解析：设矩形的长为 x m，宽为2004－x m，则 S＝ x·2004－x＝14(－x2＋200x)．当 x＝100 时，Smax＝2 500 m2.
答案：2 500 m2
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1.解答函数应用题的一般步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量 关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语 言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学 模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义．
但它们的增长速度不同，且不在同一个档次上，因此在
(0，＋∞)上，总会存在一个x0，使x>x0时有
.
ax>xn>logax.
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3题改编)f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当 x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列
选项中正确的是
()
3．在解决二次函数的应用问题时，一定要注意定义 域．
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1．一根均匀的轻质弹簧，已知600 N的范围内，其长 度y(m)与所受拉力x(N)成一次函数关系，现测得当 它在100 N的拉力作用下，长度为0.55 m；在300 N 的拉力作用下长度为0.65 m，那么弹簧在不受拉力 作用时，其自然长度是多少？当在700 N的拉力下， 弹簧会出现什么情况？
如果不获利，则国家至少需要补贴多少元才能使该单位
不亏损？ [自主解答] 设该单位每月获利为 S，
则 S＝100x－y
＝100x－12x2－200x＋80
000
＝－12x2＋300x－80 000
＝－12(x－300)2－35 000，
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因为 400≤x≤600， 所以当 x＝400 时，S 有最大值－40 000. 故该单位不获利，需要国家每月至少补贴 40 000 元，才能不亏损．
在一个x0，当x>x0时有
a.x>xn
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(2)对数函数y＝logax(a>1)与幂函数y＝xn(n>0)
对数函数y＝logax(a>1)的增长速度，不论a与n值的 大小如何总会 慢于 y＝xn的增长速度，因而在定义域内
总存在一个实数x0，使x>x0时有 logax<xn .
由(1)(2)可以看出三种增长型的函数尽管均为增函数，
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以上过程用框图表示如下：
2．解函数应用题常见的错误 (1)不会将实际问题抽象转化为函数模型或转化不全面； (2)在求解过程中忽视实际问题对变量参数的限制条件．
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一次函数与二次函数模型
[例 1] 为了保护环境，发展低碳经济，某单位在国家
科研部门的支持下，进行技术攻关，采用了新工艺，把二
A．f(x)>g(x)>h(x)
B．g(x)>f(x)>h(x)
C．g(x)>h(x)>f(x)
D．f(x)>h(x)>g(x)
解析：由图象知，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小
依次为g(x)>f(x)>h(x)． 答案：B
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2．在某种新型材料的研制中，实验人员获得了下列一组 实验数据．现准备用下列四个函数中的一个近似地表 示这些数据的规律，其中最接近的一个是 ( )
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分段函数模型
[例 2] (2012·孝感统考)某公司生产一种产品，每年
需投入固定成本 0.5 万元，此外每生产 100 件这样的产
品，还需增加投入 0.25 万元，经市场调查知这种产品年
需求量为 500 件，产品销售数量为 t 件时，销售所得的
氧化碳转化为一种可利用的化工产品．已知该单位每月的
处理量最少为 400 吨，最多为 600 吨，月处理成本 y(元)与
月处理量 x(吨)之间的函数关系可近似地表示为：y＝12x2－
200x＋80 000，且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产
品价值为 100 元．
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该单位每月能否获利？如果获利，求出最大利润；
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4．一种产品的成本原为a元，在今后的m年内，计划使 成本平均每年比上一年降低p%，成本y是经过年数 x(0<x≤m)的函数，其关系式y＝f(x)可写成_______． 解析：依题意有y＝a(1－p%)x(0<x≤m)． 答案：y＝a(1－p%)x(0<x≤m)
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5.有一批材料可以建成200 m的围墙， 如果用此材料在一边靠墙的地方围 成一块矩形场地，中间用同样的材 料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的 矩形最大面积为______________．(围墙厚度不计)
1．三种增长型函数模型的图像与性质
增函数 越来越快
增函数 越来越慢
y轴
x轴
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增函数
1
2．三种增长型函数之间增长速度的比较
(1)指数函数y＝ax(a>1)与幂函数y＝xn(n>0)
在区间(0，＋∞)，无论n比a大多少，尽管在x的一定范 围内ax会小于xn，但由于ax的增长 快xn于的增长，因而总存
A.y＝2x C．y＝12(x2－1)
B．y＝log2x D．y＝2.61cos x
解析：通过检验可知，y＝log2x较为接近．
答案：B
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3．一根蜡烛长20 cm，点燃后每小时燃烧5 cm，燃烧
时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图
象表示为图中的
()
解析：由题意h＝20－5t,0≤t≤4.结合图象知应选B. 答案：B
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解：设y＝kx＋b(k、b为常数)， 由题意知当x＝100时，y＝0.55，即0.55＝100k＋b； 当x＝300时，y＝0.65，即0.65＝300k＋b. ∴kb＝＝00..050. 0 5 ， ∴y＝0.000 5x＋0.5(0≤x≤600)． 当x＝0时，y＝0.5. ∴当弹簧在不受拉力作用时，其自然长度是0.5 m，而 当受力为700 N时，此弹簧已受破坏.
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1．在实际问题中，有很多问题的两变量之间的关系 是一次函数模型，其增长特点是直线上升(自变量的系数 大于0)或直线下降(自变量的系数小于0)，构建一次函数 模型，利用一次函数的图像与单调性求解．
2．有些问题的两变量之间是二次函数关系，如面积 问题、利润问题、产量问题等．构建二次函数模型，利 用二次函数图像与单调性解决．