y f ( x 0 x ) f ( x 0 ) A x o( x )
则称函数
y f ( x ) 在点 x 0 可微 ， 记 dy
x x0
A x
定理
函数f ( x )在点x 0 可微的充要条件是函数 f ( x )
在点x 0 处可导, 且 A f ( x 0 ).
定理1(最大值和最小值定理) 闭区间上的连续函数
y
一定有最大值和最小值.
f ( x 1 ) min f m f ( x 2 ) max f M
M
y f ( x)
a
o
x1
x2
b
x
m
推论(有界性定理) 在闭区间上连续的函数一定 在该区间上有界.
定理 2 (零点定理)
且 f ( a ) 与 f ( b ) 异号(即 f ( a )
f x0
,
f x 0 0
x0
(2)、罗尔中值定理
如果函数 f ( x )
(1)在闭区间[a , b]上连续,
(2)在开区间 ( a , b ) 内可导,
(3)在区间端点的函数值相等，即 f ( a ) f ( b ) ,
那末在 ( a , b ) 内至少有一点 ( a b ) ,
应用 (如果下列各极限存在) 1.若 则
~ ,

lim
lim

或
lim

lim

2 .若
lim c 0
则
lim

lim
c
或
lim

lim
c
~ c
~ c
常用的等价无穷小替换
sin x arcsin x tan x arctan x ex 1 ln 1 x
齐次方程的通解
1
是二重特征根
特解 y
*
2 yt y 2e t yt
Y e (C 1 C 2t )
t
,
t
x Ce
2
Q ( t )e
t
2
Q ( t ) 2
取
Q (t ) t
特解
y
*
t e
2
t
方程 yt 2 yt y 2e 的通解： y e ( C 1 C 2 t ) t e .
1 x
u x v x n
的莱布尼兹公式
4.(1)隐函数求导法则
由方程 ：F
x, y 0
求导数
dy d y , dx dx 2
.
2
2 dy d y 两边对 x 求导 , 解出 , dx dx 2
(2)参数函数求导法则
x t y t
使得函数 f ( x )在该点的导数等于零，
即
f ( ) 0
'
y
C
y f (x)
o
a
1
2
b
x
(3)、拉格朗日中值定理
如果函数 f ( x )
(1)在闭区间[a , b]上连续,
(2)在开区间 ( a , b ) 内可导,
那末在( a , b ) 内至少有一点 ( a b ) ，
(2)在开区间 ( a , b ) 内可导,且 F ( x ) 在 ( a , b ) 内每一点处
均不为零，
'
那末在 ( a , b ) 内至少有一点 ( a b ) ,使等式
f (a ) f (b) F (a ) F (b)

f ( )
'
F ( )
'
成立.
2、洛必达法则
使等式
f ( b ) f ( a ) f ( )( b a ) 成立.
'
f (b ) f (a ) ba f ( ).
或
f ( )
f (b ) f (a ) ba
y
C
y f (x)
B
A
D
o
a
1
2 b
x
(4)、柯西中值定理
(1)如果函数 f ( x )及 F ( x ) 在闭区间[a , b]上连续,
lim( f x g x )
通分

1 0

1 0

00 00

0 0
0 ,1 ,
0

0
型
lim f x
lim e
g x

g ( x ) ln f ( x )
lim g x ln f x
0 取对数 1 0
高等数学
( 上 ) 期末考试
考 时 试 间
:
1月14 日
:
(周 ) 五
上 8 : 00 10 : 00 午
考前答疑时间
1月12 日 周 三

下 午 晚 上
1 : 30 4 : 15 6 : 00 8 : 45 1 : 30 4 : 15 6 : 00 8 : 45
105 教室 .
1 导数 f x 是函数
在几何上是曲线
，
y f x 的切线斜率
。
2
s t 是直线运动的位移函数
， 则 s t v t 是它的
。
速度函数
， 而 v t s t a t 是它的加速度函数
dy dx
y y( x )
( t ) ( t )
d
2
y
2
dx
d ( t ) dt ( ) dt ( t ) dx

( t ) ( t ) ( t ) ( t ) (t )
3
.
5.
应用
y f x 变量 y 关于自变量 x 的变化率
上连续，
并且不是常数,
函数的最大最小值分别为:
a xb
max
a xb
f (x) M ,
min
f (x) m,
那末，对于 m 与 M 之间的任意一个数 C ，
在 a, b 内至少存在一点 ，
使得
f ( ) C ( a b ) .
y
M C
o
y f ( x)
a
常用的 泰勒公式
导数的应用 单调性,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数 图形的描绘; 曲率;求根方法.
1、中值定理
(1)费马(Fermat)引理
在 U x 0 , 上 ， 若 f x f x 0 f x 0 存在 ， 则
f x 0 0
或 f x
~
x
x
0
1 cos x ~
x
2
(1 x )

1 ~ x
2
二 函数的连续性 1、连续的定义
x x0
lim
f ( x ) f ( x0 )
2、单侧连续
左 续 连
右 续 连
lim
lim
x x
x x0

f (x) f
( x0
) f ( x0 )
0
f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )
lim
x 0
lim
x
f x x f x
x 0
lim

左导数 f x 右导数 f x
x
f x x f x
x 0

x
f x 可导 f x f x
2. 微分 ： 若
2n 1
)
cos x 1
x

x
4

x
6
( 1)
:
f x 在 x 0 点可导 ,
3
近似计算
则有
f x 0 f x 0 x f x 0 f x 0 x df x 0
或 f x 0 x f x 0 f x 0 x f x 0 df
0
0 ln 0 ln 1 0 ln
0 .
对于
1

型另有重要极限的方法
1 u
:
u 0
lim 1 u
e
3、泰勒中值定理
如果函数 f ( x ) 在含有 x 0 的某个开区间( a , b ) 内具
有直到 ( n 1) 阶的导数,
则当 x 在 ( a , b ) 内时,
n
n1
( 在 x0 与 x 之间)
0( ( x x 0 ) )
皮亚诺形式的余项
常用函数带皮亚诺余项的麦克劳林公式
e
x
1 x
x
2

x
n
0( x ).
n
n
2!
n!
sin x x
x
3

x
5
( 1)
x
2n 1
3!
5!
2
( 2 n 1 )!
o( x
1

dt dx

1 x
1 x
y, t
dt dx
xy y t ,
1 x
2
x
2
y t
y tt
dx 2 x y ytt yt ,