①对于任意 , V , ( ) ( ) (). ②对于任意 a F, V , (a ) a ( )
易证上面的两个条件等价于下面一个条件：
③对于任意 a,b F 和任意 , V ,
(a b) a ( ) b ()
在②中取 a 0 ，对③进行数学归纳，可以得到：
（1） (0) 0
x1
A
x2
.
xn
综合上面所述, 我们得到坐标变换公式：
定理7.3.1 令V是F上一个n 维向量空间，σ是 V的一个线性变换，而σ关于V的一个基 {1, 2 ,, n} 的矩阵是
a11
A
a21
a12
a22
a1n a2n
an1 an2 ann
如果V中向量ξ关于这个基的坐标是 (x1, x2 ,, xn，) 而σ(ξ)的坐标是 ( y1, y2 ,, yn，)
例6 取定F的一个n元数列 a1, a2,, an , 对于 F n
的每一向量 x1, x2,, xn , 规定
a1x1 a2 x2 an xn F
则，σ是 F n到F的一个线性映射(这个线性映射也叫做 F上一个n元线性函数或 上F n一个线性型).
例7 对于F[x] 的每一多项式 f(x)，令它的导数
因而（9）成立。
三、线性变换的多项式
线性变换的乘法满足结合律：
对于任意 , , L(v), 都有
( ) ( ).
因此, 我们可以合理地定义一个线性变换σ的n次
幂
n
n
这里n是正整数。
我们再定义
0
这里ι表示V到V的单位映射，称为V的单位变换。这样 一来，一个线性变换的任意非负整数幂有意义。
加法: : ( ) ( ) 数乘: k : k ( ) ,
那么 和 k 都是V 的一个线性变换.
证明 令 ，那么对于任意 a,b F 和任意
, V ,
(a b) (a b) (a b) a ( ) b () a ( ) b () a( ( ) ( )) b( () ()) a( ) b().
做σ与τ的积，并且简记作στ 。除上面的性质外，还 有：
(9)
( ) ,
(10)
( ) ,
(11)
(k ) (k ) k(),
对于任意 k F, , , L(v) 成立。
证明 我们验证一下等式（9）其余等式可以类 似地验证。设 V. 有
( )( ) (( )( )) ( ( ) ( )) ( ( )) ( ( )) ( ) ( ) ( )( ),
第七章 线性变换
7.1 线性映射 7.2线性变换的运算 7.3 线性变换和矩阵 7.4 不变子空间 7.5 特征值和特征向量 7.6 可以对角化矩阵
课外学习8：一类特殊矩阵的特征值
7.1 线性映射
一、内容分布 7.1.1 线性映射的定义、例. 7.1.2 线性变换的象与核.
二、 教学目的 1．准确线性变换（线性映射）的定义，判断给定的法
射影的性质， : 是 V到3 V的3一个线性映射.
例3 令A是数域F上一个m × n矩阵，对于n元
列空间的 F m 每一向量
规定： ， 则
x1
x2
xn
是一个m×1矩阵，即是空间 F m的一个向量，σ
是 F到n F的m一个线性映射.
例4 令V 和W是数域F 上向量空间. 对于V 的每 一向量ξ令W 的零向量0与它对应，容易看出这是V 到W的一个线性映射，叫做零映射.
进一步，设 f (x) a0 a1x an xn.
是F上一个多项式，而 L(V ), 以σ代替x，以 a0
代替 a0 ，得到V的一个线性变换
a0 a1 an n.
这个线性变换叫做当 x 时f (x)的值，并且
记作 f ( ).
（1）因为对于任意 V , a0( ) a0,
我们也可将 a0 简记作 a0，这时可以写
f ( ) a0 a1 an n.
（2）带入法：如果 f (x), g(x) F[x], 并且
(x) f (x) g(x) (x) f (x)g(x).
那么根据L(V )中运算所满足的性质,我们有
( ) f ( ) g( ) ( ) f ( )g( ).
7.3 线性变换和矩阵
所以σ关于基 1,2的矩阵是
cos sin
sin cos
设 V2，它关于基 1,2 的坐标是 x1, x2 ,而
的坐标是 y1, y2 .那么
y1 y2
cos sin
sin cos
x1 x2
三、矩阵与线性变换
引理7.3.2 设V是数域F上一个n 维向量空间，
{1,2 ,,n} 是V的一个基，那么对于V 中任意
n个向量 1, 2 ,, n ，有且仅有 V 的一个线性变
换σ，使得:
(i ) i
i 1,2,n
证 设 x11 x22 xnn是V中任意向量.
