一阶线性递推数列
1、设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2580a a +=，则5
2
S S =()D
（A ）11 （B ）5 （C ）8- （D ）11-
2、设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若111a =-,466a a +=-,则当n S 取最小值时, n 等于（ A ）
A ．6
B ．7
C ．8
D ．9
()()()()36
,6,3661222
111212
,8113411,3,62min 2211515564-==∴--=-=⨯-+-=-+=∴=∴=---=-=∴-=-=∴-==+S S n n n n n n n d n n na S d a a d a a a a a ：n 取最小值且时当解
3、已知数列{}n a 满足1133,2,n n a a a n +=-=则n
a n 的最小值为 6
63
解：
()()()()()()()6
63
,66365535133
,133333311,33,33212,2min 222112111
11=
⎪⎭⎫ ⎝⎛∴==-+=-+=+-=∴+-+-=∴++=∴=+=+⨯=-∴=-++==+∑∑n a f f n
n n f n n n n n n a n n a n n a a n
n n n a a i a a n n n n n n
i n
i i i 令
一阶线性递推数列
1、已知等差数列{}n a 满足：37a =，5726a a +=.{}n a 的前n 项和为n S . （Ⅰ）求n a 及n S ； （Ⅱ）令2
11
n n b a =
-（n N +
∈）,求数列{}n b 的前n 项和n T . 解：（Ⅰ） 数列{}n a 是等差数列，又5726a a +=，7,13,262366==∴=∴a a a 2,6713336=∴=-==-∴d d a a ，
()()*
∈+=⨯-+=-+=∴N n n n d n a a n ,1223733
()()()n n n n n n d n n na S n n 2222112212+=⨯--+=--
= （Ⅱ）()
+
∈-=N n a b n n 1
12
， ()⎪⎭
⎫ ⎝⎛+-=+=
-+=
-=
∴11141441
1
121
1
12
22n n n n n a b n n ()*==∈+=
⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-==∴∑∑N n n n
n i i b T n i n
i i n ,14111411114111
2、设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+
设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列 证明：当2≥n 时，
1121144,2424-+----=∴--+=-=n n n n n n n n a a a a a S S a
又12n n n b a a +=-，()11112222442---+=-=--=-=∴n n n n n n n n n b a a a a a a a b ∴数列{}n b 是公比为2的等比数列 。

3、在数列{}n a 中，11a =，22a =，且11(1)n n n a q a qa +-=+-（2,0n q ≥≠）． （Ⅰ）设1n n n b a a +=-（*n N ∈），证明{}n b 是等比数列； （Ⅱ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅰ）证明：(){}。

q b qb a a q b n n n n n 的等比数列是公比为数列∴=-=--,11 （Ⅱ）解：()()111121112----=-=-==n n n n n q q q a a q b b 11-+=-=∴n n n n q a a b
()n
a n n a ，a q 、q
q a q q a q q a a q 、q a a n n n n n n n n n
i i n i i i =∴+=+==--+=∴--+=∴--=-∴≠=-∴+-++=-=+∑∑,112111,111,1111,
111
1111
11
1时当时当
综上所述知：⎪⎩
⎪⎨⎧=≠--+=-1,1,1111q n q q
q a n n
课后作业
1.等差数列{a n }中，若a 2+a 4+a 9+a 11=32， 则a 6+a 7= ( D ) （A ）9 （B ）12 （C ）15 （D ）16
2.在数列
中，
，
则
的值为： （ D ）
（A ）49 （B ）50 （C ）51 (D)52
3．已知数列
1,
，
则其前n 项的和等于
1
2+n n
4、已知{a n }是公差不为零的等差数列，a 1＝1，且a 1，a 3，a 9成等比数列. （Ⅰ）求数列
的通项; （Ⅱ）求数列{}n
a 2
的前n 项和n S .
()()()()()()()
*
+*
∈-=--=++++=∈=-+=-+=∴==∴≠=∴+=++∴+=+∴=∴N n S ⅡN n n n d n a a d a d d a d d
a a d d a a d a a d a a a a ，a a a ：Ⅰn n
n n n ,222
12
122222,111,
1,0,44844,82,,13211112121212111219
123931 成等比数列解
5. 已知数列
中，
，当
时，
，
（1
）证明数列 是一个等差数列； （2）求
.
（1）证明：当2≥n 时，
()()
{}。

S S S S S S S S S S S S S a n n n n n n n n n n n n n n 的等差数列是一个公差为数列2
1
,212
11
112
1
21∴=-∴+=
-+=-=-=------ （2）解：由（1）知：数列{}n a 是一个公差为2
1
的等差数列，
()()
()
1
4
11,4
1,21
21112
12
1=+=
∴+=
∴∈+=-+=-+=∴*
a n S N n n n d n S S n n
()⎪⎩⎪
⎨⎧≥+==∴+=-
+=-=≥∴-2,4
1
21,14
1
244
12221
n n n a n n n S S ，a
n n n n n
时当
6．数列}{n a 的前n 项为n S ，∈-=n n a S n n (32N )*． （1）证明：数列{}3+n a 是等比数列；（2）求数列{}n
a 的通项公式n a
解：①当1=n 时，3,1321111=∴⨯-==a a S a ；当2≥n 时，
()()()
{}。

a a a a a a a a a a a n a n a S S a n n n n n n n n n n n n n n n n 的等比数列是公比为数列设23323,32,23
2,322132*********++=+∴=∴+=∴+=++=∴--=-+--=-=-------λλ
λλ
②}()()*
----∈-⋅=∴⋅=⋅+=⋅+=+∴+N n a a a a n n n n n n n ,32626233233,
2311111的等比数列是公比为数列
7.已知数列{}a n 的前n 项和S n b n n =+()1，其中{}b n 是首项为1，公差为2的等差 数列。

（1）求数列{}a n 的通项公式；
（2）若c a b n n n =
+
1
25()，求数列{}c n 的前n 项和n T
8.解：（1） 数列{}b n 是首项为1，公差为2的等差数列，().12211-=⨯-+=∴n n b n
()()().1212112-+=-+=+=∴n n n n b n S n n
1、当1=n 时，211==S a ， 当2≥n 时，
()()()[]
()[]
()⎩⎨⎧
∈≥-==∴-=+-=--+--=+-----+=-=*
-N
n n n n a n n n n n n n n n n S S a n n n n ,2,141,2,14112211211121222221
（2）当2≥n 时，
()()()()
()()14
151221521,3411414134141
524141111=+⨯=+=⎪⎭⎫ ⎝⎛+--=+-=
+--=b a C n n n n n n C n 又
()
*∈+-=⎪
⎭⎫ ⎝⎛+-+=
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛+--++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=++++=∴N n n n n n C C C C T n
n ,34412833417141141341141
1511111117141141321。