关于量子比特的含义、特性、实现及各种操作一．绪论 (3)二．量子比特的基本概念 (3)2.1 经典比特 (4)2.2 量子比特定义与表示 (5)2.2.1 基本量子比特 (5)2.2.2 复合量子比特 (6)2.2.3 多进制量子比特 (7)2.3 量子比特的实现 (7)三．量子比特特性 (9)3.1.量子比特的数学特性 (9)3.2.量子比特的物理特性 (10)3.2.1 叠加性和相干性 (11)3.2.2 量子测不准性 (12)3.2.3 不可克隆性 (14)3.2.4 非正交态的不可区分性 (16)3.2.5 量子纠缠性 (17)3.2.6 量子互补性 (21)四．量子比特的变换 (22)4.1量子逻辑门. (22)4.1.1 单量子比特逻辑门 (23)4.1.2 多量子比特逻辑运算 (25)4.2量子线路 (30)五．量子比特信息的测度 (32)5. 1 经典香农熵 (32)5.2 量子冯•诺依曼熵 (34)5.3 量子保真度 (36)5.4 可获得的最大信息 (37)六．量子寄存器 (37)6.1量子寄存器的存储 (38)6.2 量子寄存器量子态的测量 (40)七．量子比特的存储 (42)八．量子比特的制备 (43)8.1光场量子比特的制备 (43)8.2 多原子最大纠缠比特的制备 (45)8.3、囚禁离子质心运动量子比特的制备 (47)参考文献 (48)一．绪论1983年，Stephen wiesner在他量子货币的提案中第一次引入了量子比特的概念。

而“量子比特”这个术语的问世应归功于Benjamin schumacher，在他论文的致谢辞中，schumacher表示术语“量子比特”是他在同William wootters的一次谈话时提出的，只是因为它同古代的一种长度测量单位腕尺（cubit）的发音相似。

在量子计算中，作为量子信息单位的是量子比特，量子比特与经典比特相似，只是增加了物理原子的量子特性。

量子计算机的物理结构是纠缠态原子自身的有序排列，量子比特在系统中表示状态记忆和纠缠态。

量子计算是通过对具有量子算法的量子比特系统进行初始化而实现的，这里的初始化指的是把系统制备成纠缠态的一些先进的物理过程。

在两态的量子力学系统中量子比特用量子态来描述，这个系统在形式上与复数范围内的二维矢量空间相同。

两态量子力学系统的例子是单光子的偏振，这里的两个状态分别是垂直偏振光和水平偏振光。

在经典力学系统中，一个比特的状态是唯一的，而量子力学允许量子比特是同一时刻两个状态的叠加，这是量子计算的基本性质。

本文将会首先阐述量子比特的基本概念，提出量子比特的几种实现方法，着重介绍量子比特的特性尤其是其物理特性，之后我们会研究对量子比特实施的几个重要的操作，最后提出了几种量子比特的制备方法。

二．量子比特的基本概念信息、物质和能量被认为是构成一切系统的三大要素[王育民2005]。

信息是一种抽象的、承载于具体消息之中的东西。

信息是无形的，但大多可以定量描述，它与具体信宿的接收消息空间有关。

信息的产生、传送、接收、处理和存贮等都离不开物质的运动，但它不是物质运动本身，而是借助于物质运动传递系统状态和变化的不确定性[王育民 2005]。

在经典领域，信息的衡量和研究主要是基于Shannon 提出的信息量定义，其单位为比特（bit ），所以我们用经典比特表示经典通信系统和研究方法中对信息的表示，而用量子比特表示包含量子特性的量子通信和研究方法中对信息的表示。

2.1 经典比特由前述可知，信息的一个基本特征是不确定性，即接收方不知道发送方发给自己消息的内容。

因此，对信息的描述和衡量需要概率论和随机过程理论。

Shannon 首先将概率统计中的观点和方法引入到通信理论中，给出了信息量的定义，若消息x 的概率分布为()p x ，该消息携带的信息量为2()log ()I x p x =- （3-1）其单位为比特（bit ）。

也可定义为奈特（nat ），将（3.1.1）中对数的底数换为e 即可。

二者的关系为：1 nat=1.44 bit,1 bit=0.693 nat 。

例如当符号“0”和“1”出现的概率均为1/2时，则每一个符号携带的信息量为122(0)(1)log 1I I ==-=，可见，符号“0”和“1”等概时，其携带的信息量均为1比特。

若符号“0”出现的概率为1/4，符号1 出现的概率为3/4 时，符号0和1所携带的信息量分别为124(0)log 2I =-=，324(1)log 0.415I =-=。

在物理上，符号“0”和“1”可以用不同的物理信号来表示，如电压的高低、信号的有无、脉冲的强弱等，不同的物理信号有不同的特性，因而在不同的通信系统中这两个状态有不同的物理描述。

但是一个经典的二进制比特在某个时刻只能处在一种可能的状态，即要么处在0 态上，要么处在1 态上，这是由经典物理的决定论所决定的。

2.2 量子比特定义与表示参照Shannon 信息论中比特描述信号可能状态的特征，量子信息中引入了“量子比特”的概念。

量子比特的英文名字为quantum bit ，简写为qubit 或qbit 。

从物理上来说量子比特就是量子态，因此，量子比特具有量子态的属性。

由于量子态的独特量子属性，量子比特具有许多不同于经典比特的特征，这是量子信息科学的基本特征之一。

目前，量子比特还没有一个明确的定义，不同的研究者采用不同的表达方式，例如，从物理学的角度，人们习惯于根据量子态的特性称为量子比特（qubit 或qbit ）、纠缠比特（ebit ）、三重比特（tribit ）、多重比特（multibit ）和经典比特（cbit ）等等。

