(1) 矩阵 与 不仅为同型矩阵，而且是方阵
(2) 在数域 上 阶可逆矩阵 ，使得
性质3
(1)反身性 ;
(2)对称性 由 即得 ;
（3）传递性 和 即得
总之，合同是一种矩阵之间的等价关系，而且经过非退化的线性替换，新二次型的矩阵与原二次型矩阵是合同的.
(4) （其中 是任意常数）；
(5） ；
(6）若 与 相似，则 与 相似（ 为正整数）；
定理1若 为 矩阵，且 ，则一定存在可逆矩阵 （ 阶）和 （ 阶），使得 .其中 为 阶单位矩阵.
推论1设 是两 矩阵，则 当且仅当 .
1.2 矩阵的合同关系
定义2设 均为数域 上的 阶方阵，若存在数域 上的 阶可逆矩阵 ，使得 ,则称矩阵为合同矩阵（若数域 上 阶可逆矩阵 为正交矩阵），由矩阵的合同关系，不难得出矩阵 与 合同必须同时具备的两个条件：
同理，若存在一个正交矩阵 ，即 使得 即 与 合同，则有
由此可得
1.相似阵、合同阵必为等价阵，但过来必成立
2.相似阵为正交相似，合同阵为正交合同时，相似与合同一致.
（2）但相似矩阵与合同矩阵有着一定的在联系，如果两者都具有反身性、对称性和传递性，即两者都是等价关系．另外，在一定条件下，两者是等价的．若矩阵 与 正交相似，则它们既是相似也是合同的．对于相似与合同矩阵之等价条件有以下定理，
(7) 相似矩阵有相同的秩，而且，如果 为满秩矩阵，那么 .
即满秩矩阵如果相似，那么它们的逆矩阵也相似.
(8）相似的矩阵有相同的行列式；
因为如果 ，则有：
(9）相似的矩阵或者都可逆，或者都不可逆；并且当它们可逆时，它们的逆矩阵相似；
设 ，若 可逆，则 从而 可逆.且 与 相似.
若 不可逆，则 不可逆，即 也不可逆.
定理2数域F上两个二次型等价的充要条件是它们的矩阵合同.
定理3复数域上秩为 的二次型，可以用适当的满秩线性变换化为标准形：
1.3. 矩阵的相似关系
定义3设 均为数域 上 阶方阵，若存在数域 上 阶可逆矩阵 使得 ,则称矩阵 与 为相似矩阵（若 级可逆矩阵 为正交阵，则称 与 为正交相似矩阵）
由矩阵的相似关系，不难得到矩阵 与 相似，必须同时具备两个条件
定理9如果 与 都是 阶实对称矩阵，且有相同的特征根．则 与 既相似又合同．
证明：设 与 的特征根均为 因为 与 阶实对称矩阵，则一定存在一个 阶正交矩阵Q使得 同理，一定能找到一个正交矩阵 使得 从而有
将上式两边左乘 和右乘 ,得
由于 , ,
有 ,所以， 是正交矩阵，由定理8知 与 相似．
定理10若 阶矩阵 与 中只要有一个正交矩阵，则 与 相似且合同．
1
1.1
定义1两个 矩阵 等价的充要条件为：存在可逆的 阶矩阵 与可逆的 阶矩阵 ，使
由矩阵的等价关系，可以得到矩阵 与 等价必须具备的两个条件：
（1）矩阵 与 必为同型矩阵（不要方阵）.
（2）存在 阶可逆矩阵 和 阶可逆矩阵 , 使得 .
性质1
（1）反身性：即 .
（2）对称性：若 ，则
（3）传递性：即若 ， ，则
摘要I
引言1
1矩阵间的三种关系1
1.1矩阵的等价关系1
1.2矩阵的合同关系2
1.3.矩阵的相似关系2
2矩阵的等价、合同和相似之间的联系3
3矩阵的等价、合同和相似之间的区别6
结束语6
参考文献6
摘 要:等价、合同和相似是矩阵中的三种等价关系，在矩阵这一知识块中占有举足轻重的地位.矩阵可逆性、矩阵的对角化问题、求矩阵特征根与特征向量、化二次型的标准形等诸多问题的解决都要依赖于这三种等价关系.根据等价、合同和相似的联系的研究的结论是其一可利用等价矩阵的性质来确定相似矩阵或合同矩阵的性质．其二可利用正交相似与正交合同的一致性，得到二者间彼此的转化．
下面这个性质是一个重要的结论，因此我们把它写成以下定理
定理4相似矩阵的特征值相同.
推论3相似矩阵有相同的迹.
2
（1）由以上三种矩阵间的关系的定义，可以知道每一种矩阵关系存在所必须具备的条件，但是这三种关系彼此间存在着密切的联系
定理5相似矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为相似矩阵．
证明：设 阶方阵 相似，由定义3知存在 阶可逆矩阵 ，使得 ，此时若记 , ,则有 ,因此由定义1得到 阶方阵 等价
证明：设 阶方阵 合同，由定义2有，存在 阶可逆矩阵 ，使得 ，若记 , ,则有 因此由定义1得到 阶方阵 等价
反过来对于矩阵 , 等价，但是 与 并不合同，即等价矩阵未必合同．
定理8正交相似矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵必为相似矩阵．
证明：若存在一个正交矩阵 ,即 使得 即 ，则有 ，即 与 合同.
证明：不妨设 是正交矩阵，则 可逆，取 ,有 ，则 与 相似，又知 是正交阵，所以 与 既相似又合同．
定理11若 与 相似且又合同， 与 相似也合同，则有 与 既相似又合同．
证明:因为 与 , 与 相似，故存在可逆矩阵 , ，使 ,令 ,则wenku.baidu.com且 ,故 与 相似．
(1) 矩阵 与 不仅为同型矩阵，而且是方阵.
(2) 存在数域 上的 阶矩阵 ,
性质2
（1）反身性：任意矩阵 都与自身合同.
（2）对称性：如果 与 合同，那么 也与 合同.
（3）传递性：如果 与 合同， 又与 合同，那么 与 合同.
因此矩阵的合同关系也是等价关系，而且由定义可以直接推得：合同矩阵的秩等.
关键词:矩阵的等价;矩阵的相似;矩阵的合同;等价条件
引言：
在高等代数中，讨论了矩阵的三种不同关系，它们分别为矩阵的等价、矩阵的相似和矩阵的合同等关系．本文首先介绍了这三种关系以及每种关系的定义，性质，相关定理及各自存在的条件，然后给出了这三种矩阵关系间的联系，即相似矩阵、合同矩阵必为等价矩阵，相似为正交相似，合同为正交合同时，相似与合同一致．还有矩阵的相似与合同之等价条件．并对这些结论作了相应的理论证明，最后给出了他们的区别和不变量.
反过来，对于矩阵 , 等价，但是 与 并不相似，即等价矩阵未必相似．
定理6对于 阶方阵 ，若存在 阶可逆矩阵 使 ,(即 与 等价)，且 ( 为 阶单位矩阵)，则 与 相似．
证明：设对于 阶方阵 与 ,若存在 阶可逆矩阵 ,使 ,即 与 等价．又知 ,若记 ,那么 ,也即 ,则矩阵 也相似．
定理7合同矩阵必为等价矩阵，等价矩阵未必为合同矩阵．