7.8 摩擦对控制系统性能的影响
力 速度
力
静摩擦力 速度
力 速度
库仑摩擦
(a)
(b)
(c)
（a）粘滞摩擦情况 （b）库仑摩擦情况 （c）实际摩擦情况
建立仿真 模型文件
转速过渡过程
电枢电流过渡过程
反电动势过渡过程
例7.2 建立机械传动（齿轮传动）系统数学模型
如图所示系统，由电动机通过齿轮传动驱动负载。忽略齿轮轴 柔性、齿轮侧隙、齿侧弹性变形。每个齿轮的齿数与齿轮半径成比 例，求关于输入轴的等效惯量和等效阻尼以及关于输出轴的等效惯 量和等效阻尼。齿轮1的齿数和齿轮2的齿数分别为Z1和Z2，齿轮1
J1
Z1 Z2
2 .
J21
C1
Z1 Z2
2
C2 1
Z1 Z2
TL
Tm
因 此 ， 对 轴1，齿轮传动的等效惯量和等效粘性阻尼系数为
J1eq
J1
Z1 Z2
2
J2,
C1eq
C1
Z1 Z2
2 C2
J
2和C
对
2
等
效
惯
量J1eq和
等
效
阻
尼C1eq的
效
应
决
定
于
齿
数
比
。
根
据
等
效
惯
量J
和
1eq
等
效
阻
上述 开环 传递 函数 可简化为G(s) K , s(TM s 1)
其 中 ，K K1 / F ,TM J / F。 相 应 的 闭 环 传 递 函 数是
Φ( s)
c (s) r (s)
TM
s2
K s
K
其对应的微分方程为
TM
d 2c (t )
dt 2
dc (t )
dt
Kc (t )
Kr (t )
图7.6.1 磁盘驱动器结构示意图
磁盘旋转速度在1800rpm到7200rpm，相当于磁头在磁盘上方不 到100nm的地方“飞行”，位置精度指标初步定为1μm，要求做到 使磁头由一个磁道移到另一个磁道所花的时间小于10ms。
至此，我们可以给出如下图所示的初步的系统结构，该闭环系 统利用电机驱动磁头臂到达预期的位置。
输 出 轴(2)
2
负载
齿
轮2(
Z
扭 2)
矩TL
由 于 齿 轮 传 动 的 功 率 不变 ， 有
T11 T22
或
T1
T2
2 1
T2
Z1 Z2
消 去 前 面 两 式 中 的T1和T2得 下 式
.
J1 1
C11
Z1 Z2
.
(J1 1
C 2 2
TL )
Tm
因 为2
（Z1
Z
）1，
2
消
去
上
式
的
，
2
得
到
TL
1 n Tm
例7.3 建立如图所示位置随动系统的数学模型
r
1 Ks
2
fL
C
Z2 JL
Z1 Ra La m
E
us Ka ua ia Eb M i f 常数
解 （1）系统工作原理分析：该系统是一个由综合检测元件（自 整角机）、放大器、执行电动机、减速装置和负载等部分构成的负 反馈闭环位置随动系统；
例7.4 打印机皮带驱动器
常用低价位打印机通常配有皮带驱动器，用于打印头沿打印页 面横向移动，下图给出一个装有直流电机的皮带驱动式打印机的实 例。在该系统中，光传感器用来测定打印头的位置，皮带张力变化 用于调节皮带的实际弹性状态。本例的目的是建立系统状态空间数 学模型。
打印机皮带驱动器系统
下图给出了皮带轮驱动系统的基本模型。模型中皮带弹性系数
对上述各式进行拉氏变换，并消去中间变量，可得到系统的
开环传递函数为
G(s) C (s)
K s KaCm i
r (s) s[(La s Ra )(Js f ) Cm Kb ]
如 果 忽 略 电 枢 电 感La ,又 令K1 K s KaCm / iRa , F f Cm Kb / Ra ,
( r
y),取 状 态 变 量x2
dy dt
,
结合以上二式
可得：
dx2 dt
2k m
x1
(7.5.1)
再 定 义 状 态 变 量x3
d
dt
,
则 有dx1 dt
r
d
dt
dy dt
rx3
x2
(7.5.2)
接下来推导描述电机旋转运动的微分方程。当L=0时，电机绕
组电流 i v2 / R
，而电机转矩为
Tm
.
T 电机转矩；电动机与机械轴耦合T： KT ia em Ke
（3）根据各部分工作原理列出运动方程
电 气 回 路 ：ei
ia Ra
La
dia dt
em
(1)
耦 合 关 系 ：T KT ia
(2)
.
em Ke
(3)
..
