N个原子头尾相接形成环链， 保持所有原子等价特点
Ae
i t N n aq
Ae
it naq
Ae
i t N n aq
Ae
it naq
即：e
iNaq
1
l =任意整数，因为已经把 q限制在第一布里渊区，
l 取值数目是有限的：只有布里渊区内的 N 个整数值。
n m M n q0
质心保持不动
离子晶体在某种光波的照射下，光波的电场可以激发这 种晶格振动，因此称这种振动为光学波或光学支或光频支。
电磁波只与波数相同的格 波相互作用。如果它们具有 相同的频率，就会发生共振。
光波： ＝c0q， c0为光速
—— 恢复力常数
于是，总的相互作用能为：
1 U u ( xij ) 2 i j 1 1 u 1 2u 2 u ( xij 0 ) （ ） （ ） ij 2 O ij O 2 i j 2 i j xij 4 i j xij
即： U U 0

iaq 2m cos aq e M 2 m2 2Mm cos aq M m
即：
i R e
aq



2


2
－在Ⅰ、Ⅳ象限，属于同相位型
物理图象：原胞中的两种原子的振动相位基本相同，原胞
基本上是作为一个整体振动，而原胞中两种原
R ei
R：大于零的实数，反映原胞中P、Q两原子的振幅比 ：原胞内P、Q两原子的振动位相差
1. 光学波（optical branch）
n 2m cos aq eiaq 2 2 M m M m 2Mm cos aq n
1 2 sin aq m 2

—— 色散关系 Dispersion curves
这里ω可正可负，我们取正值，因为在物理上频率应不小于 零。 这个结果与 n 无关，说明 N 个方程都有同样结果，即所有 原子都同时以相同的频率ω和相同的振幅 A 在振动，但不同 的原子间有一个相差，相邻原子间的相差是 qa 。
(q)
=c0q +
+(0)
0
q
对于实际晶体， ＋(0)在1013 ~ 1014Hz，对应于远
红外光范围。离子晶体中光学波的共振可引起对远红外
光在 ＋(0)附近的强烈吸收。
2. 声学波（acoustic branch）
iaq 2 m cos aq e n 2 2 n M m M m 2Mm cos aq
代入U，得
d n in ( i n ) m 2 dt i
2
§3.1 一维单原子晶格振动
一、模型和动力学方程
一维无限原子链 —— 每个原子质量m，平衡时原子间距a
—— 第n个原子离开平 衡位置的位移 —— 第n个原子和第i个 原子间的相对位移
原子的运动方程:
d 2 n in ( i n ) m 2 dt i
该结果还表示：只要ω和q 满足上述关系，试解就是联立方 程的解。通常把ω和 q 的关系称作色散关系。
解的物理意义 格波 原子振动以行波的方式在晶体中传播。当两原子相 2 距 ( ) 的整数倍时（即na-ma=lλ），两原子具有 q 相同的振幅和位相。
该解表明：晶体中所有原子共同 参与的振动，以波的形式在整个 晶体中传播，称为格波。
从形式上看，格波与连续介质弹性波完全类似，但连续介质 弹性波中的 x 是可以连续取值的；而在格波中只能取 na 格 点位置这样的孤立值。
由连续介质 中的机械波 波矢 晶体中的格波 波长
总结: 格波方程: 格波波长:
格波波矢:
格波的群速度： v d a cos qa dq m 2 不同原子间相位差: 相邻原子的相位差:
实际晶体是有限的，处在表面的原子的所力显然跟内部不同， 应该有不同的方程。
跟晶体内部原子数比起来，表面的特殊性对晶体的整体性质产 生的影响可以忽略,也就是说表面的运动方式可以按数学上的方 面任意选择。表面原子的运动方式称为边界条件。Born－Karman 最早利用周期性边界条件解决了此问题，成为固体理论的一个典 范。
q 值的分布密度（单位长度上的模式数目）： Na L q L＝Na 为晶体链的长度。 2 2 第一布里渊区中波数 q 的取值总数等于晶体链的原子个数，
Na
2 2 Na ( q) N 至此，我们可以有把握的说找 a a 2 到了原子链的全部振动模。
一维原子链第一布里渊区内的色散关系：
4
m
sin qa 2
2
1 sin aq m 2

q
长波极限:
1ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 2 sin aq m 2

在长波长极限区，即
sin qa qa 2 2
q 0时，
vs

m


m
a
a
m a

Y
aq

和弹性波的结果一致。
在 q 0 的长波极限下：类似声波，vs即声速。
q 0, 0 的色散关系称为声学支 (acoustic branch)。每组
(ω ,q)对应的振动模式称为声学模 (acoustic mode)
原胞中两原子的振动相位相同
当
2 q , 2a, vq 0 a q
qa vq a cos m 2


