∵A、C∈(0，π)，∴cos A＝0，∴A＝π2， ∴△ABC 为直角三角形． 法二：(从边的关系判断) ∵b＝acos C， 由余弦定理，得 b＝a·a2＋2ba2b－c2. 化简，得 b2＋c2＝a2. ∴△ABC 为直角三角形．
1．判断三角形形状时，应围绕三角形的边角关系，利用正弦或余弦定理进行边角互 化，要么把角转化为边，通过代数变形找出边之间的关系，要么把边转化为角，通 过三角变换找出角之间的关系，当然也可以边角同时考虑． 2．在解题中，若出现关于边的齐次式(方程)，或关于角的正弦的齐次式(方程)可通过 正弦定理，进行边角互化．
6．4 平面向量的应用 6．4.3 余弦定理、正弦定理
第二课时 正弦定理
内容标准
学科素养
1.了解利用向量方法推导正弦定理的过程，掌握正弦定理 及其变形． 2.能够利用正弦定理解三角形，并会判断三角形的形状.
数学抽象 直观想象 逻辑推理 数学运算
课前 • 自主探究 课堂 • 互动探究 课后 • 素养培优 课时 • 跟踪训练
一、“剪不断，理还乱”——忽略大边对大角致错 ►直观想象、逻辑推理、数学运算 [典例 1] 在△ABC 中，已知 a＝2 3，b＝2，A＝60°，则 B＝__________.
[解析] 由正弦定理，得 sin B＝b·sina A＝2×si2n 630°＝12. ∵a>b，∴A>B.又∵0°<B<180°，∴B＝30°.
探究三 判断三角形的形状 [例 3] 在△ABC 中，角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，若 b＝acos C，试判定△ ABC 的形状．
[解析] 法一：(从角的关系判断) ∵b＝acos C， 由正弦定理，得 sin B＝sin A·cos C. ∵B＝π－(A＋C)，∴sin (A＋C)＝sin A·cos C. 即 sin Acos C＋cos Asin C＝sin A·cos C， ∴cos Asin C＝0.
又 c＝ 2，a＝ 6，∵c<a，
∴C<A，故在△ABC 中，C＝30°，
∴B＝180°－(A＋C)＝90°.
由正弦定理得sinb B＝sina A，
∴b＝as·sininAB＝ 6×3 1＝2 2. 2
∴C＝30°，B＝90°，b＝2 2.
(2)由正弦定理，
得 sin A＝asibn B＝
3sin 45°＝ 2
①a＝ 2Rsin A ，b＝ 2Rsin B ，c＝ 2Rsin C ；
a
b
c
②sin A＝ 2R ，sin B＝ 2R ，sin C＝ 2R ；
③a∶b∶c＝ sin A∶sin B∶sin C
[自主检测]
1．在△ABC 中，a＝2，b＝3，则ssiinn AB＝( )
3
2
A.2
B.3
2
C.5
解析：法一：由sina A＝sinb B＝sinc C 得sinb B＝cobs B，sinc C＝cocs C， ∴sin B＝cos B，∴tan B＝1，又 0°<B<180°， ∴B＝45°，同理，C＝45°. ∴A＝180°－B－C＝90°. ∴△ABC 为等腰直角三角形．
法二：由sina A＝cobs B＝cocs C 得sina A＝cobs B＝cocs C，① 把 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C 代入①， 得 2R＝2Rtan B＝2Rtan C， ∴tan B＝tan C＝1， 又 0°<B<180°，0°<C<180°， ∴B＝C＝45°，A＝90°， ∴△ABC 为等腰直角三角形．
关系式 a＝bsin A bsin A<a<b
解的个数 一解
两解
a≥b 一解
a>b 一解
[典例 2] 在△ABC 中，已知 a＝2 3，b＝6，A＝30°，求 B、C 和 c.
[解析]
由正弦定理得
sin
B＝bsian
A＝6sin 2
30°＝ 3
23，又
a＝2
3，b＝6，a<b
∴B＝60°或 120°.
[提示] ①C＝90°，B＝60°，a＝csin 30°＝1，b＝ccos 30°＝ 3. ②由①知，sina A＝sin130°＝2，sinb B＝sin 630°＝2，sinc C＝sin290°＝2，∴sina A＝sinb B ＝sinc C＝2.
③如图，△ABC 为任意的一个直角三角形， ∵sin A＝ac，sin B＝bc， ∴sina A＝c，sinb B＝c. 又sinc C＝sinc90°＝c，∴sina A＝sinb B＝sinc C＝c. 故对任意的直角三角形也有(2)中的结论．
D.3
解析：由正弦定理，得sina A＝sinb B，
故ssiinn AB＝ab＝23.
