h0
h

lim cos( x
h0

h) 2
sin h 2
h

cos
x.
2
即 (sin x) cos x.
(sin x) x cos x x
4
4

2. 2
21
5）导数的运算
ⅰ°和、差、积、商的求导法则
定理 如果函数u( x), v( x)在点 x处可导,则它
们的和、差、积、商(分母不为零)在点 x处也
y f (x) d 2 y d ( dy ) d f (x) dx2 dx dx dx
依此类推，可以定义高阶导数。
18
3）导数的几何意义
f ( x0 )表示曲线 y f ( x) y 在点M ( x0 , f ( x0 ))处的 切线的斜率,即
f ( x0 ) tan , (为倾角)
A ( x0 x)2 x02
2x0 x (x)2 .
(1)
(2)
A x02
x (x)2
x
x0x x0
(1) : x的线性函数,且为A的主要部分; (2) : x的高阶无穷小,当x 很小时可忽略.
27
2）微分的定义
绪论
定义 设函数 y f ( x)在某区间内有定义, x0及 x0 x在这区间内, 如果 y f ( x0 x) f ( x0 ) A x o(x) 成立(其中A是与x无关的常数), 则称函数 y f ( x)在点 x0可微, 并且称A x为函数 y f ( x)在点 x0相应于自变量增量 x的微分, 记作 dy xx0 或 df ( x0 ), 即dy xx0 A x. 微分 dy叫做函数增量y的线性主部. (微分的实质)
x x0
x x0
16
2）导数的定义
定义 设函数 y f (x)在点 x0的某个邻域内 有定义, 当自变量 x在 x0处取得增量 x (点 x0 x 仍在该邻域内)时, 相应地函数 y取 得增量y f (x0 x) f (x0 ); 如果y与 x之比当x 0时的极限存在, 则称函数
sin2 x
x

1 cos2
x

sec2
x
25
例4 求函数 y ln sin x 的导数. 解： y ln u, u sin x.
dy dy du dx du dx
1 cos x u
cos x sin x
cot x
例5 求函数 y ( x2 1)10 的导数 .
9
•矢量的积
绪论
1) 标量积（点积、内积） 两个矢量的点积为一标量。
A B AB cos 为A与B的夹角
若B为单位矢， A B为A在B方向的投影
交换律： A• B B • A 分配律： A• ( B C) A• B A •C
10
直角坐标系下的表示
因为Ｘ、Ｙ、Ｚ轴相互垂直，所以
y f (x)在点 x0处可导, 并称这个极限为函
数 y f (x)在点 x0处的导数, 记为y xx0 ,
dy dx
ห้องสมุดไป่ตู้
或
x x0
df (x) dx
, x x0
17
即
y
x x0
y lim x x0

lim
x0
f ( x0
x) x
f ( x0 )
其它形式
例1 求函数 f ( x) C(C为常数)的导数.
解
f ( x) lim f ( x h) f ( x)
h0
h
C C lim
h0 h
0.
即 (C) 0.
20
例2 设函数 f ( x) sin x,求(sin x)及(sin x) x . 4
解 (sin x) lim sin( x h) sin x
向y轴时，大拇指的指向就是z轴的正向，这样的三条坐标轴就组成了一个空
间直角坐标系，点O叫做坐标原点。（如图所示）
4
绪论
矢量结合法则 1) 矢量加法：遵从平行四边形定则
交换律： A B B A 结合律： A (B C ) ( A B) C
5
简化为

C AB
解： dy 10( x 2 1)9 ( x 2 1) dx 10( x 2 1)9 2x 20x( x2 1)9 .
26
3. 微分
绪论
1）问题的提出
实例:正方形金属薄片受热后面积的改变量.
设边长由x0变到x0 x,
x0
正方形面积 A x02,
x0x
(e x ) e x (ln x) 1
x
23
ⅲ°复合函数的求导法则
设y f (u), 而u ( x)则复合函数 y f [ ( x)]的 导数为dy dy du 或 y( x) f (u) ( x).
dx du dx
利用上述公式及法则初等函数求导问题可完全解决.
矢量的混合积 结果为平行六面体的体积 （A B) • C (C A) • B (B C) • A (B A) • C
13
直角坐标系下的表示（右手系）
z
z
右手系
左手系
y
x
x
i j k; j i k; i i 0;
2 sin x cos x 1 x
2 cos 2x ln x 1 sin 2x. x
例3 求 y tan x 的导数 .
解： y (tan x) (sin x ) (sin x) cos x sin x(cos x)
cos x
cos2 x

cos2 x cos2
22
ⅱ°基本初等函数的导数公式
(C ) 0
(sin x) cos x
(tan x) sec2 x
(sec x) sec x tan x
(a x ) a x ln a
(log a
x)

1 x ln a
( x ) x 1
(cos x) sin x (cot x) csc2 x (csc x) csc x cot x
f
( x0 )
lim
h0
f
( x0

h) h
f (x0 ) .
f ( x0 )
lim
x x0
f (x) f (x0 ) . x x0
应当指出，函数 f(x) 的导数 f ´(x) 本身也是x的一 个函数，因此我们可以再取它对x的导数，这叫函 数 y = f(x) 的二阶导数。
A
A
A
A
矢量的图示
等矢量
负矢量
矢量平移（大小和方向不变），矢量不变
A
A
A
B
B
B
2
•矢量的模与单位矢量

矢量的大小称为矢量的模，用 A 或 A 表示
矢量
eA
，其模为１、方向与
A
相同，称为 A
单位矢量
A

AeA
3
直角坐标系
z

i
k j
MN 0, NMT 0. 设 M ( x0 , y0 ), N ( x, y).
割线MN的斜率为
tan y y0 x x0
f (x) f (x0 ) , x x0
N 沿曲线C M , x x0 ,
切线MT的斜率为 k tan lim f ( x) f ( x0 ) .
可导, 并且
(1) [u( x) v( x)] u( x) v( x);
(2) [u( x) v( x)] u( x)v( x) u( x)v( x);
(3)
[u( x)] v( x)

u(
x)v(
x) u( v2(x)
x)v(
x)
(v( x) 0).
B
B

A
矢量合成的三角形法则
A
C AB


R
D

A
C B
R ABCD
6
绪论
2) 矢量的数乘
大小

A

C
方向

C A 0 C平行于 A

0 C平行于－A
结合律： ( A) ( ) A 分配律： ( A B) A B
y
x
i 、 j、 k 为Ｘ、Ｙ、Ｚ方向的单位矢量。
过定点O，作三条互相垂直的数轴，它们都以O为原点且一般具有相同
的长度单位.这三条轴分别叫做x轴(横轴)、y轴(纵轴)、z轴(竖轴)；统称坐标
轴.通常把x轴和y轴配置在水平面上，而z轴则是铅垂线；它们的正方向要符
合右手规则，即以右手握住z轴，当右手的四指从正向x轴以π/2角度转向正
o
y f (x)
T
M

x0
x
切线方程为 y y0 f ( x0 )( x x0 ).
19
4）由定义求导数 步骤: (1) 求增量 y f ( x x) f ( x);
(2) 算比值 (3) 求极限
y f ( x x) f ( x);
x
x
y lim y . x0 x
7
绪论
3) 矢量的分解 在一个平面内，若存在两个不共线的矢量 e1和e2 则 平面内的任一矢量可以分解为：