第 34 卷 第 7 期 2013 年 7 月
宇
航
学
报
Journal of Astronautics
Vol． 34 July
No． 7 2013
基于凸优化理论的含约束月球定点着陆 轨道优化
林晓辉，于文进
（ 哈尔滨工业大学卫星技术研究所，哈尔滨 150080 ）
摘
要： 针对月球精确定点软着陆问题， 考虑导航及障碍检测敏感器视场约束及制动发动机推力大小约束，
对月球动力下降段轨道优化方法进行了研究 。首先建立了含约束条件的三维定点软着陆轨道优化问题模型， 根据 庞德亚金极小值原理推导了最优推力开关方程， 并给出了推力奇异区间不存在的证明 。 针对优化模型中的复杂非 线性约束， 引入凸优化理论将问题转化为二阶锥优化问题， 并采用内点法求解了最优标称轨迹 。 最后给出了月球 软着陆制动段、 接近段的仿真结果， 验证了该着陆轨道优化方法的有效性 。 关键词： 精确着陆； 含约束轨道优化； 推力奇异分析； 凸优化； 内点法 中图分类号： V448． 2 文献标识码： A 1328 （ 2013 ） 07090108 文章编号： 1000DOI： 10． 3873 / j． issn． 10001328． 2013． 07． 003
0
引
言
的嫦娥探月三期工程也明确提出了实现复杂地形下 的大载荷高精度安全着陆的任务要求
［2 ］
。
为了能够对月球南极可能存在水冰的这样的特 定区域进行采样探测， 越来越多的月球着陆任务需 要探测器具有精确定点软着陆的能力 。在美国的重 返月球计划中提出了在月球任意位置任意时间实现 着陆误差为百米级的精确着陆任务要求
［7 － 8 ］
。国内目前对于含有敏感器视场约束的月球
着陆轨迹优化问题的研究还没有相关成果发表 。 本文考虑实际工程约束， 对月球精确着陆轨迹 结构如下： 第 1 节建立含约束 优化问题进行了研究， 的着陆器三维定点着陆轨迹优化问题模型 ； 第 2 节 根据庞德亚金极小值原理推导最优推力开关方程 ， 并证明推力奇异区间不存在； 第 3 节通过凸变换及 证 系统离散化将问题转化为二阶锥参数优化问题 ， 明最优解存在， 并采用内点法求解最优轨迹； 第 4 节 对月球制动段和接近段轨迹优化仿真分析 ， 验证方 法的有效性； 第 5 节给出结论。 1 月球定点着陆轨迹优化问题建模 在月球惯性坐标系下考虑月球自转运动， 基于 为保证着陆器到达预定着陆点， 只需 轨道交会思想， 保证在着陆器飞行时间内， 着陆目标点和着陆器同 时到达惯性空间同一点。而着陆目标点在惯性坐标 所以动力学建模只需考 系下的运动规律是已知的， 虑着陆器在惯性空间的运动状态 。根据牛顿第二定 忽略其他天体引力摄动， 在图 1 所示月球惯性坐 律，
^ T F ≥ F cosγ n
其中式（ 5 ） 为实现定点着陆需满足的初始和终端状 态约束。式（ 6 ） 为避免着陆过程中着陆器与月球表 H safe 为安全高度。 面相撞的轨道高度约束， 式（ 7 ） 为 推力大小约束， 考虑实际着陆过程中制动发动机点 为提高可靠性必须降低二次点火次数 ， 所以一 火后， 般最小推力值不为零， 而是降低到最小推力状态。 式 （ 8 ） 和式（ 9 ） 为接近段敏感器视场对着陆轨迹高度 珓 角及姿态指向约束， 其中 θ alt 为轨迹高度角， θ alt 为高 γ 为姿态指向约束锥角。 度角约束， 2 最优条件分析 对于上节所建立的存在闭集约束的最优控制问 题， 由经典变分理论得出的欧拉方程已不再适用， 需根 据庞德亚金极小值原理得到控制量最优的必要条件。 令哈密尔顿函数 H 为： H =
其中 R 为着陆目标点与月心的距离， α B0 、β B0 为着陆 目标点在初始时刻位置坐标， ω 为月球自转角速度。 针对以上着陆器在惯性系下的三维动力学模 型， 给出含有约束的定点软着陆轨迹优化问题模型 。 若使着陆过程燃耗最小， 可选择着陆器终端质量最 大为指标函数， 由质量方程可得： m （ t f ） = m0 +
· λ r = － H = μ λ v r R3 · H λ V = － v = － λ r T · λ = － H = λ v F m m m2
r ≥ R + H safe T min ≤ F ≤ T max θ alt
（ r － rB ） T rB π 珓 = － arccos（ ） ≥θ （ 8） alt 2 r － rB rB （ 9）
图1 Fig． 1 惯性坐标系下动力学模型 Dynamic model in inertial frame
考虑月球自转， 目标点在月球惯性坐标系下的 运动方程：
{
r Bx = R cosβ B0 cos（ α B0 + ωt） r By = R cosβ B0 sin（ α B0 + ωt） r Bz = R sinβ B0 （ 2）
［6 ］
I sp 为发动机比冲， ge 陆器质量， μ 为月球引力常数， 为地球重力加速度。 图中 α、β 分别为着陆器在惯性 θ 为推力方向与 Z 轴夹 坐标系下的高度角和方位角， 角， ψ 为推力在 XOY 平面内的投影与 X 轴的夹角。
； Acikmes 研究
了考虑着陆器推力大小约束、 姿态指向约束、 飞行高 并通过凸优 度角约束的火星动力下降段轨道优化， 化理论解决了含有非线性约束条件的优化问 题
Constrained Trajectory Optimization for Lunar PinPoint Landing Based on Convex Optimization Theory
LIN Xiaohui，YU Wenjin
（ Research Center of Satellite Technology，Harbin Institute of Technology，Harbin 150080 ， China）
tf
∫
－
t0
F dt I sp g e
（ 3）
第7 期