我们如下地定义V到自身的一个映射σ： ( ) x11 x22 xnn
可证明，σ是V的一个线性变换。设
那么
y11 y22 ynn V
( ) ( ) () 0,
从而
ker( ) {0}.
所以 , 即σ是单射.
如果线性映射 :V W 有逆映射 1，那么是W
到V 的一个线性映射.
建议同学给出证明.
7.2 线性变换的运算
一、内容分布
7.2.1 线性变换的加法和数乘 7.2.2线性变换的积 7.2. 3线性变换的多项式
二、坐标变换
设V是F上一个n 维向量空间, {1, 2 ,,n}
是它的一个基, ξ关于这个基的坐标是 (x1, x2,, x而n ),
σ(ξ)的坐标是
( y1, y2,,问yn:).
( y1, y2,和, yn )
(x1, x2,, xn ), 之间有什么关系?
设
x11 x22 xnn
（2） (a11 ann ) a1 (1) an (n )
例1 对于R2 的每一向量 x1, x2 定义 x1, x1 x2 , x1 x2 R3
σ是 R2到 R3的一个映射，则σ是一个线性映射.
例2 令H是
一向量ξ，令
V3表中示经向过量原ξ点在的平一面个H平上面的.正对射于影V3.根的据每
那么
y1 x1
y2
A
x2
yn xn
例1 在 V2 内取从原点引出的两个彼此正交的
单位向量 1, 2 作为 V2 的基.令σ是将 V2的每一向量
旋转角θ的一个旋转. σ是 的V一2 个线性变换.我们有
1 1 cos 2 sin , 2 1 sin 2 cos.
f x与它对应，则这样定义的映射是F[x]到自身的一
个线性映射.

例8 令C[a, b]是定义在[a, b]上一切连续实函数
所成的R上向量空间，对于每一 f xCa,b, 规定
f
x
x
a
f
t dt
则 f x仍是[a, b]上一个连续实函数，且σ是 C[a,
b]到自身的一个线性映射.
二、线性变换的象与核
二、教学目的:
掌握线性映射的加法、数乘和积定义，会做运算. 掌握线性变换的多项式, 能够求出给定线性变换的多 项式.
三、重点难点:
会做运算.
一、线性变换的加法和数乘
令V是数域F上一个向量空间，V到自身的一个线 性映射叫做V 的一个线性变换.
我们用L(V)表示向量空间和一切线性变换所成的 集合，设 , L(v), k F, 定义
坐标． 3．已知线性变换关于某个基的矩阵，熟练地求出σ关于
另一个基的矩阵。 三、重点难点:
线性变换和矩阵之间的相互转换, 坐标变换, 相似矩阵。
一、线性变换的矩阵
设V是数域F上一个n维向量空间，令σ是V的一 个线性变换，取定V的一个基 1,2,,令n,
(1) a111 a212 an1n (2 ) a121 a222 an2n
则是否是一个线性变换（线性映射）． 2．正确理解线性变换的象与核的概念及相互间的联系，
并能求给定线性变换的象与核． 三、 重点难点
判断给定的法则是否是一个线性变换（线性映射），求 给定线性变换的象与核．
一、线性映射的定义、例
设F是一个数域，V和W是F上向量空间. 定义1 设σ是V 到W 的一个映射. 如果下列条件被 满足，就称σ是V 到W 的一个线性映射：
一、内容分布 7.3.1 线性变换的矩阵 7.3.2 坐标变换 7.3.3 矩阵唯一确定线性变换 7.3.4 线性变换在不同基下的矩阵—相似矩阵
二、教学目的 1．熟练地求出线性变换关于给定基的矩阵Ａ，以及给
定n 阶矩阵Ａ和基，求出关于这个基矩阵为Ａ的线性变． 2．由向量α关于给定基的坐标，求出σ(α)关于这个基的
定义2 设σ是向量空间V到W的一个线性映射,
(1) 如果 V V , 那么 (V ) { ( ) | V } 叫做V
在σ之下的象. (2) 设W W , 那么{ V | ( ) W} 叫做 W 在σ
之下的原象.
定理7.1.1 设V 和W 是数域F 上向量空间，而
:V W 是一个线性映射，那么V 的任意子空间在
(1) ;
(2) ( ) ( ).
令θ表示V到自身的零映射,称为V的零变换,它显然
具有以下性质：对任意 L(v) 有：
(3)
设 L(v),σ的负变换－σ指的是V到V的映射
: ( ). 容易验证，－σ也是V的线性变换，并且
（4） ( )
线性变换的数乘满足下列算律：
所以 是V的一个线性变换
令 k ，那么对于任意 a,b F 和任意 , V ,
(a b) k( (a b)) k(a ( ) b ()) ak ( ) bk () a( ) b().