群速度为零
相邻原子振动相位相反，波既不向右传 播，也不向左传播，形成驻波
相邻原子振动方向相反
§3.2 一维双原子链 声学波和光学波
2m cos aq e
i aq
M m M 2 m2 2Mm cos aq
R ei


2a
q

2a
cos aq 0
aq
3 2 2

＋在Ⅱ、Ⅲ象限之间，属于反相位型
物理图象：原胞中两种不同原子的振动位相基本上相反， 即原胞中的两种原子基本上作相对振动。 当q0时，＋，原胞中两种原子振动位相完全相反。
子基本上无相对振动。
当q0时，_0，原胞内两种原子的振动位相完全相同。
q0时
2

M m
Mm
1 1 sin 2 aq 2 M m 4Mm
1 1 2 aq Mm M m M m 2Mm 2 2 2 2 aq aq 2 Mm M m M m 4Mm
二、格波的色散关系:（
）
4 m
特点: １、是q的周期函数,周期为2/a。
(q Gl ) (q)
波矢的取值
Gl l 2 / a (l为整数）
一维晶格倒格矢
—— 第一布里渊区
q取不同的值，相邻两原子间的振动位相差不同，则 晶格振动状态不同。
若 q q 振动状态
u 1 u 2 u ( xij 0 ij ) u ( xij 0 ) （ ） ij （ 2 ） ij O O xij 2 xij
2
u —— 原子平衡位置的受力，因此为零； （ ） xij O 即式中第二项为零
2u ij ji （ 2） 0 xij
第三章 晶格振动与晶体的热学性质
§3.1 一维单原子晶格振动 §3.2 一维双原子晶格振动
§3.3 三维晶格振动、声子
§3.4 晶格振动谱的实验测定 §3.5 晶格振动的热力学函数 模式密度 §3.6 晶格热容
§3.7 非谐效应：热膨胀、热传导
绪言
晶体中的原子处在不停的运动中；
温度较低: 热运动较弱——在平衡位置附近微振动,平衡位
光学波和声学波的物理图象
第n个原胞中P、Q两种原子的位移之比
iaq n 2 cos aq e A iaq e 2 B 2 m n

2m cos aq eiaq M m M 2 m 2 2Mm cos aq
置是晶格格点,所以称为晶格振动； 晶格振动是原子的热运动，对晶体的热学性能起 主要贡献。(除非很低的温度下，考虑电子贡献)
温度较高:
热运动较强——少数原子脱离格点－ 热缺陷； 热运动很强——整个晶体瓦解，溶解。
温度很高:
晶格振动的研究 —— 晶体的热学性质
固体热容量 ——是晶体热运动宏观性质的表现
—— 只考虑相邻原子的作用，第n个原子受到的作用力
第n个原子的运动方程
—— 每一个原子运动方程类似 —— 方程的数目和原子数相同
方程解和振动频率
(这样的线性齐次方程应有一个波形式的解)
设方程组的通解: A是振幅,为角频率,q=2/λ波矢 naq — 第n个原子振动相位因子
得到 应用三角公式
色散关系
1 2 i j ij 4 i j
—— 平蘅位置时的相互作用能
1 U 0 u ( xij 0 ) 2 i j
1 在简谐近似下有： U U 0 i j ij 2 4 i j
因此，在简谐近似下第n个原子的动力学方程为：
d 2 n U F man m 2 n dt
一维复式格子的情形 —— 一维无限长链
两种原子m和M _( M > m) —— 构成一维复式格子 M原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 …… m原子位于2n， 2n+2， 2n+4 …… 同种原子间的距离2a——晶格常数
系统有N个原胞
d 2 n in ( i n ) m 2 dt i