• 主成分分析结果
初始特征值 成份 1 2 3 合计 26.657 2.722 1.098 方差的 % 85.991 8.782 3.541 累积 % 85.991 94.772 98.314
Байду номын сангаас
-4
-2
0
2
4
-4
-2
0
2
4
• 对于多维变量的情况和二维类似，也有高 维的椭球，只不过无法直观地看见罢了。 • 首先把高维椭球的主轴找出来，再用代表 大多数数据信息的最长的几个轴作为新变 量；这样，主成分分析就基本完成了。 • 注意，和二维情况类似，高维椭球的主轴 也是互相垂直的。这些互相正交的新变量 是原先变量的线性组合，叫做主成分 (principal component)。
图2 τ=1.5时，利率对参数的敏感度
因此对期限结构进行估计时，需要选取合 适的τ的取值，这里采用试值法。 数据选取2008年6月至2013年6月每个月的 最后一天的的上交所国债数据作为样本，数 据全部来源于wind，具体数据见附表1。 分别取τ=0.5,1,1.5,…,5,6,7,8,9,10,15,20,25,30 对公式(2)进行最小二乘估计，分析软件为 Eviews,得到估计结果的统计表如下表所示：
β1 参数，当t不断增加时，从上图可以看出的 β1 系数衰减为0，说明 β1 的影响力在t递增的 过程中逐渐减弱，因此可以将 β1 看作是短期 因素，它在短期中发挥重要作用，长期而言 作用微乎其微。同时，由于 β1 >0时，收益率 曲线斜率为负， β1 <0时，收益率曲线为正， 且 的绝对值越大，收益率曲线越陡峭，因此 也可以将 β1 理解为“斜率因子”。
• 主成分分析通常的做法是，寻求原指标的 线性组合 。即：
主成分 满足如下条件： 1.每个主成分的系数平方和为1。即
2.主成分之间相互独立，即无重叠的信息。即 3.主成分的方差依次递减，重要性依次递减， 即 为了分析原始变量和主成分之间的关系，我 们可以利用原始变量与主成分之间的相关系 数:
写成矩阵形式：
β2 估计值 -6.1596 -3.1371 -2.2315 -1.6419 -1.1754 -0.7834 -0.4409 -0.1315 0.1564 0.4312 0.9633 1.4950 2.0432 2.6177 3.2244 6.8364 11.5086 17.2852 24.1794
• 几种不同类型的利率期限结构
在使用久期和凸度来衡量债券的利率风险 时，能有效发挥作用的一个重要前提是利率 期限结构的平行移动。 但是研究发现，国债收益率曲线的移动方 式并不是只有平行移动一种，同时也存在着 收益率曲线的斜率和曲率变化。收益率曲线 的非平行移动的存在，削弱了债券组合投资 中久期和凸性利率风险管理策略的有效性。 因此，久期和凸性在利率市场化逐步推进， 市场上利率风险逐渐扩大的今天，已经显得 较为落后。
在τ=8时，Nelson-Siegel模型的估计方程为:
对2008年6月-2013年6月的月度样本数据根据 上述方法拟合，得到每个月的N-S拟合模型， 然后每个模型取t=0.5，1，2，3，…, 30得到 对应期限利率估计值，为之后的主成分分析 提供数据，具体结果见附表2
利率期限结构的主成分分析 1、将N-S模型估计的利率期限结构数据导入 SPSS软件中： file/open/data,然后选择文件类型(execl)，以及 数据所在的sheet，完成数据导入 2、进行主成分分析： Analyze/dimension reduction/factor,然后选取 需要进行主成分分析的变量 3、对主成分分析的结果进行分析，得到影响 利率期限结构变动的三个主成分
利率期限结构的主成分分析
胡志强 马文博
利率期限结构的相关概念
主成分分析法
利率期限结构的主成分分析
利率期限结构的相关概念
• 利率期限结构的定义
利率期限结构是指某个时点不同期限的即期利率 与到期期限的关系及变化规律。 由于零息债券的到期收益率等于相同期限的市场 即期利率，因此利率期限结构一般用反映零息债券 的到期收益率与期限之间的一条曲线来表示，如水 平线、向上倾斜和向下倾斜的曲线。
R2 0.6843 0.7402 0.7591 0.7637 0.7637 0.7627 0.7620 0.7617 0.7617 0.7619 0.7629 0.7640 0.7651 0.7661 0.7669 0.7696 0.7709 0.7716 0.7720
具体操作： 1、新建一个workfile,选择文件类型为 unstructured/undated,输入样本数据个数（本 例为42） 2、导入收益率y和时间t的数据: data y data t 3、构建序列l1和n1: series l1=(1-exp(-t/0.5))/(t/0.5) series n1=(1-exp(-t/0.5))/(t/0.5)-exp(-t/0.5)
则 其中 为 对应的特征根，所以原始变量和主 成分之间的相关系数可以写为： 因此可以通过比较Y的特征根来决定主成分的 顺序，从而达到降维的目的
