型例题(8个) 三 课堂练习(4个)
.
4 o 级数 1 1 1 1 1 叫 __P__–__级___数_ .
np
n1
2p 3p
np
当 __P__>__1 时 它收敛；当 ___P____1_ 时它发散 .
x
n收
敛
半
径
的
方
法是
求liman1 , 再推得R: ____n ___a_n_____________
n0
_当 _____0_,_R____1_;____当 _____0_,_R _____ _;____当 ___ ____, __R _ __0._.
求它的收敛区间的方法是 _先__求__出_R__, 再___考_虑__端__点__x=_±___R_处_的__敛__散__性__. ;
设f(x)在x0的某邻域内具 导有 数任 ，意 则阶 在该邻 f(x)可展为幂级数 件的 是 :f(x充 )的要 泰条 勒公式中
R n(x) 0(n ).
称 n 0 f n n ( ! x 0 ) ( x x 0 ) n f ( x 0 ) f ( x 0 )x ( x 0 ) f 2 ( ! x 0 ) ( x x 0 ) 2
5 o 判定正项级数敛散性的 方法主要有 _比__较___法_, __比___值__法_,
_根__值___法__ 和 _积___分__法__ 等。 6 o 级数 u1 u 2 u 3 u4 (u n 0, n 1, 2, )叫 __交__错___级___数__.
当它满足条件 1o _u _n __ _u _n _ _1 _(_n _1 _,_2 _,_ __), 2 o ___lni _m__u_n___ 0___
且新级数的和为 ___s____ .
(2) 判断是非 （是：√；非：×, 后者请举反例.）
1 o 若级数 u n 收敛，则 n1
lim
n
u
n
0.
（√）
2 o
若
lim
n
u
n
0，则级数
u n收敛 .
n1
（×）
3 o 若 | u n | 收敛，则
u n收敛 .
（√）
n1
n1
4 o 若 u n 收敛，则 | u n | 收敛 .
2.理解函数项级数的收敛域与和函数的概念；
熟练掌握确定幂级数收敛域的方法；
会求简单的幂级数的和函数；
3.函数可展为幂级数的充要条件；
4. 掌握ex,sinx , cosx , ln(1+x) , (1+x) 的麦克劳林展开式 会用间接法把函数展开成幂级数。
5. 掌握傅立叶级数的收敛定理，熟练地把周期为 2 （或2l )的函数展开成傅立叶级数； 掌握函数延拓思想，会把[0,](或[0,l ] )上的函数
（×）
n1
n1
5 o 若 u n 收敛， v n 发散 , 则 ( u n v n )发散 .
（ √）
n1
n1
n1
√ 6 o 若 u n 发散 , v n 发散 , 则 ( u n v n )可以 收敛 .（
）
.
n1
n1
n1
7 o 若 u n 收敛
n 1
,则
u
2 n
收敛
n1
.
f(nn )(!x0)(xx0)n 为函数 f (x)的泰勒级数。
当x0 0时，称
f n (0) xn f( 0 ) f( 0 ) x f( 0 )x 2 f(n )( 0 )x n
第六部分：无穷级数
第六部分 无穷级数
一 重点与难点
1.无穷级数及其收敛、发散的概念；
无穷级数的基本性质及收敛的必要条件；
正项级数的比较审敛法及几何级数和 p-级数的收敛性；
正项级数的比值审敛法和根值审敛法；
交错级数的莱布尼茨定理，级数绝对收敛和条件收敛的
概念和判别方法。
(1) 填空(10个)
(2) 判断是非(14个)