二阶常系数非齐次线性微分方程的几种解法一 公式解法目前,国内采用的高等数学科书中, 求二阶常系数线性非奇次微分方程[1]:'''()y ay by f x ++=通解的一般方法是将其转化为对应的齐次方程的通阶与它本身的特解之和。

微分方程阶数越高, 相对于低阶的解法越难。

那么二阶常系数齐次微分方程是否可以降价求解呢? 事实上, 经过适当的变量代换可将二阶常系数非齐次微分方程降为一阶微分方程求解。

而由此产生的通解公式给出了该方程通解的更一般的形式。

设二阶常系数线性非齐次方程为'''()y ay by f x ++= (1) 这里b a 、都是常数。

为了使上述方程能降阶, 考察相应的特征方程20k ak b ++= (2) 对特征方程的根分三种情况来讨论。

1 若特征方程有两个相异实根12k 、k 。

则方程(1) 可以写成'''1212()()y k k y k k y f x --+=即 '''212()()()y k y k y k y f x ---=记'2z y k y =- , 则(1) 可降为一阶方程'1()z k z f x -=由一阶线性方程的通解公()()[()]p x dx p x dx y e Q x e dx c -⎰⎰=+⎰[5] (3) 知其通解为1130[()]x k x k t z e f t e dt c -=+⎰这里0()xh t dt ⎰表示积分之后的函数是以x 为自变量的。

再由11230[()]x k x k t dy k y z e f t e dt c dx--==+⎰ 解得12212()()340012[(())]k k x x u k x k k u e y e e f t dt du c c k k --=++-⎰⎰ 应用分部积分法, 上式即为1212212()()34001212121[()()]k k xk k x x x k x k t k t e e y e f t e dt f t e dt c c k k k k k k ----=-++---⎰⎰ 1122121200121[()()]x x k x k t k x k t k k x e f t e dt e f t e dt c e c e k k --=-++-⎰⎰ (4) 2 若特征方程有重根k , 这时方程为'''22()y ky k y f x -+=或'''()()()y ky k y ky f x ---=由公式(3) 得到'10[()]xkx kt y ky e e f t dt c --=+⎰再改写为'10()xkx kx kt e y ke y e f t dt c ----=+⎰ 即10()()xkx kt de y ef t dt c dx --=+⎰故120()()x kx kt kx kxy e x t e f t dt c xe c e -=-++⎰(5)例1 求解方程'''256x y y y xe -+=解 这里2560k k -+= 的两个实根是2 , 32()x f x xe =.由公式(4) 得到方程的解是332222321200x x x t t x t t x xy e e te dt e e te dt c e c e --=-++⎰⎰32321200x x x t x xxe te dt e tdt c e c e -=-++⎰⎰2232132xx x x x e c e c e ⎡⎤=--++⎢⎥⎣⎦这里321c c =-.例2 求解方程'''2ln x y y y e x -+=解 特征方程2210k k -+= 有重根1 , ()ln x f x e x =.由公式(5) 得到方程的解是 120()ln x x t t x x y ex t e e tdt c xe c e -=-++⎰120()ln x x x x e x t tdt c xe c e =-++⎰ 1200[ln ln ]x xxx x e x tdt t tdt c xe c e =-++⎰⎰ 21213ln 24x x x x e x c xe c e ⎡⎤=-++⎢⎥⎣⎦ 二 常数变易法二阶常系数非齐次线性微分方程的一般形式是'''()y py qy f x ++=, (6) '''0y py qy ++= , (7) 其中p q 、 为常数,根构造方程(7) 的两个线性无关的解,再由这两个解构造出方程(7) 的通解。

特征方程的特征根有三种情况。

1. 当特征方程有两个不相同的实根12λλ、时,方程(7) 的两个线性无关的解为12x x e e λλ、从而得方程(7) 的通解1212x x c e c e λλ+.2. 当特征方程有二重实根λ时,可得方程(7) 的两个线性无关的解x x e xe λλ、,从而得到方程(7)的通解12()x c c x e λ+。

