基于齿行法的仅受应力约束的连续梁结构优化计算 焦杨,刘景园 (北京工业大学建筑工程学院,北京100124) 摘要:论述了运用齿行法对静定或超静定结构进行结构优化计 算的优势,并在此基础上详细给出了其具体的算法步骤。在此 理论基础上,运用齿行法对一仅受应力约束的连续梁实例进行 结构优化分析。分析表明,齿行法在解决仅有应力约束的静定 或超静定结构结构优化问题时,它一方面利用满应力条件来决 定搜索方向和步长,另一方面又及时把设计点拖回到可用域的 边界上来。齿行法相对于其他结构优化方法最大的优点即迅 速有效的选代过程。 关键词:结构优化;齿行法;应力约束
Journal of Nanchang University(Engineering&Technology) Vol.30 No.4 Dec.2008 P398-400
结构优化是结构设计过程中的一个重要方面。 目前的结构优化方法主要有力学准则法和数学规划 法及一些其它的混合方法。 然而, 例如力学准测法,在对于类似静定或超静定的连续梁结 构优化时,只有进行较多次数的迭代后才能得出比较精 确的结果,且该方法最后得到的结果并不能保证就是结 构整体最优的方案[1-2]。 又如分部优化法,此方法只能调整局部性约束,并不能解 决整体性约束[3]。
投影梯度法是最速下降法对约束问题的推广，因此没有较快的 收敛速度，为了解决这个问题很多中外学者把发展得比较成熟 的无约束最优化算法作类似的推广，其中共轭梯度方法是近年 发展的很成熟的方法，它具有计算简单，算法结构好，计算量 少，具有良好的收敛性等优点，而Rosen投影梯度法的提出使 寻找下降方向变得简单．
即：工程结构优化设计序列逼近法是在每次迭代中把复杂的非 线性约束规划问题用较简单的规划来趋近的一类方法。如用线 性规划逐次逼近非线性规划的序列线性化规划法(SLP),用无约 束规划逼近约束规划的序列无约束规划法(SUMT)和序列二次 规划法(SQP)等。
特种规划法：
指利用某些特殊规划的方法。如几何规划可用于目标函数和约 束函数都是正定多项式（指数为任意实数、系数全为正数的由 变量幂的乘积函数组成的多项式）的优化问题。动态规划适用 于某些弱连接的可分段处理的问题。
仅受应力约束时的齿行法
仅考虑应力约束时的齿行法主要思想是: 根据当前设计点,从所有应力中挑选出一个约束,称之为最严 (临界)约束;然后对当前设计点作射线比例变换,使之调整到 最严约束面上,而最严约束的选取能够保证经过射线比例调 整的点将不违反所有约束条件,即该点为一可行点,随后再通 过合理的调整策略修改设计点,使目标函数下降,这样,通过 反复迭代就可以达到最优点[6-8]。
而齿行法：
是一种能把分部优化和整体调整相结合的结构优化方法。 这种方法在解决仅有应力约束的连续梁结构优化问题时,它 一方面利用满应力条件来决定搜索方向和步长,另一方面又 及时把设计点拖回到可用域的边界上来[4]。
齿行法相对于其他结构优化方法最大的优点即在迭代过程 中,可以视不同情况,利用射线步及时将迭代过程中的设计点 拉回到约束空间的边界面上,从而保证了迭代能迅速有效地 进行[5]。
结构优化设计
主要参考文献：
1、《结构优化设计》 王光远 董明耀 编著 高等教育出版 社 1987年第一版。 （采用） 2、《结构优化设计概论》 谢祚水 编著 国防工业出版社 1997年第一版； 3、《结构优化设计原理与应用》 朱伯芳 黎展眉 张壁城 编 著 水利电力出版社 1984年第一版。
结构优化理论是上世纪50年代出现的一种新的设计方法。 它是以最优化数学理论为基础，借助电子计算机选择最 优化设计方案的一种优化技术。目前优化方法已成为数 学的一个重要分支。将优化理论应用于设计，不仅可以 大大缩短设计周期，显著提高设计质量，而且还可以解 决传统设计方法无法解决的复杂设计问题。
仅受应力约束的连续梁结构在进行齿行法优化计算时可 用射线步进行迭代。
因此这类齿行法在每产生一种方案后,须作一次射线步,使 设计点落到当前最严的约束面上,以此保证结构整体的可 用性并且避免漏掉局部优化解。
当仅受应力约束时,就应当让调整步与射线步交替使用,直 至连续两个可用设计点足够接近为止[9-11]。
柯西-史瓦兹不等式(Cauchy -Schwarz Inequality)
海塞方阵
库恩一塔克
高温强度模型
NO.4 优 化事例
黑塞
线性约束最优化问题的投影梯度法
