对题目所给附件一进行数据的观察分析，可以得到：初始 状态假人温度为37 ℃，在第16 s时温度开始出现波动，在第1745 s 时，假人外侧皮肤温度上升到38.08 ℃并保持不变，对于这个过 程，用SPSS进行数据拟合，可以得到如下结果。
首先对导热的时间-空间区域进行离散化。X为空间坐标， 将计算区域划分为J等份，可以得到J+1个空间节点，t为时间坐 标，将时间坐标上的计算区域划分为N个等份，可得到N+1个节 点。
1 问题分析 对于问题一，需要明确影响假人外侧皮肤温度分布的因素 包括时间、热防护服每层的厚度、每层材料的密度、比热容、 热传导率。根据已知的密度、热传导率、比热容等，最终求解 出随时间变化假人皮肤外侧温度分布的理论值。 对于问题二，属于纺织材料设计反问题，在问题一所建模 型条件下，运用模型一中两个热传导模型将其归结为优化问 题，运用粒子群算法迭代解出最优第II层的厚度。 2 模型的假设 （1）热传递过程中，防护材料的结构基本不变。 （2）热传递过程是垂直于皮肤进行的，可将其视为一维非 稳态热传导。 3 模型的建立与求解 3.1 问题一 （1）问题一的分析。问题一需要分析出假人皮肤外侧温度 分布与工作时间的关系，首先确定防护服前三层热传导温度变 化与其比热容、热传导率、密度的关系，通过第IV层空气层的 热传递计算出人皮肤外侧温度，列出热导偏微分方程，绘制出 温度变化曲线，进一步得出每时刻温度。 （2）高温作业专业服饰织物层热传递模型的建立。可以根 据“高温环境-服饰织物层-假人皮肤”系统，给出高温下织物 层热传递数学模型。
则 模型计算中的物理参数如下所示。
将从第I层开始到皮肤外层全部视为一个整体求解，代入问 题一中所规定数据进行方程拟合，利用MATLAB仿真得到最终 的温度区域分布。
图4 粒子群算法流程图 b、计算。 首先确定第II层的厚度为：
图1 温度区域分布示意图 根据题目要求，得出假人皮肤外层温度分布，取Z=15.2 时，多对应T.t.的值，并利用SPSS将其拟合，得到如下结果。
（1）
（2）
第I层的初始条件： 第I层左边界条件 ： 第I层与第II层接触面：
第II层与第III层接触面：
（3） （4） （5） （6） （7） （8）
（9）
第III层的右边界：
b、空气层中的热传递。 根据假设，可以得到空气层的热传递模型：
（10）
（11）
由于
数值在附件中直接给出，可直接带
入。
空气层的初始条件为：
然后对导热微分方程进行离散。 织物层的离散：
左边界的离散格式为：
则
其中
第I层与第II层之间接触面的离散格式为：
图3 皮肤外侧温度实际测量值与时间拟合关系图 经对比发现，理论值与实际测量值拟合曲线吻合程度极 高，所以可以直接利用问题已所建模型进行后续问题二、问题 三的计算。 3.2 问题二 （1）问题二的分析。 问题二利用问题一的模型，其改变所处环境温度为65 ℃， 第IV层空气间隙厚度固定为5.5 mm，工作时间为60分钟，且要 求假人外侧皮肤温度不超过47 ℃，且超过44 ℃的时间不超过 5分钟，在这样的条件下反求出第二层的最优厚度，我们将这样 的问题称为织物厚度决定反问题。 （2）基于织物厚度决定反问题模型的建立[2]。 a、粒子群算法步骤如图4所示。
如图5～图8所示。 分别对不同淘蚀面积、不同淘蚀形状
下扩大基础基底最大压应力进行曲线拟 合，得出四种淘蚀情况下基底最大压应力 的曲线表达式如下所示。
（12）
空气层的右边界即假人皮肤外层：
（13）
（3）高温作业专业服饰织物层热传递模型的解答。为计算 方便，将热传递模型关于温度T的抛物性方程[1]作以下整理：
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（14）
通过以上计算可得到假人外侧皮肤温度在问题一所给定条 件下的理论值，而附件中已给出实际测量值，将其进行拟合， 理论值与测量值进行对比，分析数值合理性，以方便后续计 算。
学术研讨 99
高温作业专用服装设计的数学模型
◇咸阳师范学院数学与信息科学学院 龚武胜 赵花丽 张耿馨 康茹茹
随着社会的发展，人们的生命财产安全越来越重要。高温作业专用服在日常生活中必不 可缺，因此降低研发成本、缩短研发周期显得尤为重要。本文在一定外界温度下研究假人皮 肤外测温度，为高温作业专业服装设计提供理论依据。具体要求可参考2018年高教社杯全 国大学生数学建模竞赛题目A题高温作业专用服装设计课题。针对问题一，根据已知数据， 建立“高温作业专业服饰织物层热传递模型”，得到90分钟内温度-时间-织物厚度之间的 关系，联立得到偏微分方程组，利用有限差分法对方程组进行求解得到人体皮肤外侧的温度 分布图像。针对问题二，基于问题一所建立的模型进行反向求解，列出改变条件后的第II层 左右边界条件及热导微分方程，通过计算得到第II层的最优厚度为9.562mm。
图2 提取数据拟合曲线（Z=15.2）
更改后的初始及边界条件为： 为其添加限制条件，其数学语言的形式表达： 种群规模：本文选择种群规模为244（其中步（下转124页）
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图7 两侧淘蚀程度相同时基底最大压应力
图8 两侧淘蚀程度不同时基底最大压应力 有限元分析模型中通过改变基底的约
首先明确知道环境温度即为第I层左侧开始传导的初始温 度，第IV层右侧即为假人皮肤温度。
现在建立在外界环境为75 ℃，且第II层厚度为6 mm，第 IV层厚度为5 mm、工作时间为90分钟时在织物层和空气层内的 热传导模型。
a、织物层中的热传递。 服饰织物层由三层不同的材料组成，基于之前假设，可给 出三层织物间热传递模型导热微分方程定解及定解条件：
束条件来模拟基底淘蚀程度，如基底一侧 被水流淘蚀10%时，释放淘蚀基础底部的 约束，其余部分采用位移约束的方式进行 处理。将基础所受力按照最不利荷载进行 施加，计算过程中，除改变约束方式，桥 墩尺寸及所受荷载均不发生变化。分别计 算四种淘蚀形状下，淘蚀部分面积为 0%、5%、10%、15%、20%、25%、 30%、35%、40%，基底淘蚀形状为长方 形和三角形的基底最大压应力，分析结果