相似，合同与等价
1 等价的意思就是秩相等 PA=B 说明行向量组秩相等 AP=B 是列。当A为方阵时候 PAQ=B
秩相等
2正交就是说里面的行（列）全部正交
3相似说明AB 等秩，行列式一样，特征值一样但是特征向量不同，相似能推出合同
实数对称矩阵一定能有N个正定的特征向量（其他矩阵只能推出线性无关）一定有对角矩阵与其对应。 A行列式=0 说明有秩为0
4A合同B （等秩）就是说正负惯性指数一样，其他的都可能不同就是说A秩是正数个数和B一样负的个数也一样， 0 非负非正。
也可以数二次型的平方的系数正负的数量是一样的，用这2种方法解题目。求秩，求二次型系数
5正定（等秩）说明实对称矩阵的特征值全部大于0 ，主子式也大于0 ，相互间的行列式符号一样，对角线上的数全为正
6对于实对称矩阵，相似一定合同，但是合同不一定相似。
考察合同关键看正负惯性指数。所以只要判断出两个秩相等的实对称矩阵的特征值符号就行了。
7矩阵的三种关系：
1等价：s*n矩阵A,B等价<=>存在可逆的s阶P和n阶Q使得B=PAQ.
2合同：A,B，均为数域P上的n阶方阵，若存在数域P上的n阶可逆矩阵P使得PAP=B。3相似：A,B，均为数域P上的n阶方阵,若存在数域P上的n阶可逆矩阵P使得P-1AP=B。(若P正交，则为正交相似矩阵)
4三种关系的联系：a，相似矩阵一定是等价矩阵，反之不然。
b，A,B，均为数域P上的n阶方阵，若存在数域P上的n阶可逆矩阵P,Q,使得PAQ=B,且PQ=E,则A与B相似。
c，正交矩阵必为合同矩阵，正交合同矩阵比为相似矩阵;相似阵，合同阵必为等价阵，反之不然；相似阵为正交相似，合同阵为正交合同，此时相思和合同一致。
d，相似与合同矩阵之等价TH:
1、A与B都是n阶实对称矩阵，且有相同的特征根，则A与B既
相似又合同。（实对称矩阵可以正交对角化）
2、n阶矩阵A与B中只有一个正交矩阵，则AB与BA相似且合同。
3、A与B相似且合同，C与D相似且合同,则（A O/OC）与(BO/OD)
既相似又合同。
2015届本科毕业论文 题目：二次型化为标准型方法 所在学院：数学科学学院 专业班级：数学与应用数学11-2班 学生姓名：赵江南 指导教师：艾合买提 答辩日期：2015年5月5日
目录 1 引言.............................................. 错误!未定义书签。 2 关于二次型定义 ................................... 错误!未定义书签。 3 二次型化为标准型的方法 ........................... 错误!未定义书签。 正交变换法 ...................................... 错误!未定义书签。 . 配方法 ......................................... 错误!未定义书签。 . 初等变换法 ..................................... 错误!未定义书签。 . 雅可比方法 ..................................... 错误!未定义书签。 . 偏导数法 ....................................... 错误!未定义书签。 4. 小结 ............................................ 错误!未定义书签。参考文献 .......................................... 错误!未定义书签。致谢 .............................................. 错误!未定义书签。
第二章用正交变换化为标准型 第一节2、1几种化标准形的方法 2、1、1配方法 2、1、2初等变换法 2、1、3偏导数方法 2、1、4雅可比方法 第二节2、2用正交变换化为标准形 p 2、2、1非退化线性替换的定义 2、2、2正交替换法 2、2、3例子 2、2 用正交变换化为标准形 2、2、1非退化线性替换的定义 定义1、设x,…,x;y,…,y是两组文字，系数在数域P中的一组关系式 称为由x,…,x到y,…,y的一个线性替换，或简称线性替换，如果系数行列式≠0，那么线性替换就称为非退化的。 2、2、2正交替换法 正交替换法：先写出二次型的矩阵A，在用正交替换X=TY将A对角化，从而
T’AT=，其中λ（i=1，2，…,n为二次型f(x,x,…x的矩阵的所有特征值，同时有f(x,x,…x=λy+λy+…+λy 2、2、3例子 【例1】用正交变换化二次型f(x,x,x=2x+5x+5x+4x x-4x x-8x x为标准形，要求写出所用的正交替换（广西师范大学*2001*（三）*15分） 解：A== =x-12x+21x-10=(x-1(x-1(x-10=0 x=1,1,10, (i x=1 E-A=---- η=η= (ii x=10 10E-A=--------
η=--γ γβ=η-<η,λ> γ=+=+=β -- γ=令V=（γ，γ，γ）= 令X=UY为所用正交变换，即Y=U’X f(x,x,x=X’AX=(UY’AUY=Y’U’AUY=Y’Y=y+y+10y为标准形 【例2】用正交变换化二次型f(x,x,x=x-2x+x+4x x+8x x+4x x为标准形，并写出所用的正交变换。（广西师范大学*2002*（三）*15分） 解：f的矩阵A=== =x-27x+-54=(x+3(x-6(x+3=0 即A的特征根为6，-3，-3 （i）x=6
