V
dN 2 2
2mn* 3
2
exp
E EF k0T
E
1
Ec 2 dE
积分
E
' c
导带顶能量
3
n0
dN
V
1 Ec'
Ec 2 2
2mn* 3
2
exp
E EF k0T
E Ec
1
2 dE
热平衡3状2 态下非简并半导体的导带电子浓度n0
3
n0
dN V
1 Ec'
Ec 2 2
3.2费米能级和载流子的统计分布
3.2.1 费米分布函数
⑴把半导体中的电子看作是近独立体系,即认为电子之间的相互 作用很微弱. ⑵大量电子的运动是服从量子力学规律的,用量子态描述它们的 运动状态.电子的能量是量子化的,即其中一个量子态被电子占据, 不影响其他的量子态被电子占据.并且每一能级可以认为是双重 简并的,这对应于自旋的两个容许值. ⑶在量子力学中,认为同一体系中的电子是全同的,不可分辨的. ⑷电子在状态中的分布,要受到泡利不相容原理的限制.
电子在允许的量子态上如何分布的一个统计分布
函数。
f E
1
1 exp( E EF )
k0T
EF：费米能级或费米能量，与温度、半导体材料的导电类
型、杂质的含量以及能量零点的选取有关。
一个很重要的物理参数
在一定温度下电子在各量子 态上的统计分布完全确定
17
将半导体中大量电子的集体看成一个热力系统， 由统计理论证明，费米能级EF是系统的化学势：
•半导体的导电性受温度影响剧烈。
本章讨论： 1、热平衡情况下载流子在各种能级上的分 布情况 2、计算导带电子和价带空穴的浓度，分析 它们与半导体中杂质含量和温度的关系．
3.1 状态密度
量子态：晶体中电子允许存在的能量状态。
g(E) dZ dE
dZ是E到E+dE之间无限小 的能量间隔内的量子态个数
Z
g (E) dE EC 100( 2 2 /2mn*L2 )
EC
C
EC 100( 2
EC
V 2 /2mn*L2 ) 22
(2mn *)3/ 2
3
1
(E EC )2 dE
1000 / 3
21
(2) f(E)的特性
T=0K时
E E
EF EF
, ,
则f 则f
(E) (E)
1 0
f E
27
• 例题： 当 E EF为 1.5k0T、4k0T、10k0T 时，分别用 费米分布函数和玻尔兹曼分布函数计算电子占据
各该能级的概率。 解：费米分布函数为：
玻尔兹曼分布函数为：
1 f (E)
1 exp( E EF ) k0T
EEF
fB (E) e k0T
将 E EF = 1.5k0T , 4k0T ,10k0T 代入
对硅、锗等半导体，其中的
mn*
mdn
s
2
3
(ml
mt2
)
1 3
•mdn称为导带底电子状态密度有效质量。 对于Si，导带底有六个对称状态，s=6，mdn=1.06m0
对于Ge，s=4，mdn =0.56m0
•同理可得价带顶附近的情况 •价带顶附近E(k)与k关系
E(k)
Ev
2
(k
2 x
k
2 y
2m*p
1 f(E)
据或基本上是空的一个标志。 费米分布函数与温
22
度关系曲线
一般可以认为，在温度不很高时，能量大于费米 能级的量子态基本上没有被电子占据，而能量小 于费米能级的量子态基本上 为电子所占据，而电 子占据费米能级的概率在各种温度下总是1/2。
E－EF>5k0T, f(E)<0.007;
E－EF<-5k0T, f(E)>0.993
EF
F N
T
μ：系统的化学势， F：系统的自由能
意义：当系统处于热平衡状态，也不对外界作功的 情况下，系统中增加一个电子所引起系统自由能的 变化，等于系统的化学势，也就是等于系统的费米 能级。
19
习题
• 计算能量在 E EC 到 E EC 100(h2 / 8mn*L2 )
之间单位体积的量子态数。
表明： 导带底（价带顶）附近单位能量 间隔内的量子态数目，随着电子 （空穴）的能量增加按抛物线关 系增大。即电子（空穴）的能量 越大，状态密度越大。
状态密度与能量的关系
•②对于各向异性，等能面为椭球面的情况：
设导带底共有s个对称状态，
导带底附近状态密度
gc (E)
V
2 2
(2mn* )32 3
1
(E Ec ) 2
1
1
