v
(
x)
u(x)v(x) u(x)v(x) v 2 ( x)
于(v(是x) 0) . 证明v = vu(x=) 在u(
于lim是[ul(ixm ux()xv(vx x0 x0
)v( xx)
=xv(
第二节 函数的求导法则 这些法则可简记为
(u v) = u v 推广 (u + v - w) = u + v - w
x
y
解 y(sin(xs)3e(xccs6xoe)cscx8o)x(sx52s5xisn1e101cx)xx2(4ctoa2nsxx), (2c.scxy) seccsxcx cot x x
cos2 x sin 2 x co(sc2oxsx)
c os x
第二节 函数的求导法则
二、反函数的求导法则
例4*设设 y
x2
2x x5 1
2
,求y.解第二节 函数的求导法则
例5y
设 (yx
2 2x = tan
x
2, )求(xy5(.x1)5
(x2 1)2
2x
2)(
x5
1) y
解 例6y设
((y2ta=x(ntsaxen2)c第)x(x)x二,5求节css1(ioen)xycs函52xx.(x数x1,)2(2的co2求txxy导) 2法)se则5ccxs24c2x
定理2 如果函数 x = f (y) 在区间 Iy 单调、可导且
f (y) 0， 则它的反函数 y = f -1(x) 在区间
Ix = { x | x = f (y) , y Iy } 内也可导，且
[ f 1(第x)]二 节 1函数或的求d导y 法 则1 .
函数 x
=f
(y)
在区间
f ( y) dx dx Iy 单调、可导，证dy明[ f 1(x)]
y
dy dx
dy
f (u) g f (u)
(x) 或 g(x)
=
f [g(x)]
dy dy dx du
在点 x
du . dx
可导
dx
证明 由于 y = f (u) 在点 u 可导，因此
lim lim 推广
设
u 0
y=uyf(uf)
,(uu)=
y (v) u,
v=f(u(x))，则( 复合函数0)
(1) [u(x) v(x)] =第u二(x
(1) [u(x) v(x)] = u(x) v(x)； 证明(2)u[u=(xu)(xv()x在)] x= 处u
(2)
[u(x)
v(x)]
=
u(x)
v(x)
+
u(x)
v(x)；证明v =(3v)u(x=)uv在(u(xx())xx)
处在
(3)
u(x)
π
2
y 1π 12x 2
的
反函例数8 ，求而反正x =切s函in数y 在y =I yarctaπ2 n, π2x 的内导单数调、. 可导，且
的 反所 所反 函以 以例解 解函 数， ，9 数 ，yy求yy==y==，而对aala而orr数rx(ccgca(ts(a=arxt函ailcaornxn第=acsng((数ix(ysttxnat0axa二i在axn在nxn在y<)(n)x节-yy(=)xy)(-)(--l在 <1(<=o函s=x1gi,nl<xc11Ins<a1数oye)1y<xy)ascxx)是的内2<1(2+y,<ay(,>+求每 xπ2l+>(n>c,a)0=oπ.2导一 x0r01)是sc,)a)内 ,y,c法点y内a内ox(单则 -t处1x单=每x)调 1可t调)一a<的、n导、y点导y可<1，可处数+导1并导可xπ2，2.且)，导y的且且，π2
解 y = (2x5 –第3二x3节+ 4函x –数9的) 求导法则
例2 f (=x)(=2xx53)+–4(s3ixn3)x +– c(4oxs1)0–, (求9)f (x) 及 f () .
解
f
=2 (x) =
5(xx第34 +–二43节sin3x函x2–+数c4o的s1求0 导) 法则
= 10x4 – 9x2 + 4 .
第二节 函数的求导法则
一、和、差、积、商的求导法则 二、反函数的求导法则 三、复合函数的求导法则 四、基本求导公式
第二节 函数的求导法则
一、和、差、积、商的求导法则
定理1 如果 u = u(x) 及 v = v(x) 都在点 x 处可导，则
它们的和、差、积、商(分母为零的点除外)都在点第x二处节
可导，且
2x xy2
可ln 看sin作x由,
u0
y = f {[(yx)]}f的(u链)导u 公 式为u
dyy dxx
dduy f dd(uuv) dduxxv
.
u x
y
u u
第第二二节节 函函数数的的求求导导法法则则
例10 设
y
ysins1in21xx22
x , x
2求,
求dy dx
dy . dx
.
解
第二节 函数的求导法则
例y 11sin设1
1 f ( y)
证明 由于 x = f (y) 在 Iy 内单调、可导(从而连续),
-1
第第二二节节 函函数数的的求求导导法法则则
例7 求反正弦函数 y = arcsin x 的导数 .
解
y
=
ar(casric第nsixn二(x-节)1 函x1数 11的x)2是求, (导xar=c法cso则isnxy)
(u v) = uv + uv v = C (Cu) = Cu (C 为常数)
(u v) = uv + uv 推广 (uvw) = uvw + uvw + uvw
u v
uv uv v2
u=1
1 v
v v2
v=x
第第二二节节 函函数数的的求求导导法法则则
例1 y = 2x55 – 3x3 + 4x – 9 , 求 y .
例3 y = exx=(s3inx2x++4cos x ), , 求 y .
解
yf (=)(e=x)3 (s2in-
4. x+
cos
x
)
+
ex
(sin
x
+
cos
x
)
= ex (sin x + cos x ) + ex (cos x – sin x ) = 2excos x .
第第二二节节 函函数数的的求求导导法法则则
并且
y (arctanyx)
y
1
1 x2
1
2
第二节 函数的求导法则
三、复合函数的求导法则
第二节 函数的求导法则
定定理理33
如果函数 如果函数
u u
= =
g(x) g(x)
在点 在点
x x
可导，而 可导，而
y y
= =
f (u) f (u)
在点 在点
u u
= =
g(x) g(x)
且其导数为
可导，则复合函数 可导，则