内容摘要 最优化是一门应用性很强的学科．近年来，随着计算机的发展 以及实际问题的需要，大规模优化问题越来越受到重视．于是， 快速有效的算法成为研究的热门方向． 最优化问题分为无约束最优化问题(古典的求函数极值问题)和 带约束最优化问题，对最优化问题的研究是近年来运筹学的热 门问题，在经典最优化问题的基础上许多国内外学者对算法进 行了改进和创新，提出了一大批新算法．对于约束最优化问题 的研究一直是优化专家们研究的热门方向之一．其中比较著名 的有二次规划、逐步二次规划法、罚函数法、信赖域法、约束 变尺度法和可行方向法等．
4.2 射
线
步
我们已经知道，结构的局优解必然在可用域边界约束面 的交点或边界面与目标函数等值面（等重面）的公切点上， 因而为了保证整个结构的可用性和不漏掉局优解，很 自然地会想到沿可用域边界面搜索寻找最优解。这样，就必 须把当前设计点拉回到当前最严约束面上。
对某一设计点来说，当前最严约束面就是从该设计 点沿某一给定方向移动时，首先遇到的可用域边界的 约束面。
仅受应力约束的齿行法迭代计算步骤如下: 前提条件:实际方案应为仅受应力约束的静定或超静定结构。
3
结论
齿行法在针对解决类似算例中的连续梁等静定或超静定结 构有很突出的优势,因为在齿行法的迭代过程中,可以视不 同情况,无需进行结构分析步,而仅需利用射线步就可及时 地将迭代过程中的设计点拉回到约束空间的边界面上,从而 保证了迭代能迅速有效地进行。
在约束最优化问题的算法中怎样寻找有效的下降方向是构造 算法的重要内容，在寻找下降方向方面可行方向法中的投影 梯度法有效的解决了下降方向的寻找问题，利用线性约束问 题边界点的任意方向在边界上的投影都是可行方向，而负梯 度方向的投影就是一个下降方向．60年代初Rosen提出投影梯 度法的基本思想，自从Rosen提出该方法以后，对它的收敛性 问题不少人进行了研究，但一般都是对算法作出某些修正后 才能证明其收敛的，直到最近对Rosen算法本身的收敛性的证 明才予以解决． 罗森 Rosen
解非线性规划的网格法也是直接搜索法。
<<旋转跳步直接搜索法 >> 赵汝怀,陈小君 【作者单位】：西安交通大学数学系 (赵汝 怀);西安交通大学数学系(陈小君) 本文给出了一种最优化的直接搜索法,称为旋转跳步法. 与著名的Powell（鲍威尔）方法相比,它不但仍然具有二次收 敛的良好性质;而且,一、保证任何一组搜索方向线性无关,它 们的极限方向也线性无关.二、对连续强拟凸函数而言,收敛 性不依赖于对目标函数的任何可微性假设.三、对正定二次函 数而言,一维搜索的理论次数为(n(n+1))/2,只有Powell方法的 一半. 《西安交通大学学报》1983年02期
复合材料是可设计的结构材料，因此优化理论在复合材 料设计过程中有着重要的地位，是复合材料设计的基础。
力学准则法是一种比较方便的方法。 其缺点是有时得不到严格的最优解，而且不能用于具有其他 目标函数的结构优化问题。
直接搜索法是
NO. 5 引言
对于只有局部性约束的超静定结构来说，所以能采用 上一章介绍的“分部优化法”，是因为作了‘在各部分所 受内力不变’这个零次近似的假定，这个假定人为的割断 了各部分和整体之间的联系，这样便带来了三个后果： 1） 各部分分别局部优化后，整个结构是不协调的，（原 有内力状态无法使线结构变形和谐），因此必须多次迭代 进行调整。 2） 不排除结构整体的“不可用性”。如上章例题3.1. 3) 最后得到的结果并不能保证就是结构整体的最优方案。 当静定或超静定结构收到整体性约束时，分部优化法 不能使用，因为只调整局部不可能 满足整体性约束要求。
艾塔
艾塔
艾普西龙
艾普西龙
艾普西龙
ξ 克西
ξ 克西
ξ 克西
豪格(Haug,E.J.),阿罗拉((Arora,J.S.)
《伪梯度方向复合形直接搜索法》
作者：畅延青
摘 要: 在传统复合形直接搜索方法基础上，对有约束的 非线性优化问题，充分利用复合形网提供的信息，从多可行 方向中找出搜索网的伪梯度方向，从而使图网的柔韧性能增 强，搜索方向更加明确，对一类约束非线性优化问题具有更 高的计算效率。
解析搜索法：
序列逼近法：
本文 提 出 基于投影梯度法与无约束最 优化问题的下降类算法相结合的几类 新算法.使新算法将无约束最优化问题的 下降类算法推广到线性约束最优化问 题.
罗森
乌尔夫
丹齐克(Dantzig)
复
习
但是，分部优化法有其极大的优越性： 1. 步骤简单，收敛迅速； 2. 任何结构设计中强度、部件稳定等局部性约束是大量的， 整体性约束是少量的。 因此，如果能把两种约束分别对待，即把分部优化和整体调 整两种手段结合起来，发挥各自的长处，必将导致一种较好 的优化设计方法。 例如：齿形法 它不是满约束准则法，它是利用力学特点的直接搜索法之一。 例如：只有应力约束的齿形法： 它一方面利用满应力条件来决定搜索方向和步长，另一 方面又及时把设计点拉回到可用域的边界上来。这样，就既 利用了分部优化的手段，又照顾了结构整体的可用性。