exp
EF k0T
E
EF E k0T
EF
B e k0T
E
1 f E Bek0T
空穴的玻耳兹曼分布函数
说明:
EF
E
k0T时，
空穴占据能量为E的量子态的概率很小 即这些量子态几乎都被电子所占据了
25
半导体中，EF常位于禁带内，且与导带底或价带顶的距离远大于k0T
对导带中的所有量子态来说
•导带底附近状态密度：
gc (E)
dZ dE
V
2 2
(2mn*
)
3 2
3
1
(E Ec ) 2
•价带顶附近状态密度
gv (E)
V
2 2
(2m*p
)
3 2
3
(Ev
1
E) 2
gc(E) dZ dEV2 2(2mn*
)
3 2
3
1
(E Ec ) 2
gv(E)
V
2 2
(2m*p )32 3
(Ev
1
E) 2
价带中绝大多数空穴分布在价带顶附近
26
•非简并半导体和简并半导体 非简并半导体：导带电子或价带空穴数量少，载流 子在能级上的分布可以用波尔兹曼分布描述的半导 体，其特征是费米能级EF处于禁带之中，并且远离 导带底Ec和价带顶Ev。
简并半导体：导带电子或价带空穴数量很多，载流 子在能级上的分布只能用费米分布来描述的半导体 ，其特征是EF接近于Ec或Ev，或者EF进入导带或价 带之中。
1.先计算单位k空间的量子态密度
晶体中K的允许值为：
Kx
2nx
L
(nx
0,1,2,)
Ky
2ny
L
(ny
0,1,2,)
Kz
2nz
L
(nz
0,1,2,)
3.1.2 状态密度
①导带底E(k)与k的关系
（单极值，球形等能面）
E(k)
Ec
2k 2 2mn*
把能量函数看做是连续的,则能量E～E+dE之间包含
的k空间体积为4πk·dk,所以包含的量子态总数为
1
1 exp( E EF )
k0T
E
EF可看成量子态是否被 电子占据的一个界限。
被电子占据 的概率0%
EF
T=0k
T>0K时
E EF , 则f (E) 1/ 2 E EF , 则f (E) 1/ 2 E EF , 则f (E) 1/ 2
被电子占据的 概率100%
EF是量子态基本上被电子占
意义：g(E)就是在能带中能量E附近单位能量间隔内的量子态数。
计算状态密度的方法：
算出单位k空间中量子态（k空间状态密度）→算出k空间中能量E
到E+dE间所对应的k空间体积，并和k空间的状态密度相乘，求出
dZ→利用
g(E) dZ dE
求出。
dE dZ
k空间
k空间状态密度 k空间体积
3.1.1 k空间中量子态的分布
对于能量为E的一个量子态被电子占据的概率为 f(E)为:
f E
1
1 exp( E EF )
k0T
k0 :玻耳兹曼常数，T : 绝对温度
16
在整个能量范围内，状态被占据的数目等于 实际存在的电子总数N。
设与能量Ei相对应的有G(Ei )个量子态，则有
G(Ei ) f (Ei ) N i
f (E)：电子的费米分布函数，它是描写热平衡状态下，
载流子：导带电子和价带空穴
★载流子的产生过程： •导带电子的来源：本征激发中由价带跃迁 到导带的电子；施主杂质电离，由施主能 级跃迁到导带的电子。 •价带空穴的来源：本征激发；受主杂质电 离，接受价带跃迁到受主能级的电子后， 在价带留下的空穴。
★载流子的复合过程：
导带电子跃迁回到价带空位中，使电子、 空穴同时消失；
k
2 z
)
•价带顶附近状态密度也可以写为：
gv (E)
V
2 2
(2m*p
)
3 2
3
(Ev
1
E) 2
但对硅、锗这样的半导体，价带是多个能带简并
的，相应的有重和轻两种空穴有效质量，所以公 式中的mp *变化为一种新的形式。
•对于硅和锗，其中
2
m*p
mdp
(mp
3
)l 2
(m
p
3
)h2
3
•mdp称为价带顶空穴状态密度有效质量 •对于Si，mdp=0.59m0 •对于Ge，mdp=0.37m0
适合上述条件的量子统计,称为费米-狄拉克统计.
(1)费米分布函数 f(E)
电子跃迁
一定温度下： 低能量的量子态
高能量的量子态
单个电子 大量电子
能量时大时小，经常变化
在热平衡状态下，电子按能量 大小具有一定的统计分布规律