.
机 械 系 统 ：T I C
(4)
（2） 带 入 （4） 得 ：ia
尼C1eq的
表
达
式
，
方
程
可
简
化
.
为
J1eq 1 C1eq1 nTL Tm
式
中n
Z1
/
Z
。
2
对 轴2， 齿 轮 传 动 的 等 效 惯 量和 等 效 粘 性 阻 尼 系 数 为
J 2eq
J2
Z2 Z1
2 J1,
C2eq
C2
Z2 Z1
2 C1
方程可简化为
.
J 2eq 2 C 2eq 2
Km R
v2
Tm
Kmi ，于是有：
电机输出转矩包括驱动皮带所需的有效转矩T 和克服扰动或无
负载所需的转矩Td，因此又有：
Tm T Td
有效转矩T 驱动电机轴带动滑轮运动，因此应有：
d2 d
T J dt 2 b dt r(T1 T2 )
再注意到：
dx3 dtdຫໍສະໝຸດ 2dt 2故有：dx3 dt
第7章 机电系统的数学建模
机电系统主要是由机械系统和电气系统构成的。通常 数学建模可分为电气和机械两部分进行。在数学建模中要 分别考虑各自系统的特点及其建模方法，再综合建立系统 模型。
本节的知识将通过实例讨论建模问题。
例7.1 建立如图所示的电枢控制式直流电动机运动模型。
解 （1）系统工作原理分析：
由上图可以确定系统的执行机构、传感器和控制器，然后建立 控制对象和传感器等元件的模型。
磁盘驱动器读取系统采用永磁直流电机驱动读取手臂的摆动。 磁头安装在一个与手臂相连的簧片上，它读取磁盘上各点处不同的 磁通量并将信号提供给放大器，簧片（弹性金属制成）保证磁头以 100nm的间隙悬浮于磁盘上方。
图7.6.2中的偏差信号是在磁头读取磁盘上预先录制的索引磁道 时产生的。
和齿轮2的角速度分别是ω1和ω2 。
齿轮2的转动惯量和粘性组尼系数 分别用J1、C1和J2、C2表示。
输 入 轴(1)
齿轮1(Z1 )
通过牛顿定律，得以下方程 . J1 1 C11 T1 Tm
.
J2 2 C22 TL T2
输入
1
扭 矩Tm
式中：T1是由齿轮传动引起的齿轮1 上的负载转矩， T2是传递到齿轮2的 转矩。
图7.6.3所示框图模型简化为图7.6.4所示闭环系统框图 模型，将框图模型简化为如下模型：
Y(s)
Ka
R(s) 1 KaG( s )
Y(s)
Ka s(( Is C )( La s Ra ) KT Ke / La I )
R(s) s(( Is C )( La s Ra ) KT Ke / La I ) Ka KT / La I
Tm Td J
b J
x3
2kr J
x1
其 中Tm
Km R
v2 ,v2
k1k2
dy dt
k1k2 x2。于是最后可得到：
dx3 dt
K m k1k2 JR
x2
b J
x3
2kr J
x1
Td J
(7.5.3)
式（7.5.1）、 （7.5.2）、 （7.5.3）构成了描述系统运动的一 阶微分方程组，其矩阵形式为：
7.8 摩擦对控制系统性能的影响
1. 对摩擦力的重新认识
互相接触的两物体有相对运动或有相对运动趋势时， 就存在摩擦，在接触面间产生的切向运动阻力，即为摩擦 力。摩擦力的大小和形式取决于两物体结构、压力、相对 速度、润滑情况及其他一些因素。因此，准确用数学描述 是困难的。
在应用上分为： 粘滞摩擦 库仑摩擦 静摩擦
0
. 2k
X
m
2kr J
1 0 K mk1k2 JR
r
0
0 b
J
X
0
1 J
Td
x1
X
x2
x3
例7.5 磁盘驱动读取系统
磁盘驱动器作为重要的计算机外部设备被应用。考察下图的磁 盘驱动器示意图可以发现，磁盘驱动读取装置的目标是将磁头准确 定位，以便正确读取磁盘磁道的信息。
Ra La
该系统由一个电动机和一套由
转动惯量I 及旋转阻尼 C 组成。 电动机电枢电阻和电感不可忽
ei (t)
I
em
C
略，考虑串联在电回路中。机
械系统中转动惯量与阻尼具有
相同的运动速度，按并联处理。