正交变换法和配方法化二次型标准形 1配方法化二次型标准形 用配方法化二次型为标准形的关键是消去交叉项，分如下两种情形处理： 情形1: 如果二次型()n x x x f ,,,21 含某文字例如1x 的平方项，而011≠a ,则集中二次型中含1x 的所有交叉项，然后与21x 配方，并作非退化线性替换 ??? ????==+++=n n n n x y x y x c x c x c y 2212121111（P c ij ∈） 则()n y y g y d f ,,2211 +=,其中()n y y g ,2是n y y ,,2 的二次型。 对()n y y y g ,,,32 重复上述方法直到化二次型f 为标准形为止. 情形2: 如果二次型()n x x x f ,,,21 不含平方项，及011=a ()n i ,,2,1 =,但含某一个0≠ij a ()j i ≠，则可先作非退化线性替换 () ?????? ?≠==-=+=j i k n k y x y y x y y x k k j i j j i i ,;,,2,1 把f 化为一个含平方项2i y 的二次型，再用情形1的方法化为标准形. 例1.1：用配方法化二次型 ()321,,x x x f =2 33222312121222x x x x x x x x x --+++ 为标准形，并写出所用的非退化线性替换. 解：先对1x 配方消去所有含有1x 的项21x ，21x x ，31x x ： ()321,,x x x f =21x +()1322x x x ++2 2x -322x x -23x =()2321x x x ++-()2 32x x ++2 2x -322x x -23x =()2 321x x x ++-324x x -232x
§6用配方法化二次成标准形 用正交变换化二次型成标准形,具有保持几何形状不变的优点.如果不限于用正交变换法,那么还有多种方法对应有多个可逆的线型变幻把二次型化成标准形.这里只介绍拉格朗日配方法.下面举例来说明这种方法 例15 化二次型 3 2 3 1 2 1 2 2 2 2 2 1 62252x x x x x x x x x f +++++= 成标准形,并求所用的变换矩阵 解 由于 f 中含变量 1x 的平方项，故把含1x 的项归并起来，配方可得 3 2 2 3 2 2 3 1 2 1 21 65222x x x x x x x x x f +++++= 3 2 2 3 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 1 6522)(x x x x x x x x x x x +++---++= 23 3 2 2 2 2 3 2 1 44)(x x x x x x x +++++= 上式右端除第一项外已不再含.1x 继续配方，可得 2 3 2 2 3 2 1 ) 2()(x x x x x f ++++= 令 ?????=+=++=,,2, 333223211x y x x y x x x y 即?????=-=+-=, , 2, 33 3223211y x y y x y y y x 就把化成标准形(规范形)22 21 y y f +=，所用变换矩阵为 ??? ? ? ?????--=10 210111 C ，). 01(≠=C 例 16 化二次型 3 2 3 1 2 1 622x x x x x x f -+=
成规范形，并求所用的变换矩阵. 解 在 f 中不含平方项。由于含有乘积项，故令 ? ?? ??=-=+=, , ,33212211y x y y x y y x 代入可得 .32312 22 18422y y y y y y f +--= 在配方，得 .6)2(2)(22 32 322 31y y y y y f +---= 令?? ? ? ???=-=-=,6),2(2),(233322311y z y y z y y z 即?? ? ? ? ???? =+=+=, 61, 6 221,61213332311z y z z y z z y 就把 f 化成规范形 , 33 22 2 1 z z z f +-= 所用变换矩阵为 ,61 0612121632121 610 6221061021100011011???? ???? ??? ??? ???--=??????? ? ? ?????? ??-=C
正交矩阵的性质及其正交相似标准型 数学学院数学与应用数学（师范）专业2008级张亮 指导教师刘学文 摘要：正交矩阵作为一种特殊的矩阵，在整个矩阵理论中具有十分重要的作用。正交矩阵的正交相似标准型在欧几里得空间、正交变换及正交矩阵的有关分解问题中都有很重要的地位。一方面，它是实对称矩阵的正交相似标准型的自然联想；另一方面，它在欧几里得空间中的地位相当于对称矩阵在二次型中的地位。本文利用正交矩阵、旋转、正交相似等相关概念，对正交矩阵的一些常用的性质以及正交矩阵的正交相似标准型进行研究和整理。 关键词：正交矩阵；正交相似；正交相似标准型；特征向量 Abstract: Orthogonal matrix as a special matrix, a very important role in the entire matrix theory. Orthogonal matrix orthogonal similar standard in the Euclidean space, orthogonal transformation and orthogonal matrix decomposition problem has a very important position. On the one hand, it is a real symmetric matrix orthogonal similar to the standard natural association; the other hand, it's position in the Euclidean space is equivalent to a symmetric matrix in the quadratic. In this paper, orthogonal matrix, rotation, and orthogonal similarity related concepts, conduct research and organize some common nature of the orthogonal matrix and orthogonal matrix orthogonal similar standard. Keywords:Orthogonal matrix; Orthogonal similarity;；Orthogonal similar standard; eigenvectors 正交矩阵作为一种特殊的矩阵，在整个矩阵理论体系中具有十分重要的地位和作用。在我们教材中，正交矩阵是在研究欧几里得空间时提出的，它是刻划欧几里得空间中标准正交基与标准正交基间的过渡矩阵，同时它在实对称矩阵的标准型定理中起到了很重要的作用。正交矩阵是矩阵论中比较重要的概念，它在数