这种方式让人眼花缭乱，并且对量子比特的描述要根据具体的物理特性来描述。

为了避免这些问题的困扰，这里从信息论的角度对量子比特做出统一的描述。

2.2.1 基本量子比特这里给出量子比特的表示方法：若二维Hilbert 空间的基矢为0和1，则量子比特ψ可表示为10βαψ+= （3-2） 式（3-2）中α和β为复数，且122=+βα。

可见，从第二章介绍的理论可知，量子比特既可能处于0态，也可能处于1 态，还可能处于这两个态的叠加态10βα+，其中以概率α2处于状态0 ，以概率β2处于状态1。

要想获得准确结果必须测量该量子比特。

对于确定的量子比特，α和β的值是确定的，例如当2/1==βα时，对应的量子比特01)ψ=+，此时量子系统处于状态0和1的概率均为50%。

由线性代数可知，Hilbert 空间的基矢不唯一，一个量子比特也可以用不同的基矢表示，并且这种基矢有无穷多组。

在不同的基中同一个量子比特的表示形式可以有所不同，如定义基矢+和-分别为01)+=+，-0-1)=。

容易验证δij j i =（δij为狄拉克符号，{}-,，+∈j i ），即+和-是正交归一的，因此它们可以作为Hilbert 空间的一组基矢，以这组基矢也可表示量子比特ψ：-)-(22)(2210βαβαβαψ+++=+= （3-3） 2.2.2 复合量子比特上述定义的量子比特，也可称为简单量子比特（single qubit ）。

也可定义高阶量子比特，对应于多重量子态。

高阶量子比特也可称为复合量子比特[Zeng ]。

其一般表示形式为0121000001++111n ψααα-=+（3-6） n 量子位复合量子比特可表示为2n 项之和。

复合量子比特可对应于直积态或纠缠态，若两个粒子的状态可分，则这种状态为直积态，如00010(01)ψαβαβ=+=⊗+ （3-7）若两个粒子的状态不可分，则这种状态称为纠缠态，如1001ψαβ=+（3-8） 纠缠系统构成的复合基量子比特中，最简单的是双基量子比特，其中，四个Bell态是典型而常用的双基量子比特，它们在量子通信和量子计算中起着重要的作用。

四个Bell 态是：12121212121212120110)0110)0011)0011)+-+-ψ=+ψ=-Φ=+Φ=-Bell 态是Clauser 等人提出的Bell 算符的本征态，其中-ψ为单重态，其它为三重态。

容易验证，它们构成一组正交归一基。

此外，三基量子比特Green-Horne-Zeilinger(GHZ)三重态也常用于量子通信的协议和实验中，它有3 2 种可能的状态，其中常用的状态为)000111ψ=+（3-9）2.2.3 多进制量子比特除了简单量子比特和复合量子比特外，量子通信中还常用的一种称为多进制量子比特，这与经典通信中的多进制编码的字符相对应，如q进制单基量子比特可表示为11011qqqψααα=+++-（3-10）其中222121qa a a+++=. 一个3进制量子比特可表示为213213αααψ++=（3-11）也可定义q进制复合基量子比特，如三进制双基量子比特可以表示为22212012111002010022212012111002010032αααααααααψ++++++++=（3-12）式中220,01iji ja===∑，上标“3”表示3进制，下标“2”表示双基。

2.3 量子比特的实现目前，量子信息和量子计算实验研究中，用到的量子比特实现方法各种各样。

归纳起来，承载量子比特的物理实体有光子、光学相干态、电子、原子核、光学栅格、约瑟夫结、单个充电的量子点对和量子点。

其中对光子而言，可用偏振态、光脉冲中的光子数和光子出现的时间来表示量子比特0和1；对于光学相干态，可用其不同分量表示不同量子比特；对于电子，可用其自旋方向或电子的有无来表征量子比特；对于原子核，可采用不同的核自旋方向表示不同的量子态；对于光学栅格，可采用原子的自旋方向表示量子比特；对于约瑟森夫结，可采用超导量子岛（island）是否带电、超导流（flux）的电流方向或超导相位（基态/激发态）来表示量子比特；对于单个充电的量子点，可用电子的位置表示量子比特；对于量子点，可用量子点的自旋方向表示量子比特。

汇总起来，如表3.1所示。

表3.1 量子比特的物理实现三．量子比特特性3.1.量子比特的数学特性量子比特也可以用图形来表示，式（3-2）可改写为cos 0sin 122i i e e γϕθθψβ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭（3-4） 式中， θϕγ，，均为实数,0,02θπϕπ≤≤≤≤ e i γ是相因子，不具任何可观测效应，因此上式可简写为cos 0sin 122i e ϕθθψβ=+ （3-5）可以验证，上式中的参数,θϕ定义了三维单位球面上的一个点，这个三维单位球面称为Bloch 球，如图3.1所示。

可知，球面上的每一个点代表二维Hilbert 空间中的一个矢量，即一个基本量子比特。

如图3.1所示。

图 3.1 量子比特的Bloch 球表示Bloch 球为量子比特的数学意义提供了一个可视化的解释：量子比特的基矢是球的两极，而任意量子比特是Bloch 球上的一个几何点，该几何点与Z 轴间的夹角为θ ，而该几何点在XY 平面上的投影与X 轴间的夹角为φ 。