楼主：西北荒城时间：2015-03-03 14:08:00 点击：1091 回复：0
一，伯努利方程的推导
1726年，荷兰科学家丹尼尔·伯努利提出了描述理想流体在稳流状态下运动规律伯努利原理，并用数学语言将之精确表达出来，即为伯努利方程。

伯努利方程是流体力学领域里最重要的方程之一，学习伯努利方程有助于我们更深刻的理解流体的运动规律，并可以利用它对生活中的一些现象作出解释。

同时，作为土建专业的学生，我们将来在实际工作中，很可能要与水、油、气等流体物质打交道，因此，学习伯努利方程也有一定的实际意义。

作为将近300岁高龄的物理定律，伯努利方程的理论是非常成熟的，因此不大可能在它身上研究出新的成果。

在本文中，笔者只是想结合自己的理解，用自己的方式推导出伯努利方程，并应用伯努利方程解释或解决现实生活中的一些问题。

既然要推导伯努利方程，那么就首先要理解一个概念：理想流体。

所谓理想流体，是指满足以下两个条件的流体：1，流体内部各部分之间无黏着性。

2，流体体积不可压缩。

需要指出的是，现实世界中的各种流体，其内部或多或少都存在黏着性，并且所有流体的体积都是可以压缩的，只是压缩的困难程度不同而已。

因此，理想流体只是一种理想化的模型，其在现实世界中是不存在的。

但为了对问题做简化处理，我们可以讲一些非常接近理想流体性质的流体视为理想流体。

假设有某理想流体在某细管中做稳定流动。

如图，在细管中任取一面积为s1的截面，其与地面的相对高度h1,，流体在该截面上的流速为v1，并且该截面上的液压为p1。

某一时刻，有流体流经s1截面，并在dt时间内发生位移dx1运动到新截面s2。

由于细管中的水是整体移动的，现假设细管高度为h2处有一截面s3，其上流体在相同的时间内同步运动到了截面s4，流速为v2，共发生位移dx2。

则有如下三个事实：
1：截面s1、s2之间流体的体积等于截面s3、s4之间流体的体积，即s1dx1=s2dx2
2：截面s1、s3之间流体的体积等于截面s2、s4之间流体的体积（由事实1可以推知）
3：细管中相应液体的机械能发生了变化。

事实1和事实2实际上是质量守恒的体现，事实3则须用能量守恒来解释，即外力对该段流体做功的总和等于该段流体机械能的变化。

因截面s2、s3之间流体的运动状态没有变化，故全部流体机械能的变化实质上是截面s1、s2之间
流体和截面s3、s4之间流体的机械能之差。

因此，根据能量守恒得：
W总=?ρs１dx１v１2+ρs１dx１gh１-(?ρs２dx２v２2+ρs２dx２gh２) （ρ为该流体密度）
W总=p１s１dx１-p２s２dx２
联合两式得：
p２s２v2dt-p１s１v１dt =?ρs２dx２v２2+ρs２dx２gh２-（?ρs１dx１v １2+ρs１dx１gh１）
又有质量守恒：
s1dx1=s2v2dt= s1dx1=s2dx2
故左右两边可以同时消去质量：
p１- p２= ?ρv２2 +ρs２gh２- ?ρv１2-ρgh１
移向整理即得伯努利方程的标准形式：
p１+ ?ρv１2+ρgh１= p２+?ρv２2 +ρs２gh２
由于我们的截面是任意取的，所以这个规律对于细管中的任意两截面都是成立的，因此可以做一推广。

即有对于细管中的任意截面，都有：
P+ ?ρv2+ρgh=c
其中c是一个与流体种类和该流体运动状态有关的常量。

推导完毕
二，伯努利方程的实际应用
1,飞机飞行的升力力从何而来？已知空气密度ρ，飞机背部气流速度v2和腹部气流速度v1，求飞机腹部和背部的压强差Δp。

在极短的时间内，飞机的高度h可以视为常数，故飞机背部和腹部的压强都只与气流速度有关。

而飞机一般都是背部弯曲，腹部平坦，致使背部气流速度大于腹部气流速度，由伯努利方程可知，腹部向上的压强大于背部向下的压强，故飞机可以克服重力起飞并飞行。

利用伯努利方程代入计算可得：Δp= ?ρv22-?ρv12
2,航行中的的两船为何不能靠的太近？
船在航行中之所以能保持平衡而不侧翻，是因为船两侧的压强等大反向，相互抵消的缘故。

如果两船靠的太近，则夹在两船之间的水会在两船的作用下运动，致使船外侧压力大而内侧压力小，可能导致两船同时向中间侧翻，发生安全事故。

故两艘航行中的船不能靠的太近。

３，风速太大会导致人呼吸困难吗？
会。

当人们在荡秋千或者站在风口时，常会感到呼吸有略微的“困难”，这也是由于外部气流过大，导致外界压强略微降低，进而让空气进入人体肺部变得困难。

4，现有一批生产质量不同的水管，欲组成一座大楼的供水系统，仅考虑物理因素，怎样排列这些水管最合理?
由伯努利方程可知，高度越大的地方压强越小，水对管壁的压力也就越小。

因此，越往底部，对水管生产质量的要求越高，所以将这些水管按质量好坏由低到高连接起来最合理。