上海市高三数学模拟试题一、填空题（本大题满分48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分.1．空间三点A(m ，1，-1)，B(0，-m ，2)，C(-1，m ，3)，若向量与的夹角是钝角，则实数m 的取值范围是___13)-(-，∞___2．若符号[x]表示不大于实数x 的最大整数， 例[-2.1]= -3, [7]=7, 若 [ |12-x | ]=3, 则x 的取值范围是____(][)5 ,22 5- -，______ 3．一个正方体表面展开图中，五个正方形位置如图阴影所示。

第 六个正方形在编号1到5的位置，则所有可能位置的编 号是__ ②③______4．函数)0( 2||≤+⋅=x x x x y 的反函数是_____)0( 11≤--=x x y _______5．复数)( R y x yi x z ∈+=、满足|2||4|+=-z i z ，则yx 42+的最小值是__24____6．如图所示，直三棱柱的侧棱AA 1和CC 1上各有一点P 、Q 满 足A 1P=CQ ，过P 、Q 、B 三点的截面把棱柱分成两部分，则 四棱锥B-APQC 的体积与原棱柱体积之比为___1：3____7．已知数列}{n a 上无穷等比数列，且41lim =∞→n n S ，则数列}{n a 的首项的取值范围是__)21,41()41 (0 ，_____8．在∆ABC 中，21sin =A ，23sin =C ，则对应的三边之比c b a ::=___3:1:1 3:1:2或_____9．已知在ny x )(+的二项式展开式中，奇数项系数之和等于1024，则展开式中与第k 项系数相等的项是第___13-k____项。

10．当a 在0)(-，∞内变化时，要使经过O(0，0)，A(4,0)，B(1，a)三点的圆的圆心在∆AOB 内(包括边界)，则a 的最大值是_______3-______BCQP AA 1B 1C 111．试写出一个不是分段函数的函数解析式，使该函数在区间1)-(-2，和(0,1)上递减且在(-1,0)和(1,2)上递增____|1|)(2-=x x f _____________12．高三年级有六个班(每班人数相等)，期中考试(1)班------(4)班数学平均成绩分别是75分、79分、78分和82分，若(5)班、(6)班的数学平均成绩分别是76分----85分(包括85分)之间的整数值，那么高三年级期中考试数学平均成绩不低于80分的概率是____0.15_______二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题都给出A 、B 、C 、D 四个结论，其中有且只有一个结论是正确的，必须把正确的代号写在题后的圆括号内，选对得4 分，不选、选错或者选出的代号超过一个（不论是否都写在圆括号内），一律得零分. 13．“0)1)(2(>--x x ”是“02>-x 或01>-x ”的( D )A ．充要条件B 。

充分非必要条件C 。

必要非充分条件D 。

非充分非必要条件 14．设集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x ,412M ，⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k x x N ,214，则( B ) A ．N M = B 。

N M ⊂ C 。

N M ⊃ D 。

φ=N M15．设⎪⎭⎫⎝⎛∈43 ,2ππθ，则方程1csc 2sec 222-=---θθy x 所表示的曲线是( D ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B 。

焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在x 轴上的双曲线 D 。

焦点在y 轴上的双曲线16．如果函数)(x f 在区间[3,7]上的增函数，且最小值为5，那么)(x f 在区间[-7，-3]上是( A )A ．增函数且最大值是-5，B 。

增函数且最小值是-5C ．减函数且最大值是-5，D 。

减函数且最小值是-5三．解答题：（本大题满分86分）本大题共有6题，解答下列各题必须写出必要的步骤.17．（本题满分12分）设a 、b 、c 分别是∆ABC 的边BC 、CA 、AB 的长，且222mc b a =+，若1000cot cot cot =+BA C，求m 的值。

(答案：m=2001)18．（本题满分12分）如图所示，在矩形ABCD 中，AB=1，BC=a ,⊥PA 平面ABCD, PA=1(1) 若BC 边上有且只有一点E ，使ED PE ⊥，求异面直线PD 与AE 所成的角； (2) 在(1)的条件下，求二面角E -PD -A 的大小(均用反三角函数表示)。

