在实际的安全工作中，人们往往更加关心某时间间隔内发生事故次 数超过的概率。这可以通过计算发生事故次数不超过次的概率而求得：
泊松分布属于单参数的离散分布，当标准时间内事件发生率为为一 定时，用来计算在该单位时间内正好发生次的概率。泊松分布用来计算 标准单位（一张照片、一只机翼、一块材料等等）内的缺陷数、交通死 亡人数等等，在排队理论中占有重要的地位。
对于泊松分布，其只有一个决定其概率分布形状的参数，它的特性 如下：
①形状参数：
②参数范围： ③期望值： ④标准差： 一般来讲，从容量为的样本中观察到成功的平均数可以作为的估计 值，即
例题：如果电话号码本中每页的错误个数为2.3个，K为每页中错误 数目的随机变量。（a）画出它的概率密度和累积分布图；（b）求足以 满概括50%页数中差错误的K 。
其可靠性函数为：
其中，为形状参数，为尺度参数。 关于威布尔概率纸图 (Weibull Plotting Paper) 简称为WPP。它是指对
威布尔曲线经过线形化后，所绘制的图形。
令：， 则：
对于威布尔分布，其均值和方差分别为：
威布尔分布是可靠性理论中最为流行和广泛使用的模型，它具有下 面三个明显的优点：
到时刻t发生0次事故的概率为：
设，在时间间隔内发生了第一次事故，在此以后的时间内发生了次 事故。可以求出第一次事故发生在时间间隔内的概率为；在时间内发生 次事故的概率为。若是处于0和之间的任意值，则：
当时，
代入上式得出：
类似地，求出当时的为：
该式为参数为的泊松分布。如果已知事故发生率，给定的时间间隔为， 则可以计算出发生事故的概率。
根据公式： 其中 可以求出等的概率。
0
1
0.1003
1
1
0.2306
2
2
0.2652
3
6
0.2033
4
24
0.1169
5பைடு நூலகம்
120
0.0538
6
720
0.0206
7
5040
0.0068
8
40320
0.0019
9
362880
0.0005
10
36288800
0.0001
0.1003 0.3309 0.5961 0.7994 0.9163 0.9701 0.9907 0.9975 0.9994 0.9999 1.0000
第2章 风险评价的概率模型
学时分配：共2学时 重点和难点：泊松分布和威布尔分布
2.1 泊松分布（事故发生次数的分布）
在进行某项活动的一定的时间间隔内，发生事故的次数也具有随机 的性质。假设进行该项活动的事故发生时间分布服从指数分布。由活动 开始时刻发生次事故的概率可以表达为：
, n=0,1,2,… 式中—到时刻t发生事故的次数。
表 某直升飞机三种零件的失效数据的统计表
206-011-147-
206-011-147-
005
007
206-001-154105
156.5 213.4 265.7 265.7 337.7 337.7 406.3 573.5 573.5 644.6 744.8 744.8 1023.6
16.9 117.53 207.53 207.53 209.53 270.2 354.5 392.1 410.1 410.1 495.9 564.5 573.6 573.6
根据如上的数据，可以画出其概率图和累积分布图。
图 概率分布图
图 累积分布图 例题：某单位每月发生事故的情况如下：
每月的事故 0 1 2 3 4
数
5
频数（月 数）
27 12 8 2 1 0
（a） 根据如上的数据，认为最有可能的是每月发生一次事故，这正确 吗？（b）在均值上下各的范围是多少？
(a) 是每月发生一次事故概率为： ， 其中，
158.7 420.0 607.4 751.1 838.0 1088.4 1163.0 1199.8 4057.0
750.1 750.1 920.6
表 利用曲线拟合的方法和直线回归的方法拟合的参数
零件代码
Luxhoy & Shyur曲线
Jiang & Zuo的直线回
拟合
归
206-011-147-005 1.936156 206-011-147-007 1.164328 206-001-154-105 1250.821
每段的缺陷数 0 1 2 3 4 5 6
频数 （段数） 35 8 3 2 1 0 1
作业2：某矿200个月的因事故伤亡的人数的统 计数据如表所示。试将所观察到的频数同泊松分
布求出的频数相比较。
每月的死亡人 0 1
2
数
实际频数 （月）
100 74 22
泊松分布的概 率
理论频数（月 数）
34 31
.2 威布尔分布（Weibull Distribution ） 威布尔分布是近年来在可靠性分析中使用最为广泛的模型。一方 面，它合理的建模许多元件的寿命，如真空管、球轴承、复合材料等 等。另一方面，这个模型由于形状参数，使得它在在数据拟合上极富于 弹性。最后，它的所有可靠性基本函数都有封闭形状的解析表达式，使 得数学处理十分的便利，尤其是经过双对数变换后它能线性化，从而使 计算机图形处理以线形回归等技术能够被方便地利用。 威布尔分布是瑞典科学家W. Weibull提出的，就表达形式而言，它 可以被看作是经对指数分布的一般化而产生的模型。如果随机变量的函 数服从指数分布，则服从威布尔分布。其密度函数为：
①它具有明确的物理背景和获得大量的实践应用的检验。瑞典科学 家W. Weibull在研究材料强度等问题时，按照最弱链的假设推演出以其 名字命名的威布尔分布。随后应用于机械、电子等零部件的失效建模。
②该模型非常具有弹性：形状参数是使威布尔模型富于弹性的关键 参数：
⑴ 时，是减函数； ⑵ 时，模型退化为指数函数； ⑶ 时，密度函数是单峰的。当时，威布尔分布接近正态分布。 ③以威布尔分布为基础，已经形成了一大批可靠性模型，它们包括 具有位置参数的威布尔模型，反威布尔模型。它的混合、竞争风险，并 联、分段模型，它的截短模型等等。 例题： Luxhoy & Shyur用曲线拟合的方法建立了某直升飞机三种零 件的失效数据的统计模型，其数值和拟合的参数列表如下。
计算得出：
(b) 此时，， 故
应用泊松分布解题的步骤如下： ①检查前提假设是否成立。最主要的条件是在每一标准单位内所指 的事件发生的概率是常数； ②确定变量，求出值； ③求对应个别K的泊松分布概率； ④求若干个K的泊松分布概率的总和； ⑤求泊松分布的均值和方差； ⑥画出概率分布和累积分布图。
作业1：对连续的冷轧钢板按每10米作为一段，检查其缺陷数。检 查了50段结果如下。试求：（1）如果规定每段不得有3个以上的缺陷， 则超出规定的概率是多大？（2）求出 的范围并加以说明。
1.7988 530.392
1.5876 518.9702
1
517.3715 463.5842 110.775
1.20608
主要参考资料： 1．陈幼松, 扬位钦. 实用数理统计方法及应用题祥解. 北京: 北京科学技 术出版社, 1988 2．蒋仁言. 左明键. 可靠性模型及应用 北京: 机械工业出版社, 1999