A
B
l
探究 将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．
你能要自己的语言重新描述一下问题吗？
探究 将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直线．
C
你能要自己的语言重新描述一下问题吗？ C是l上一个动点， 当点C在l的什么位置时，AC+BC最小？
探究 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
探究 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者， 名叫海伦．有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百 思不得其解的问题： 从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地 ．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？
A
B
l
将军饮马问题
精通数学、物理学的海伦稍加思索，利用轴对称的 知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题” 你能将这个问题抽象为数学问题吗？
拓广探索
如图，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再 到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径 .
一开始的时候我们就讨论过点A，B在直线异侧的情况， 你还记得是怎么做的吗？ 连接两点，交点就是所求 同侧的情况也能直连接两点吗？不行
探究
如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点 ，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
能不能把点在同侧的问题转化 为点在异侧的问题呢？ 提示：将点B“移”到l 的另一侧 B′处，得满足直线l 上的任意一 点C，都保持CB 与CB′的长度相 等 你．想到怎么做了吗？
如图，A、B两地在一条河 的两岸，现要在河上建一座 桥MN，桥造在何处才能使 从A到B的路径AMNB最短 ？（假设河的两岸是平行的 直线，桥要与河垂直）
你能把这个问题抽象成一 个数学问题吗？
抽象
可以把河的两岸看成两条平行线a和b， N为直线b上的一个动点，MN 垂直于直线b，交直线a于点M， 当点N在直线b的什么位置时，AM+MN+NB最小？
复习巩固
如图，在△ABC 中，∠ABC =50°，∠ACB =80°，延长 CB至D，使DB =BA，延长BC 至E，使CE =CA，连接 AD，AE .求∠D，∠E，∠DAE 的度数 .
复习巩固 如图，AD =BC，AC=BD，求证：△EAB 是等腰三角形 .
复习巩固
综合应用
试确定如图所示的正多边形的对称轴的条数，一般地 ，一个正n边形有多少条对称轴？
如图，在直角三角形BCD中，若点M、N分别是线段BD、BC 上的两个动点，请在图上找到CM+MN最小时，M，N点的位 置提．示：试一试对称．
答案：作点C关于BD的对称点C ’ ，然后过C’作BC的垂线，交BD 于M，交BC于N．
总结
这节课我们学到了什么？ 将军饮马问题
条件特点 简称为：两定一动
直线同侧的两个定点和直线上一个动点
分析
这又是求线段和最小的问题 ，你能想到什么呢？
能变成这种基 本类型就好了
AM，MN，NB这三条线段的长度都会变化吗？ 只有AM和NB会变，MN是不变的． 所以当AM+NB最小时，AM+MN+NB最小．
思考
怎么把这个问题转化为基本类型呢？
将AM沿着垂直于河岸的方向 平移一个河宽的距离到A'N．
现在就变成基本类型了．
最短路径问题
制作人：睿科知识云
知识回顾 如图所示，从A地到B地有三条路可供选择，你会选走哪条路最近 ？你的理由是什么？
选第②条 两点之间，线段最短
两点在一条直线异侧 已知：如图，A，B在直线L的两侧，在l上求一点P ，使得PA+PB最小．
这是为什么呢？ 两点之间，线段最短
连接AB，线段AB与直线l的交点P ，就是所求．
提示2：分别作A点关于OM， ON的对称点．
将军饮马问题的变式
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边 OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小 答．案：分别作点A关于OM ，ON的对称点A′，A″；连 接A′，A″，分别交OM， ON于点B、点C，则点B、 点C即为所求．
例题
某供电部门准备在输电干线上连接一个分支线路，分支点为 M ，同时向 A，B 两个居民小区送电 . （1） 如果居民小区 A，B 在主干线 l 的两旁，如图（1）所示 ，那么分支点 M 在什么地方时总线路最短？在图上标注位置， 并说明理由．
例题
某供电部门准备在输电干线上连接一个分支线路，分支点为 M
将军饮马问题的变式
如图，牧区内有一家牧民，点A处有一个马厩，点B处是他的家 ， 是草地的边沿， 是一条笔直的河流 . 每天，牧民要从马厩 牵出马来，先去草地上让马吃草，再到河边饮马，然后回到家B 处 . 请在图上画出牧民行走的最短路线 ( 保留作痕迹 ) .
