1 关于湍流理论研究进展 摘要 本文对近年来湍流理论在某些方面的研究进展作了概要介绍，对具有代表 性的理论假设的思想方法，进行了扼要阐述，指出了相应的实用价值和局限性。 关键词 湍流 湍流统计理论 混沌理论 湍流拟序结构 湍流剪切流动 1 无处不在的湍流现象 湍流是自然界中流体的一种最普遍的运动现象，它广泛的存在于我们生活周围。在大风吹过地面障碍物的旁边，在湍急的河水流过桥墩的后面，在烟囱中冒出的浓烟随风渐渐扩散等地方，都能观察到湍流运动现象。简单地说，湍流运动就是流体的一种看起来很不规则的运动。由于湍流现象广泛存在于自然界和工程技术的各个领域，因此湍流基础理论研究取得的进展就可能为经济建设和国防建设的广泛领域带来巨大的效益。例如，提高各种运输工具的速度以大量节约能源， 提高各种流体机械的效益；改善大气和水体的环境质量， 降低流体动力噪声， 防止流体相互作用引发的结构振动乃至破坏；加强反应器内部物质的热交换与化学反应的速度等等。 然而像湍流这样，虽经包括许多著名科学家在内长达一个世纪多的顽强努力，正确反映客观规律的系统的湍流理论至今还没有建立，在整个科学研究史上也是不多见的。因此，可以说湍流是力学中没有解决的最困难的难题之一。因此，世界上许多国家一直坚持把湍流研究列为需要最优先发展的若干重大基础研究课题之一。 2 湍流理论的发展历史 湍流理论从它的思路来说大体可分为两类[1]。一类是先把流体动力学方程组平均以后，然后再设法使方程组封闭，求解后再和实验结果比较，看封闭办法是否正确。湍流中绝大部分理论是属于这一类型。另一类是先求解，取特殊模型，再引进平均，得到要求的物理量，和相应的实验结果进行比较。 2.1 Reynolds方程和混合长度理论 十九世纪70年代是Maxwell-Boltzmann分子运动理论取得辉煌成果的时代。它成功地解释了气体状态方程、气体粘性、气体热传导和气体扩散等一系列现象。湍流理论开始发展的时候，就受着这种思想支配。1877年T.V.Bonssinesq[2]又开始2
用表观湍流（涡旋）粘性系数μT来表示湍流剪切应力τxy，即 式中ρ为流体密度， 为湍流（涡旋） 运动粘性系数，U为x方向平均速度。1886年O.Reynolds把湍流运动分为平均运动和脉动运动两个部分，又引进了两种平均效应，一种是分子的平均效应，另一种是流体团的平均效应。分子平均效应产生压强和粘性应力，流体团平均效应产生表观的湍流雷诺应力。1894年他得到了著名的Reynolds方程
式中Ui为平均速度，p为平均压强，ui为脉动速度，ρuiuj为Reynolds应力，ρμ分别为流体密度和粘性系数。压强可由状态方程给出，粘性应力可用平均流速梯度和粘性系数表示。Reynolds应力用什么来表示一直是一个很大的问题。由于Reynolds 应力的引入使未知量增加了6个，使流体动力学方程组成为不封闭。这就是通常所说的湍流的不封闭困难。从1894年到本世纪30年代，很多人都从事过Reynolds应力用平均流速表示出来的工作。其中最有名的就是混合长度理论。它是分子运动理论表述粘性应力方法的直接移植。 1925年Prandt[3]参照分子自由程引入混合长度的概念来讨论单向沿管壁的流
动，认为在该长度距离内，被运的动量是一个不变量，而表观剪应力由动量转移所确定，即扩散系数
l称为混合长度。l被认为和离开固壁的距离y成正比。而Karman则从湍流脉动的局部相似性出发，得到混合长度为
Prandtl的动量转移理论对平均流速分布问题与实验结果较好符合，但在理论上有3
严重的不能自圆其说的地方。因为流体团在流体中运动是受压强作用的，而压强作用是会对流体团的动量产生改变作用的。因此G.I.Taylor在1932年提出了涡量转移理论，他认为在混合长度这段距离内，动量是在变化的，而是涡量才是一个不变的量。由此得到涡旋运动粘性系数v T 和涡量扩散系数ε分别为
这样，不仅克服了理论上的缺陷，而且能同时成功的解释平均流速分布和湍流热扩散两种现象。 以后还有很多人对混合长度理论的表达式进行了修改，并且把它应用到许多具体问题上，例如尾流、射流等等，曾计算出许多湍流运动的流场和温度场[4]。在有些问题上动量转移理论较好，有些问题则涡量转移理论与实验更符合。对不同的具体问题，混合长度有不同的具体表达式。这就是通常把混合长度理论认为是半经验理论的原因。 在处理混合长度上曾经有过两种不同的观点。一种是Prandtl的观点，认为混合长度是一个区域性的性质；另一种是Karman的相似性观点，认为混合长度和某一点的局部性质有关。虽然在解决某些特殊问题时结果是相同的，但从概念来看却是完全不同的。从今天的实验结果来看，似乎Prandtl的观点更符合实际一些。 2.2 各向同性湍流的统计理论[1] 从上世纪30年代开始，随着热线风速仪等测量技术的发展，实现了对一点湍流脉动量和不同点上脉动量之间相互关联的测量。不同随机量之间的相互关联是统计学上常用的处理问题的方法，这就产生了湍流的统计理论。这种理论主要研究湍流脉动场的统计规律性和湍流运动的内部微结构。由于要避免平均剪切流动和湍流脉动相互交换能量以及湍流场各向异性和不均匀性等复杂性，G.1.Taylor
