浅谈指数函数中与二次函数有关的问题
福安三中 刘涛

【摘要】函数是中学数学教学的主线，是中学数学的核心内容，也是整个高中数学的基础，
指数函数与二次函数作为基本函数，常以复合的形式出现.本文通过一些例题的讲解，进一
步研究指数函数与二次函数的复合型函数的有关的问题，深化对指数函数与二次函数的理解
与认识，得到较系统的函数知识和方法.
【关键词】指数函数 对数函数 复合函数

引言
函数是高中数学学习的重点和难点，函数的思想贯穿于整个高中数学之中. 指数函数与
二次函数作为基本函数，他们的复合型函数常是难点.本文通过一些例题的讲解，对指数函
数的性质及二次函数的一些问题进行研究，加深对指数函数的认识.

1.指数型函数中有关值域的问题
值域是函数的三要素之一，要求复合函数的值域需注意变量替换后的值域.

例1.求132xy的值域.
分析：要求一个比较复杂的函数的值域，首先要看清这个复杂函数是由哪几个简单函数
构成的．此函数是一个以2为底的指数函数与一个以3为底的指数型函数复合，所以我们先
考虑指数部分13x的范围．03x113x，令13xt，则1t，而函数
t
y2

为单调递增函数，由此可得出2y，所以132xy的值域为),2(.
例2.试比较32aa与5a的大小)1,0(aa且.
分析：对于一般的比较大小问题，我们可以通过函数的增减性来解决．这道题目显然也
是通过此途径来解决．但是其给出的条件不是很明确，那么我们就要对a分类讨论．

解：当53210aa，即10a时32aa5a；

当5321aa，即41a时，32aa5a；
当5321aa，即4a时，32aa5a
当5321aa，即4a时，32aa5a；
综上所述，当),4()1,0(a时，32aa5a；
当)4,1(a时，32aa5a；
当4a时，32aa5a.
上面两题主要是让我们在解决指数函数问题的时候，要细致分析问题.对于一般的指数
函数中有关定义域、值域以及单调性问题我们能够比较熟练的解决，但是我们在遇到的一些
问题中往往指数函数不是单独出现的，它总是和其他函数同时出现，特别是二次函数，那么
如何来解决这类比较复杂的问题呢？在这我先强调一点，我们做任何题，不管是简单的还是
复杂的，关键的是抓住其基本性质，尽量把问题转化到我们所熟悉的情况下进行解决. 那么
要把指数函数和二次函数结合起来，最常见的就是复合函数.

2.指数函数中有关二次函数的问题
例 3：函数22)21(xxy的单调递增区间是（ ）.
A. )2,(B. )21,( C. ),1( D. ),21(
分析： 由于以21为底的指数函数是一个单调减函数，所以要求该函数的单调递增区间，
也就是要求该二次函数的单调递减区间. 下面我们就把问题转化为解决二次函数的问题.
对该二次函数进行配方29)21(222xxx，我们可以很容易看出是一个开口向上的
抛物线，则其在x小于21时为单调递减，x大于21时为单调递增.
我们来看一个一般问题，对于类似与上面这题的复合函数cbxaxy2)21()0(a的单
调区间是怎样的．二次函数cbxaxy2)0(a图象为抛物线. 对称轴为2ax，因
为xy)21(是一个单调减函数，所以只要判断函数cbxaxy2)0(a的单调区间再
根据复合函数单调性就可求得cbxaxy2)21()0(a的单调区间.
例 4：若函数aaxxexf2)(的值域为,1，求实数 a的取值范围.
分析：函数的定义域为R，要使函数 aaxxexf2)(的值域为,1, 即要真数
aaxx
2
取遍零和所有正数, 故二次函数 aaxxxg2)(的图象与 x 轴有交点，

所以 042aa, 得4a或 0a.故实数a的取值范围为),0[]4,(.
我们在考虑这类复合函数问题的时候，要仔细分析各函数的定义域和值域以及复合后的
定义域和值域的变化. 以上这两题中的二次函数是作为指数函数的一部分出现的，有的时候
会和、反过来，指数函数作为二次函数的一部分出现，下面我们来看这么几道题.
例 5：若]2,0[x, 且224)(xxxf，求)(xf的最值.
分析 : 既然是求)(xf的最值，那就先对函数224)(xxxf进行整理，可得 :
xxxf222)(2=1)12(2x
，而 421x，所以8)(,1)(maxminxfxf. 这道

题比较简单，但要注意指数的计算，在最后是通过配方求出最值的.
例 6：若34234axax有两个大于零的实根1x，2x 且132||21xx，求
实数a的取值范围.
分析 : 既然是指数函数方程，我们先不管后面的条件，该怎么做就怎么做，即先化简

函数方程，则有032223222axax，由于形式有点复杂 , 我们可以作个代换，
令at2，则有0322322aatt.在此要注意 , 由于变量的代换，则其变量的范
围也会随之改变，因为0x, 则1t，下面利用韦达定理列出一系列的不等式 :











1324)(120212212121tttt
tt
tt











132)32(429
132
223
0)32(429

22222aa
a
a
aa











222
22
3
2
2

01225
2aaaa

2222
a
.231a

在此题中，注意换元后，其变量范围的变化.

例 7：若0222axx恰有一个实根，求实数a的取值范围.
分析 : 原式即：axx222，这个式子中出现的指数函数和前面的有所不同，这时的
底数是相同的，于是我们得到了:axx2，下面就是分析方程axx2，只有一
个实数根的问题.如果在这里简单就认为把其平方得到一个二次函数，再令0即可的话，
似乎总有点心有余悸，好象有问题. 下面我介绍一种方法来具体研究. 我们可以把这个方程
写成两个函数的形式:xy2与axy要求方程有一个实根，也就是说，这两个函数
的图形有且仅有一个交点.在下图上我们可以看出在三种情况下，两个图只有一个交点.

于是我们可以列出式子：0)1(222axax，0,000,00ayxayx即时即
最后解得 :0a或2a，在这里，我们充分利用了图形来解决根的问题.
总结
第一部分为复合函数中有关值域的问题. 注意两点：一是复合函数单调性问题；另一个
是整个函数的值域的求解. 第二部分为含有指数形式函数的复杂函数，通过换元可转化为二
次函数进行解题. 也注意两点：一是指数运算的熟练运用；另一个是二次函数中根的存在性
分析.在解决指数函数问题时，注意对其定义域、值域、单调性要细致分析.