林晓辉等： 基于凸优化理论的含约束月球定点着陆轨道优化
903 if R12 （ t） ＜ 0 if R12 （ t） ＞ 0 if R12 （ t） = 0 （ 11 ）
则末质量最大指标等价于： minJ = min
F∈ U
∫
tf
t0
F dt
（ 4）
902
宇航学报
第 34 卷
信息与标称轨迹相比较， 导引着陆器飞向着陆目标 点。标称轨道制导由于其在燃耗最优、 可实现定点 是软 着陆以及对轨道约束的满足性等方面的优势 ， 着陆较为理想的制导方法， 在 Apollo 登月任务中就 是采用的标称轨迹制导法
［3 ］
。
标称轨迹制导的重点是标称轨迹的优化， 关于 传统的研究主要存 月球软着陆标称轨迹优化问题， 在两方面的问题： 一是忽略横向偏差的二维动力学 模型对定点着陆问题已不再适用； 二是未考虑推力 安全因素等实际工程约束。 特别是为实现高 变化、 精度导航及障碍检测需求， 新一代视觉敏感器视场 对着陆轨道优化提出了新的约束条件 的 ALHAT 任务中最先提出的
（ 1）
T T r x ，r y ，r z］ ， v =［ v x ，v y ，v z］ 式中： r = ［ 分别为着
F =［ F x ，F y ， 陆器位置和速度在惯性系下的分量，
T F z］ m 为着 为制动发动机推力在惯性系下的分量，
。 考虑敏
感器视场约束的定点软着陆轨迹优化问题是在美国 ， 该类问题的难点 在于复杂约束条件的处理。 Hawkins 研究了加入姿 并给出了考虑终端姿 态运动的着陆轨迹优化问题， 态约束的月面着陆轨迹优化结果
［1 ］
高精度的制导方法是精确定点着陆的基本保 障， 目前对月球软着陆制导方法的研究主要分为三 类： 重力转弯制导、 显示制导和标称轨迹制导。标称 轨道制导方法是指按照一定的目标及约束条件预先 将着陆器的位置和速度的测量 设计一条标称轨迹，
。 我国
0618 ； 收稿日期： 2012-
0507 修回日期： 2013-
F =
考虑实际工程约束， 给出精确软着陆轨迹优化 问题的约束条件： r （ t 0 ） = r0 r（ t f ） = r Bf v （ t0 ） = v0 v（ t f ） = 0 （ 5） （ 6） （ 7）
{
T max T min unknown
其中 R12 = R1 － R2 ， 称为推力开关函数。 上式表明 且 最优推力方向与最优速度协状态变量方向相反 ， 当推力开关函数不为零时推力非最大即最小 ， 若某 一时间段内推力开关函数为零， 则存在推力未定状 称为推力奇异区间， 下面给出对于燃耗最优着陆 态， 过程， 推力奇异区间不存在的证明。 根据庞德亚金极小值原理，使哈密尔顿函数 H 取极小值的协状态应满足正则方程式 ：
T T F + λr V + λv （
（ 12 ）
（ 12 ） 及质量方 对推力开关函数求导， 并将式 （ 10 ） 、 经整理得： 程带入， R12 （ t） =
·
λv
t a ，t b］ ［ 0 ，t f ］ ， 若存在推力奇异区间［ 在该 则必然存在 λ v ≡ 0 时间段内R12 （ t） ≡ R12 （ t） ≡ 0 ， 或 λ r ≡ 0 或 λ v λ r ≡ 0 中的一种情况。 1 ） 讨论 λ r ≡ 0 ， 由λ v ， λ r 表达式可得：
［5 ］ ［4 ］
标系 O － XYZ 下， 着陆器的动力学方程： rx = vx ry = vy rz = vz F x = x － μ 3 rx v m r F y = y － μ 3 ry v m r F z = z － μ 3 rz v m r m = － F / （ I sp g e ）
Abstract ： Taking account of the navigation and hazard detecting sensor FOV （ Filed of View） constraint and the thrust point landing is studied in this paper． Firstly， a three constraint，the trajectory optimization algorithm for lunar pindimensional trajectory optimization model is established，the optimal thrust switch function is given out according to the Pontryagin maximum principle． Also，the singular interval of thrust is proved to be nonexistent． Then the nonlinear constrained optimal control problem is transformed into a secondordercone parameter optimization problem through convex transformation and discretization． In the meanwhile，the parameter optimization problem is solved by using interiorpoint method． The feasibility and validity of the algorithm are verified by simulation results of different scenarios． Key words： Pinpoint landing； Constrained trajectory optimization； Analysis of thrust singularity； Convex optimization； Interiorpoint method