3. 当特征方程有一对共轭复根i αβ±时,可得方程(7) 的两个线性无关的解e cos sin x x x e x ααββ、。

从而得方程(7) 的通解12cos sin x x c e x c e x ααββ+。

综上所述可知,方程(7) 总有形如cos x e x αβ、sin x e x x αββ的解,其中i αβ±为方程(7) 所对应的特征方程的特征根。

关于方程(6) 的求解,我们就()f x 为x e α或[]2()cos sin n p x x p x ϖϖ+时进行了讨论,给出了这两种情况下的解法。

我们将由方程(7) 的一个特解,通过参数变易法构造出方程(6) 的通解。

首先求出方程(7) 的一个特解,不妨将此解记为11()cos x y y x e x αβ==。

设方程(6) 有形为1()()()cos x y c x y x c x e x αβ==[5]的解,将1y cy ='''11y c y cy =+''''''''1112y cy c y c y =++(其中c 为()c x ,1y 为1()y x 代入方程(6) ,得'''''''111111(2)()()c y y py c y py qy c f x +++++=∵1y 是方程(7) 的解∴上式为''''111(2)()c y y py c f x ++=,令'c u =,得''11121()()y u p u f x y y ++=根据一阶线性非齐次方程的解法,得''111122()()111u [()]y y p dx p dx y y e f x e dx c y -++⎰⎰=+⎰(22)(22)11[()]cos tg x p dx tgx x e f x e dx c e xαββαβαβ--+-⎰⎰=+⎰ [(2)2ln cos ](2)2ln cos 11[()]cos p x x p x x x e f x e dx c e x αβαβαβ-++++=+⎰ ()()121[()cos ]cos x x e f x e xdx c xαβαβββ-++=+⎰ 2c udx c =+⎰(2)()1221cos [][()cos ]cos x p x p x y e x e f x e xdx c dx c x αααββ-++∴=+++⎰⎰〕为方程(6) 的通解。

三 多项式法命题: 对于常系数线性微分方程'''()x m y py qy p x e λ++= (8) 其中p 、 q 与λ是常数, ()m p x 是x 的m 次多项式,若令x y ze λ=,则方程(8) 可化为: ''''''2!()1!()()m F z F z F z p x λλ++=[7] 2()F p q λλλ=++为方程(8) 对应齐次方程的特征多项式.此处即要求方程(8) 的特解()x y x e λφ=,只要求''''()()()m z F z F z p x λλ++=的特解()y x φ=,而得到(8) 的特解()x y x e λφ=. 此解法虽然类似教材[5]上的待定系数法, 仔细斟酌, 要简单很多. 教材[5]中则把特解设为()k x m y x Q x e λ=,这里k=0、1、2、()m Q x 是m 次多项式.例3 求微分方程'''2(5)x y y y e x -++=-的一个解.解：2()21F λλλ=++ , - 1 为其二重特征根,故原方程对应的齐次方程的两个线性无关的解是x x e xe --、。

'(1)0F -=,从而令x y ze -= ,原方程化为: ''5z x =- ,解之得其特解为322151(5)626z x x x x =-=-故原方程的特解是21(5)6x y x x e -=-。

原方程的解是, 2121(5)6x x x y c e c xe x x e ---=++-(其中12c c 、是常数) 四 阶数上升法所谓的阶数上升法就是:设'''()y py qy f x ++=(9)()f x 为多项式时,设1011()n n n n f x a x a x a x a --=+++[7]此时,方程两边同时对x 求n 导倒数,得''''''12011(1)n n n y py qy na x n a x a ---++=+-+……(1)(1)01!(1)!n n n y py qy a xn a n +-++=+-(2)(1)0!n n n y py qy a n ++++=令()0!n a n y q=(0q ≠),此时(2)(1)0n n y y ++== 由(1)n y +与()n y 通过倒数第二个方程可得(1)n y - ,依次往上推,一直推到方程(9) ,即可得到方程(9) 的一个特解()y x ,上面的这种方法称为阶数上升法.(9) 当1011()()()n n x n n f x a x a x a x a e R λλ--=+++∈时,令()x y u x e λ=,则 ''()x y u u e λλ=+, '''''2(2)x y u u u e λλλ=++代入方程(9) ,经整理得:'''21011(2)()n n n n u p u p q u a x a x a x a λλλ--+++++=+++于是问题(9) 就转化为(8) 的形式.从以上可以看出,阶数上升法不需要讨论λ是 否为特征方程的特征根的问题,因此问题得以简化.例4 求微分方程'''67(1)x y y y e x +-=+的一个解.解:原方程所对应的齐次方程的特根是正1、-7,对应的两个线性无关的解是-7x x e e 、。