答案：B
2．在△ABC 中，A＝45°，B＝30°，a＝10，则 b＝( )
A．5 2
B．10 2
C．10 6
D．5 6
解析：由正弦定理sina A＝sinb B得 b＝assiinnAB＝10s×insi4n5°30°＝5 2.
6－ 2
2 .
利用正弦定理解三角形，若已知三角形的两边和其中一边的对角，求另一边的对角， 进而求出其他的边和角时，可能出现一解、两解或无解的情况，应结合图形并根据 “三角形中大边对大角”来判断解的情况，作出正确取舍．
本例(1)改为“A＝30°，c＝ 6，a＝ 2”，结果又怎样？
解析：由正弦定理sina A＝sinc C，
[提示] 这个比值恰好等于该三角形外接圆的直径 2R，即sina A＝sinb B＝sinc C＝2R， 其中 R 是该三角形外接圆的半径．
知识梳理 (1)正弦定理的推论：设 R 是△ABC 外接圆的半径，则sina A＝sinb B＝sinc C
＝2R.
(2)正弦定理的变形(R 是△ABC 外接圆的半径)
当 B＝60°时，C＝90°，c＝assiinnAC＝2 s3insi3n09°0°＝4 3；
当 B＝120°时，C＝30°，c＝assiinnAC＝2 s3insi3n03°0°＝2 3. ∴B＝60°，C＝90°，
c＝4 3或 B＝120°，C＝30°，c＝2 3.
探究一 已知两角和一边解三角形 [例 1] 在△ABC 中，已知 A＝60°，B＝45°，c＝2，解三角形．
[解析] 在△ABC 中，C＝180°－(A＋B)＝180°－(60°＋45°)＝75°.
sin 75°＝sin (45°＋30°)
＝sin 45°cos 30°＋cos 45°sin 30°
∴sin C＝c·sian A＝
6×12＝ 2
23，
又 c＝ 6，a＝ 2，∵c>a，∴C>A，
又 C 为△ABC 的内角，
∴C＝60°或 C＝120°.
当 C＝60°时，B＝180°－A－C＝90°， ∴b＝ a2＋c2＝2 2， 当 C＝120°时，B＝180°－A－C＝30°， 此时△ABC 为等腰三角形，则 b＝a＝ 2. 综上可知，C＝60°，B＝90°，b＝2 2， 或 C＝120°，B＝30°，b＝ 2.
答案：A
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3．在△ABC 中，若 A＝30°，a＝2，b＝2 3，则此三角形解的个数为( )
A．0 个
B．1 个
C．2 个
D．不能确定
解析：∵在△ABC 中 A＝30°，a＝2，b＝2 3， ∴bsin A＝2 3×12＝ 3，而 3＜a＝2＜b＝2 3， ∴三角形解的个数为 2，故选 C.
答案：C
[答案] 30°
[素养提升] 在同一三角形中，大边对大角，反过来，大角对大边，由此，在利用正 弦定理解三角形时，要对三角形解的个数进行判断，防止产生增根．
二、火眼金睛识别三角形解的情况 ►直观想象、逻辑推理、数学运算
在△ABC 中，已知 a，b 和 A 时，解的情况 A 为锐角
A 为钝角或直角
或直角图形
1．在△ABC 中，若 a＝2，cos A＝25 5，cos B＝－14，则 b＝________.
解析：∵cos A＝2 55，∴sin A＝
1－cos2A＝
5 5.
∵cos B＝－14，∴sin B＝
1－cos2B＝
15 4.
由正弦定理sina
A＝sinb
B得
b＝assiinnAB＝2×
15 4 ＝5 5
2．已知在△ABC 中，bsin B＝csin C，且 sin 2A＝sin 2B＋sin 2C，试判断△ABC 的形状． 解析：由正弦定理sina A＝sinb B＝sinc C＝2R 得 sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR. ∵bsin B＝csin C，∴b·2bR＝c·2cR， ∴b2＝c2，∴b＝c. ∵sin 2A＝sin 2B＋sin 2C， ∴(2aR)2＝(2bR)2＋(2cR)2， ∴a2＝b2＋c2，∴∠A＝90°， ∴△ABC 为等腰直角三角形．
3 2.
∵0°<A<180°，
∴A＝60°或 A＝120°.
当 A＝60°时，C＝75°，
∴c＝bssiinnBC＝
s2isnin457°5°＝
6＋ 2
2；
当 A＝120°时，C＝15°，
∴c＝bssiinnBC＝
sin 2sin
4155°°＝
6－ 2
2 .
∴A＝60°，C＝75°，c＝
6＋ 2
2或 A＝120°，C＝15°，c＝
同理，过点 C 作与C→B垂直的单位向量 m，可得sinc C＝sinb B. 因此sina A＝sinb B＝sinc C. 在钝角三角形中的这个边角关系也成立．