在1935年讨论了一个和静止气体分子运动论相当的流动状态，这就是均匀各向同性湍流。他在风洞中网格后面做了大致上和这种流劫状态相当的实验。讨论了湍流的关联函数，他令 4
式中u1为P点脉动速度，u1＇为P点脉动速度，f（r）为纵向关联函数，g（r） 为横向关联函数，λ就是湍流的Taylor微尺度。它得到了湍流衰减定律
并且讨论了扩散等问题。 1938年和T.vonKarman和L.Howarth把笛卡尔张量引入不可压缩流体的均匀各向同性湍流理论，简化了G.L.Taylor的计算，并且得到了二元速度关联和三元速度关联的表达式及它们各自的分量之间的关系式
他们还得到了均匀各向同性湍流的动力学方程式，即通常所说的Karman
-Howarth方程 5
把这个方程式对r展开，取第一项就就得到Taylor的湍流衰变定律。这个方程有两个未知量f和k，两个未知函数只有一个方程，当然不能把f和k都求出来，所以方程是不封闭的。和Reynolds方程一样，这个方程也是不能求解的。这些不封闭性的原因都来源于流体动力学方程的非线性。以后有很多人尝试引入某些假定来封闭这个方程并求解它，但都未能彻底解决这个问题。 1938年G.T.T.aylor引入一维湍谱。他把速度关联用Fourier变换变到波数空间，得到一维湍谱函数Ei（ki）:
他在这方面的开拓性工作最初也获得了实验的证明。到1948年W.heisenberg又把量子力学中常用的三维湍谱引入
式中 由于不可压缩流体的连续性条件，得到 6
和物理空间的Karman-Howarth方程相对应，得到了湍流空间相应的方程 子和 的关系为 式 W.Heisenberg为了求解，用量刚分析方法求出涡旋粘性系数，最后得到的方程为 式中r为一个常数。Bass和Chandrasekhar曾进行求Heisenberg方程。Chandraseklar
求得与时间无关的准确解。这个解在，Reynolds数无穷大时趋近于， E（k）～k-7，这也是Heisenberg最初用近似方程得到的。 2.3 具有剪应力的普通湍流理论 周培源教授在上世纪30年代初期就带领他的学生从事湍流理论研究工作[5]。在30年代末，他认识到Reynolds应力和物体几何形状等边界条件密切相关，要找出Reynolds应力和粘性应力相似不随边界形状改变的应力形变关系式是不可能的。因此他着重寻找Reynolds应力及关联函数所满足的方程[6-8]，希望能在解Reynolds应力的方程时，把边界等影响作为积分常数（也就是初始条件和边界条件）自然地考虑进去。1940年周培源教授从Navier-Stokes方程减去Reynolds方程， 得到速度涨落方程
为Reynolds应力，π为压力涨落。再从速度涨落方程得到Reynolds应力方程 7
及平均的三元涨落数度乘积方程 同样也可以得到相应的二元速度关联和三元速度关联方程，他把四元速度关联用二元速度关联表出并分别给出二元速度关联和三元速度关样及压力速度关联的表达式，就能得到封闭的方程组。对固体壁附近湍流和自由剪切湍流在各自的简化假定下曾得到不少和实验相符合的结果[9]。但这样做存在着关联系数表达式其有一定任意性的困难（这就是不同封闭方案的变形）。而且在电子计算机还没有发展的40 年代要严格求解这样多的方程是不可能的。近年来由于高速电子计算机的产生，很多复杂的计算工作可以通过机器来完成。周培源教授所做的理论研究又被重新提了出来，并受到国际上很大的重视。 2.4 最近的湍流统计理论 2.4.1 E.Hopf理论[10] 1952年以研究遍历理论著名的概率论和数理统计学家E.Hopf根据湍流脉动场的随机性质，引进脉动速度场的分布泛函。然后从Navier-Stokes方程和连续方程，推导得到了一个对特征泛函数为线性的积分微分方程。由于对这个方程求解遇到很大困难，以后一直没有取得什么进展。 2.4.2 R.H.Kraichnan直接相互作用理论 1958年R.H.Kracichnan [11] 把外力作用下的Navier-Stokes方程经过Fourier变