τ φρ —是由于 面上的切应力 τφρ 在C点 ρ
的 向有投影。
第四章 平面问题的极坐标解答
MC 0 通过形心C的力矩为0，当
考虑到二阶微量时，得
。
(c)
第四章 平面问题的极坐标解答
§4－2 极坐标中的几何方 程及物理方程
几何方程—表示微分线段上形变和位移 之间的几何关系式 。
过任一点ρ,φ 作两个沿正标向的微分线
u
,
1
u
u
,
(a)
u
1
u
u
。
第四章 平面问题的极坐标解答
物理方程
极坐标中的物理方程
直角坐标中的物理方程是代数方程，且 x 与y 为正交，
极坐标中的物理方程也是代数方程，
且 ρ与 为φ 正交，
故物理方程形式相似。
第四章 平面问题的极坐标解答
物理方程
平面应力问题的物理方程：
1 E
(
),
1 E
(
),
2(1 E
)
。
对于平面应变问题，只须作如下同样变
换，
E
E
1
2
,
。 1
第四章 平面问题的极坐标解答
边界条件
边界条件—应用极坐标时，弹性体的 边界面通常均为坐标面，即：
常数，或 常数,
故边界条件形式简单。
第四章 平面问题的极坐标解答
§4－3 极坐标中的应力函 数与相容方程
(
d)d
cos
d
2
d
cos
d
2
(
d )(
d )d
d
(
d)d sin
d
2
d
sin
d
2
f dd
0,
略去三阶微量，保留到二阶微量，得
1
2
f
0。
(b)
第四章 平面问题的极坐标解答
式(b)中第一、二、四项与直角坐标的方程 相似，而
τ ρφ —是由于 ρ面的面积大于 ρ面引起 ρ 的，
uφ
,
PA d ρ ρ
第四章 平面问题的极坐标解答
几何方程
PB转角变形前切线OP,变形后切线OP,
POP u （。使直角扩大，为负值）
此项表示：环向位移uφ引起的环向线段的转
角（极坐标中才有）。
切应变
u
u 。
第四章 平面问题的极坐标解答
几何方程
3.当 和u ρ 同u时φ 存在时，几何方程为
∴切应变为
1
u
。
第四章 平面问题的极坐标解答
几何方程
2.只有环向位移 u,φ求形变
P,A,B 变形后为 P，A，B，各点的位移如图 (b)。
第四章 平面问题的极坐标解答
几何方程
PA线应变
0
PB线应变
εφ
PB PB PB
(u
φ
uφ φ
d
φ)
u
ρdφ
1 ρ
uφ ; φ
P
(u ρ
uρ d ρ dρ
ρ)uρ
u ρ ρ
,
PB线应变
εφ
PB PB PB
PC PB PB
(ρ
u
ρ
)dφ ρ
ρdφ
uρ ρ
;
第四章 平面问题的极坐标解答
几何方程
PA转角 0,
PB转角
β
CB
CB
(u
u ρ φ
d φ) u ρ
1
u ρ
。
PC PB
ρdφ
ρ φ
此项表示，由于径向位移 u所 引起的环向 线段的伸长应变。
第四章 平面问题的极坐标解答
第四章 平面问题的极坐标解答
直角坐标(x,y)与极坐标 比(较,)：
相同:两者都是正交坐标系。
区别:直角坐标中, x和y坐标线都是直线,有
固定的方向, x和y的量纲均为L。
极坐标中, 坐标线（ =常 数）和 坐标线 （ =常数）在不同点有不同的方向;
第四章 平面问题的极坐标解答
上式中一阶微量相互抵消，保留到二阶微 量，得
1
f
0。
(a)
式(a)中第一、二、四项与直角坐标的方向 相似；而
第四章 平面问题的极坐标解答
σ ρ —是由于 ρ面面积大于 面ρ
ρ 面积而引起的，
σφ —是由于φ面上的 在C点的 ρ 向有投影。
第四章 平面问题的极坐标解答
Fφ 0 通过形心C的 φ向合力为0，
作用力
微分体上的作用力有： 体力— f ρ , fφ ， 以坐标正向为正。
应力— ρ面，φ 面分别表示应力及其
增量。 应力同样以正面正向，负面负向的 应力为正，反之为负 。
第四章 平面问题的极坐标解答
平衡条件
平衡条件 应用假定:（1）连续性，（2）小变形。
考虑通过微分体形心 C 的, 向，列出
三个平衡条件:
应用
坐标线为直线, 坐标线为圆弧曲线; 的 量纲为L, 的量纲为1。这些区别将引起弹性
力学基本方程的区别。
对于圆形，弧形，扇形及由径向线和 环向围成的物体，宜用极坐标求解。用极 坐标表示边界简单，使边界条件简化。
第四章 平面问题的极坐标解答
§4－1 极坐标中的平衡 微分方程
在A内任一点（ ，）取出一个微分
段,
PA d, PB d。
第四章 平面问题的极坐标解答
几何方程
1.只有径向位移 ，u求 形变。
P,A,B 变形后为 P',，A'各,B点' 的位移如图。
第四章 平面问题的极坐标解答
几何方程
在小变形假定下，β 1
cos 1,
PBPC,
sin ,
tan 。
PA线应变
ερ
PA PA PA
第一节 极坐标中的平衡微分方程 第二节 极坐标中的几何方程及物理方程 第三节 极坐标中的应力函数与相容方程 第四节 应力分量的坐标变换式 第五节 轴对称应力和相应的位移
第四章 平面问题的极坐标解答
第六节 圆环或圆筒受均布压力 第七节 压力隧洞 第八节 圆孔的孔口应力集中 第九节 半平面体在边界上受集中力 第十节 半平面体在边界上受分布力 例题 习题的提示与答案 教学参考资料
F 0,
F 0, Mc 0。
第四章 平面问题的极坐标解答
Fρ 0 通过形心C的 ρ向合力为0，
(
d )(
d )d
d
(
d)d sin
d
2
d
sin
d
2
(
d)d
cos
d
2
d
cos
d
2
f dd
0,
其中可取
cos d 1,
2
sin
d
2
d
2
,
而
第四章 平面问题的极坐标解答
以下建立直角坐标系与极坐标系的变 换关系，用于： ➢物理量的转换; ➢从直角坐标系中的方程导出极坐标系中 的方程。
第四章 平面问题的极坐标解答
坐标变换
1.从直角坐标系到极坐标系的变换
坐标变量的变换：
x cos,
反之
x2 y2 ,
ysin; (a) arctan y。 (b)
体，考虑其平衡条件。 微分体─由夹角为 dφ的两径向线和距离
为 d ρ的两环向线围成。
第四章 平面问题的极坐标解答
第四章 平面问题的极坐标解答
注意：
两 面不平行，夹角为 dφ；
两面面积不等，分别为 ρdφ ，ρd ρdφ。
从原点出发为正， 从 x 轴向 y 轴方向
转向为正。
第四章 平面问题的极坐标解答