f
x1
x1
f x2

x2

得到

y

f x1
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第一节 函数误差
间接测量
通过直接测得的量与被测量之间的函数关 系计算出被测量
函数误差
间接测得的被测量误差也应是直接测得量 及其误差的函数，故称这种间接测量的误差为 函数误差
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第一节 函数误差
一、函数系统误差计算
间接测量的数学模型 y f (x1, x2,..., xn )
成 误差分配 微小误差取舍准则 最佳测量方案的确定
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第一节 函数误差
前面讨论的主要是直接测量的误差计算问 题，但在有些情况下，由于被测对象的特 点，不能进行直接测量，或者直接测量难 以保证测量精度，需要采用间接测量。
间接测量是通过直接测量与被测的量之间 有一定函数关系的其他量，按照已知的函 数关系式计算出被测的量。因此间接测量 的量是直接测量所得到的各个测量值的函 数，而间接测量误差则是各个直接测得值 误差的函数，故称这种误差为函数误差。 研究函数误差的内容，实质上就是研究误 差的传递问题，而对于这种具有确定关系 的误差计算，也有称之为误差合成。
x1, x2, , xn 与被测量有函数关系的各个直接测量值 y 间接测量值
求上述函数 y 的全微分，其表达式为：
dy

f x1
dx1

f x2
dx2


f xn
dxn
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第一节 函数误差
由 y 的全微分，函数系统误差 y 的计算公式
y

f x1
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第一节 函数误差
数学模型பைடு நூலகம்
函数的一般形式
y f (x1, x2,..., xn )
变量中只有随机误差
即： y y f (x1 x1, x2 x2, , xn xn )
泰勒展开，并取其一阶项作为近似值
可得：
y
y

f
(x1, x2,..., xn )
不考虑测量值的系统误差，可求出在 h 50mm l 500mm
处的直径测量值
l2 D0 4h h 1300mm
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第一节 函数误差
计算结果：
车间工人测量弓高 h 、弦长 l 的系统误差
h 50 50.1 0.1mm
l 500 499 1mm
将已知各误差值及误差传递系数代人角度的系统误差式，得
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第一节 函数误差
将所求得的角度系统误差修正后，则得被检内锥角的实 际值为
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第一节 函数误差
二、函数随机误差计算
随机误差是用表征其取值分散程度的标准差来评定的，对 于函数的随机误差，也是用函数的标准差来进行评定。 因此， 函数随机误差计算， 就是研究函数y的标准差与各测量值x1， x2，…，xn 的标准差之间的关系。但在式(3-1)中，若以各测 量值的随机误差δx1，δx2，…，δxn 代替各微分量dx1，dx2，… ，dxn，只能得到函数的随机误差δy，而得不到函数的标准差σy 。因此，必须进行运算处理，以求得函数的标准差。
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第一节 函数误差
几种简单函数的系统误差
1、线性函数 y a1x1 a2x2 ... anxn
系统误差公式
y a1x1 a2x2 ... anxn
当 ai 1 y x1 x2 ... xn
当函数为各测量值之和时，其函数系统误差亦为各个 测量值系统误差之和
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第一节 函数误差
例: 用双圆球法检定高精度内锥角α， 如图,已知:
测得尺寸及系统误差为:
求检定结果。 解：根据图所示的测量方法，可得函数关系式
若不考虑测得值的系统误差，则计算出的角度值α0为
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第一节 函数误差
角度α的系统误差为 式中各个误差传递函数为
第3章 误差的合成与分配
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教学目标
本章阐述了函数误差、误差合成与分 配的基本方法，并讨论了微小误差的取 舍、最佳测量方案的确定等问题 。通过 本章的学习，读者应掌握函数系统误差 和函数随机误差的计算以及误差的合成 和分配。
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重点和难点
函数系统误差 函数随机误差 函数误差分布的模拟计算 随机误差的合成 未定系统误差和随机误差的合
误差传递系数为:
f h



l2 4h2
1




5002 4 502
1


24
f l 500 5 l 2h 250
直径的系统误差:
D f l f h 7.4mm l h
故修正后的测量结果:
D D0 D 1300 7.4 1292.6mm
2、三角函数形式
sin f x1, x2,..., xn cos f x1, x2,..., xn
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1
cos
n i 1
f xi
xi


1
sin
n i 1
f xi
xi
第一节 函数误差
【例】 用弓高弦长法间接测量大
工件直径。如图所示，车间工人用 一把卡尺量得弓高 h = 50mm ，弦
长 l = 500mm。已知，弓高的系统 误差 h = -0.1mm , 玄长的系统误 差 l = 1mm 。试问车间工人测量
该工件直径的系统误差，并求修正
后的测量结果。
h
l D 2
【解】 建立间接测量大工件直径的函数模型
D l2 h 4h
x1

f x2
x2

...
f xn
xn
f xi (i 1, 2, , n) 为各个输入量在该测量点 处的误差传递系数 (x1, x2, , xn )
xi 和y 的量纲或单位相同，则 f xi 起到误 差放大或缩小的作用
xi和 y的量纲或单位不相同，则 f xi 起到 误差单位换算的作用