将军饮马问题的变式 如图，已知∠AOB，P是∠AOB内部的一个定点，点E、F分别 是OA、OB上的动点， （1）要使得△PEF的周长最小，试在图上确定点E、F的位 置 ; （2）若OP=4，要使得△PEF的周长为4，则∠AOB=_____°．
AC ′+BC ′= AC ′+B ′C ′， ∵ AC ′+B ′C ′＞AB ′, ∴ AC ′+BC ′＞ AC +BC， 即AC+BC最短．
归纳总结
将军饮马问题
条件特点 简称为：两定一动 直线同侧的两个定点和直线上一个动点 问题特点 求线段和最小 求解思路 利用轴对称，化折为直 求解原理 两点之间，线段最短
问题特点 求线段和最小
求解思路 利用轴对称，化折为直
求解原理 两点之间，线段最短
总结 条件特点
这节课我们还学到了什么？ 造桥选址问题
平行间的垂线段的端点到两侧定点的距离之和
问题特点 求线段和最小
求解思路 利用平移，转移线段
求解原理 两点之间，线段最短
美术字与轴对称
利用轴对称设计图案
利用轴对称设计图案
归纳总结 条件特点
造桥选址问题
平行间的垂线段的端点到两侧定点的距离之和
问题特点 求线段和最小
求解思路 利用平移，转移线段
求解原理 两点之间，线段最短
将军饮马问题的变式
已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边 OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小 ． 提示1：利用轴对称，化折为直．
综合应用
如图，从图形Ι 到图形Ⅱ是进行了平移还是轴对称？如果 是轴对称，找出对称轴；如果是平移，是怎样平移？
综合应用
如图，AD是△ABC 的角平分线，DE，DF 分别是△ABD 和△ACD的高 . 求证：AD 垂直平分EF .
综合应用
如图，在等边三角形 ABC 的三边上，分别取点D，E，F ，使AD =BE =CF . 求证△DEF 是等边三角形 .
怎么确定取最小时的N点呢？
你能证明这个结论吗？
连接A’B，与直线b的交点就 是所求．
证明 证明：如图，在直线b上取一个不与N重合的点N’，作 M’N’⊥a于点M’，连接AM’,BN’，A’N’． 由平移的性质可知， AM’=A’N’，AM=A’N ∵A’N’+N’B＞A’B ∴AM’+N’B＞AM+NB ∴AM’+N’B＞AM+NB ∴AM’+M’N’+N’B＞AM+MN+NB
探究 如图，点A，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点 ，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？
作法：
作点B 关于直线l 的对称点B ′；
B’
你能证明此时 AC+BC最短吗？
连接AB ′，与直线l 相交于点C 则点．C 即为所求．
证明 证明此时AC+CB 最短
证明：如图，在直线l 上任 取一点C ′（与点C 不重合） ，连接AC ′，BC ′，B ′C ′． 由轴对称的性质知， BC =B ′C，BC ′=B ′C ′． ∴AC +BC= AC +B ′C = AB ′，
，同时向 A，B 两个居民小区送电 .
（2） 如果居民小区 A，B 在主干线 l 的同旁，如图（2） 所示
，那么分支点 M 在什么地方时总线路最短？在图上标注位置，
并说明理由 .
作A的对称
点可以吗
？
B’
练习
如图，P，Q是△ABC的边AB，AC上的两定点，在BC上求 作一点M，使△PMQ的周长最短．
提示：这本质上是“两定一动 ” 求线段和最小的将军饮马问题 ．
练习 如图，一个旅游船从大桥AB的P 处前往山脚下的Q 处接游客，然 后将游客送往河岸BC上，再返回P 处，请画出旅游船的最短路径 ． 提示1：先把问题抽象为数学问题．
提示2：这本质上是“两定一动” 求线段和最小的将军饮马问题．
造桥选址问题
拓广探索
在纸上画五个点，使任意三个点组成的三角形都 是等腰三角形 . 这五个点应该怎样画？
拓广探索
如图，△ABC 是等边三角形，BD 是中线，延长BC 至 E，使CE =CD . 求证DB =DE .
拓广探索
如图，△ABC 是等腰三角形，AC =BC，△BDC 和△ACE 分别为等边三角形，AE 与BD 相较于F，连接CF 并延长 ，交AB 于点G . 求证：G 为AB 的中点 .
答案：（2）30°．
角内一点出发的折线
如图，点A是∠MON 内的一点，在射线OM 上作点 P，使 PA与点P 到射线ON 的距离之和最小 .
提示：试一试对称．
答案：作点A关于OM 的对
称点A’，然后过A’作ON
的垂线，交OM 于P，交ON
于Q．