“探索求一元函数极值和最值方法”的学习报告
一、前言
函数的极值、最值不仅在实际问题中占有重要地位，而且也是函数形态的重要特征。
因此，通过学习、掌握确定极值点和最值点，并求出极值和最值的方法是十分重要的。
二、学习内容和过程
1.探索可能的极值点
(1)回顾相关定义、定理
a.极值定义：若函数f在点x0的领域U(x0)内对一切x∈U(x0)有f(x0)≥(≤)f(x)，则称函数f在点x0确取得极大（小）值。
称x0为极大(小)值点。
b.费马定理：设函数f在点x0的某领域内有定义，且在点x0可导。
若点x0为f的极值点，则必有f’ (x0)=0。
且称这样的点为稳定点。
(2)思考并回答下列问题。
进一步分析可能的极值点类型。
a.可导点成为极值点一定是稳定点吗？（是。
通过费马定理可证明）
b.函数的不可导点也能称为极值点吗？（能。
例如y=| x|在x=0处取极小值）
c.函数的稳定点一定是极值点吗？（不一定。
例如y=x3，x=0为稳定点，但非极值点）
d.函数的不可导点一定是极值点吗？（不一定。
例如y=1/x，在x=0处不可导，但不是极值点）
e.函数在点x0处不可导，它包含了哪几种情况？（①连续不可导②不连续）
f.除此之外，还有没有其他类型的点极值点？（没有）
稳定点，例如y=x2，x=0处
(3)由上面的问题得到极值点的范围
连续不可导，例如y=| x|，x=0处
不可导点2x≠0
不连续点，例如y=
－1 x=0
2.探索确定极值点的方法
由极值点的范围可知极值点分为连续点和间断点。
对于剪短点，只要满足在x0某领域内始终有f(x0)≥f(x)或者f(x0)≤f(x)，至于连续部分函数任意，这样间断点x0就为极大或极小值点，即判断间断点是否为极值点，只需要根据极值定义即可。
下面主要讨论连续点能否成为极值点的判断。
(1)a.考察函数y=x2，y=x3，y=x1/3易知在x=0处连续，在U0(x)可导，且有
①y=x2x<0时，f’ (x)<0，函数严格递减
x>0时，f’ (x)>0，函数严格递增
②y=x3 f’ (x) ≥0函数单调递增
仅在x=0时，f’ (x)=0
③y=x1/3 f’ (x)>0.函数严格递增且x=0处不可导
由y=x2在x=0处连续以及两边领域内的增减性可知y=x2在x=0处取得极小值，而y=x3以及y=x1/3由f(x)的增减性可知在x=0处不取极值。
b.启发得到定理：设f在点x0连续，在某领域U0(x0)内可导则
Ⅰ若当x∈U+0(x0)，f’ (x) ≤0，当x∈U—0(x0)，f’ (x) ≥0，则f在点x0处取得极大值Ⅱ若当x∈U+0(x0)，f’ (x) ≥0，当x∈U—0(x0)，f’ (x) ≤0，则f在点x0处取得极小值
（单调性可以验证）
注：由条件在x0连续，在U0(x0)内可导，可知该定理适用于稳定点或连续不可导点。
(2)a.考察函数y=x2，y=-x2易知前者在x=0处取得极小值，后者在x=0处取得极大值，而且二者在x=0处的导数值都为0。
观察二者的二阶导数符号特点。
列表如下：
000
导数非零。
则有Ⅰ若二阶导数小于零，则f在x0处取得极大值
Ⅱ若二阶导数大于零则f在x0处取得极小值（泰勒公式可验证）
(3)a.进一步考察f(x)=x3和f(x)=x4等更高阶导数和极值特点，类似(2)方法：若f(n)(x0)=0,考虑f(n+1)(x0)的符号。
b.启发得定理：设f在x0的某领域内存在直到n-1阶导函数，在x0处n阶可导，且f(k)(x0)=0(k=1,2,3……n), f(n)(x0) ≠0,
Ⅰ当n为偶数时，f在x0处取极值，且f(n)(x0)<0取极大值，f(n)(x0)>0取极小值，
Ⅱ当n为奇数时，f在x0不取极值(泰勒公式可验证)
e-1/x2x≠0
注：该定理为充分条件，例如f(x)= 在x=0处取极小值。
但
0x=0
因为f(k)(x0)<0无法用该定理。
(4)综上，在确定x0是否为f(x)的极值点时，首先观察，若不连续则用定义判断，若连续，再观察在x0处是否可导，若不可导直接用定理1判断，若可导再计算f’ (x0) ≠0，显然不为极值点，若f’ (x0)=0再按相应定理判断。
3.探索确定区间上连续函数的最值的方法
(1)回顾有界闭区间上连续函数的最值性
若f在闭区间[a,b]上连续，则f在[a,b]上有最大值与最小值
(2)考察函数f(x)=x2, f(x)=| x|在[-1,2]上的最大值和最小值的分布，以及f(x)=sinx在[0,π]内最大值和最小值的分布。
如下表：
(3)得出结论：a.若函数f在(a，b)内取得极大或极小值则相应的极大或极小值中某一个也为f在[a,b]内的最大或最小值
b.除极大或极小值可能成为最大或最小值外，端点值也可能最大或最小值
(4)求f在闭区间[a,b]内的最值的方法：先求出f在其中的极值，端点值，再比较所求极值，端点值的大小，得到相应的最值。
(5)进一步观察函数f(x)=x2和f(x)=| x|在[-1,2]上极值点的个数。
可以看到二者都只有一个极值点，而这个极值点正好就是最值点
(6)得到另一个求最值的特殊方法：当f在区间I上仅有唯一极值点x0时，该点也是f在Ishang 的相应最值点。
三、学习感想
通过探索学习，我不仅对求极值、最值的方法有了更全面的更深刻的认识，在学习讨
论的过程中，我体会到了积极主动提问、思考、求证的乐趣。
只要常常思考，总会发现新的问题没在解决这些问题的过程中，可能会遇到障碍，这时讨论、请教和不放弃时解决问题的关键。
总之在学习中要善于发现问题，主动思考。
数统学院0912班第8学习小组
主笔：邓雪芹
成员：杨恒赵燕黎向莹。