解：(1)设EC=x , AE ⊥ED 则222AD ED AE =+ ∴ 22211)(a x x a =+++- 整理得：012=+-ax x 有一解。

∆=0 得a=2 , 此时x=1， E 是BC 的中点。

以A 为原点，AB 、AD 、AP 所在直线为x 、y 、z 轴建立直角坐标系。

，，，，1)-(0,2PD 0) (1,1AE ==510cos =θ，∴PD 与AE 所成的角是510arccos (2) 作EH ⊥AD 于H ，作HF ⊥PD ，连接EF ，则EF ⊥PD(三垂线定理) 则∠EFH 即为二面角A-PD-E 的平面角，其大小为5arctan21. （本题满分14分）为了保护一件珍贵文物，博物馆需要在一种无色玻璃的密封保护罩内充入保护气体.假设博物馆需要支付的总费用由两部分组成：①罩内该种气体的体积比保护罩的容积少0.5立方米，且每立方米气体费用1千元；②需支付一定的保险费用，且支付的保险费用与保护罩容积成反比，当容积为2立方米时，支付的保险费用为8千元. （1） 求博物馆支付总费用y 与保护罩容积V 之间的函数关系式； （2）求博物馆支付总费用的最小值；（1）50016000100016000501000-+=+-=V V V ).(V y （或5.016-+=VV y ） （5.0>V ） ……（8分） （2）7500500160001000≥-+=VV y ……（12） 当且仅当VV 160001000=，即V =4立方米时不等式取得等号 所以，博物馆支付总费用的最小值为7500元。

……（14分）CBA EP20．（本题满分14分）已知数列}{n a 为等差数列, 公差为d ,}{n b 为等比数列, 公比为q ，且2==q d ,51103==+a b , 设n n n b a c ⋅=(Ⅰ)求数列}{n c 的通项公式；(Ⅱ)设数列}{n c 的前n 项和为n S ,求lim+∞→n nnS nb 的值. 解(Ⅰ)由已知有⎩⎨⎧=⨯+=+⋅592512121a b , 解得11=b , 131-=a ……（2分）从而1522)1(13-=⋅-+-=n n a n ， 12-=n n b ，12)152(-⋅-=n n n c ………(6分)(Ⅱ) ∵n n n b a b a b a S ++=2211 ①13221+++=n n n b a b a b a qS ②.①-②得13211)()1(+-+++=-n n n n b a b b b d b a S q=11b a + 1121)1(+----⋅n n n b a q q b d =n n n 2)152(21)21(22131⋅----⋅+-- =]172)172[(+⋅--nn∴172)172(+⋅-=nn n S ……（10分）∴limn +∞→n n S nb =lim n +∞→172)172(21+⋅-⋅-n n n n =lim +∞→n =412172)172(11=⋅+⋅--n n n ……（14分）19．（本题满分16分）试问是否存在满足下列条件的抛物线： (1)准线在y 轴上； (2) 顶点在x 轴上；(3) 点)0 ,3(到此抛物线上的动点P 的距离的最小值是2若不存在，请说明理由；若存在，请写出所有满足条件的抛物线方程。

解：设顶点为(a,0) 由题意得a>0，抛物线方程为)(42a x x y -=设P(x 0,y 0)是抛物线上任一点，则20202)3(|AP |y x +-=令220200200812)32(4496)(a a a x a ax x x x f -+-+=-++-= (1)当1≥a 时，496)()(2min 0=+-==a a a f x f ，得a=5或a=1 (2) 当10<<a 时，4818)23()(2min 0=-=-=a a a f x f ，得21=a 综上所述：抛物线方程为)5(202-=x y ， )1(42-=x y ， )21(22-=x y22．(本题满分18分) 已知函数xax x f -=2)(的定义域为]1,0(（a 为实数）。

（1）当1-=a 时，求函数)(x f y =的值域；（2）若函数)(x f y =在定义域上是减函数，求a 的取值范围；（3）函数)(x f y =在]1,0(∈x 上的最大值及最小值，并求出函数取最值时x 的值。

解： （1）显然函数)(x f y =的值域为),22[∞+。

（2）若函数)(x f y =在定义域上是减函数，则任取]1,0(,21∈x x 且21x x <都有)()(21x f x f >成立， 即0)2()(2121>+-x x ax x 只要212x x a -<即可，由]1,0(,21∈x x ，故)0,2(221-∈-x x ，∴2-≤a 。

故a 的取值范围是]2,(-∞-。

（3）当0≥a 时，函数)(x f y =在]1.0(上单调递增，无最小值，当1=x 时取得最大值a -2；由（2）得当2-≤a 时，函数)(x f y =在]1,0(上单调递减，无最大值，当1=x 时取得最小值a -2。

当02<<-a 时，函数)(x f y =在]22,0(a -上单调递减，在]1,22[a-上单调递增。

无最大值，当22ax -=时取得最小值a 22-。