利率期限结构的主成分分析
利率期限结构的估计
Nelson-Siegel模型是一种通过参数模型来描述曲线动态变化 的方法，大量应用于利率期限结构的估计中，由Nelson和 Siegel在1987年提出。瞬时远期利率可以用包含参数的如下 模型来描述： （1） 其中，x是参数向量，τ是固定时间常数，之后讨论τ的取值方 法。Nelson和Siegel运用拉盖尔函数构造出了到期收益率的表 达式如下：
设A是n阶矩阵，若有n维非零列向量x使得以下关 系成立：
则称λ是A的一个特征值，而x是A的属于特征值λ 的一个特征向量
若A有n个线性无关的特征向量 我们还可以将其对角化：令 则 ，其中 由特征值组成的对角矩阵
， ， 是
主成分分析法简介
主成分分析是将多指标化为少数几个综合指标的 一种统计分析方法。 在实际问题中，由于变量太多，彼此之间往往还 存在着一定的相关性，因而使得所观测到的数据在 一定程度上反映的信息有所重叠。而且当变量较多 时，在高维空间中研究样本数据的分布规律比较复 杂，势必会增加问题分析的难度。人们自然希望能 够用较少的综合变量来代替原来复杂的多变量，而 这几个综合变量又能够尽可能多的反映原始变量的 信息，并且彼此之间互不相关，利用这种降维的思 想，产生了主成分分析的统计方法。
先假定只有二维，即只有两个变量，它们 由横坐标和纵坐标所代表；因此每个观测值 都有相应于这两个坐标轴的两个坐标值；如 果这些数据形成一个椭圆形状的点阵（这在 变量的二维正态的假定下是可能的）,那么这 个椭圆有一个长轴和一个短轴。在短轴方向 上，数据变化很少；在极端的情况，短轴如 果退化成一点，那只有在长轴的方向才能够 解释这些点的变化了；这样，由二维到一维 的降维就自然完成了。
4、运行参数估计程序“NS固定参数取值”， 得到τ去不同值时的OLS估计结果： file/open/program…/run 5、比较τ不同取值时的模型估计效果，然后 选取合适的取值（此例τ=8）得到N-S模型的 估计结果
由Nelson-Siegel模型参数的意义可以看出,β0代表 长期水平，应该是一个正值; β1代表短期利率和 长期的利差，在上升形的利率期限结构中，该利 差应该为负值，因此β1应该为负值; β2代表了中 期利率，在t为正且有限的时候， 应该为正值。 综合考虑上述因素，而且同时满足残差平方和尽 可能小，模型拟合的R2尽可能大，各参数在5%的 显著水平下尽可能显著，从之前的讨论已经知道 τ的取值会影响 β1和β2 的衰减速度，τ的值越大， 衰减越慢，越适合拟合期限较长的数据，由于本 次样本中到期期限在15年之内的数据占绝大部分， 因此选取τ=8作为适合的取值。
β2 参数，从上图中可以看出， β2 的系数随着t 的递增先增加后减小，因为 β2 的系数可以从0 开始，所以不是长期因素，同时它又不是单 调递减迅速衰减到0的，因此也不是短期因素， 可以将 β2 理解为中期因素。同时 β2 对不同期 限的收益率影响程度是不一样的，因此可以 理解为“曲率因子”。
τ参数，在其他参数固定不变的情况下，τ决定了收益率曲线第一次 驼峰出现的时间，而且也影响了 和 的衰减速度，对比图1和2就可 以直观的看出τ的不同取值对图形的影响
τ 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 6 7 8 9 10 15 20 25 30
β0 估计值 3.9800 4.1521 4.2804 4.3647 4.4167 4.4464 4.4597 4.4598 4.4481 4.4254 4.3481 4.2281 4.0652 3.8589 3.6087 1.6915 -1.3464 -5.5102 -10.8018
β1 p值 估计值 0.0000 0.2977 0.0000 -1.2274 0.0000 -1.6191 0.0000 -1.8331 0.0000 -1.9610 0.0000 -2.0357 0.0000 -2.0753 0.0000 -2.0902 0.0000 -2.0862 0.0000 -2.0669 0.0000 -1.9890 0.0000 -1.8640 0.0000 -1.6944 0.0000 -1.4812 0.0000 -1.2243 0.1651 0.7194 0.5060 3.7742 0.0776 7.9493 0.0162 13.2489 p值 0.6749 0.0012 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0023 0.0293 0.5249 0.0578 0.0107 0.0032
20世纪90年代之后，主成分分析技术被运 用到从时间序列角度捕捉影响收益率曲线变 化的风险因素，成为了债券投资组合的重要 的风险管理工具。 本次实验课的主要目的就是运用主成分分 析的方法来研究我国国债收益率曲线的变动 模式及其在国债投资组合中利率风险管理中 的应用。