承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： D我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：Y4402所属学校（请填写完整的全名）：延安职业技术学院参赛队员(打印并签名) ：1.刘小英2. 路候桃3. 高利指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：高治源钟少玲日期： 2007年 9 月 21 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：2007高教社杯全国大学生数学建模竞赛论文D题：体能测试时间安排摘要：本文通过计算全体学生体能测试所用的总时间以及每批测量所需的时间，确定了该校完成测试所需的时间接近两天。

为了在这两天内将人数完全不同的各个班级进行合理的搭配，我们首先考虑的是必须把分散的班级人数进行排序整理，然后对应赋予顺序数。

利用九宫图的均衡思想构造半幻阵，通过半幻阵的均衡特性获得每批人数分配的基本均匀。

但在一般的规律之下总有一些特殊情况，这时通过微调使它达到各批人数的近似相等。

然后将各批测试人数平均分配到4个时间段内，为了使每批学生等待时间最短，应该将各班的学生依序安排在5个测试点处形成圆周流水运转方式。

这样每个班在录入个人信息上只需花费5秒钟。

本文还充分讨论了该模型的合理性并对学校以后的体能测试提出了一些可行性的建议，在测试场所人员容量不变的情况下，我们设置出方便的可执行的程序，供该校在以后的体能测试中应用。

关键词：数学模型；排序；半幻阵；微调；圆周流转；均衡一、问题的重述测试五个学生。

在每个班测试时录入个人信息所需时间为5秒，学校安排每天上午测试时间4小时10分，下午测试时间为3小时15分，测试场所的容量为150个学生。

学校要求同一班的所有学生在同一时间段内完成所有项目的测试，并使整个测试所用的时间段数最少的条件下，尽量减少学生的等待时间。

我们要解决下列问题：1．用数学符号和语言表述各班测试时间安排问题，给出该问题的数学算法。

2．用清晰直观的图表形式表示出测试时间的安排计划，并说明该计划如何满足学校的上述要求。

3．对学校以后的体能测试提出建议，并说明理由。

二、基本假设1．假设参加测试的学生没有缺勤。

2．假设各班都能按时到测试场所进行测试。

3．假设所有仪器在测试期间没有故障。

三、符号说明N：表示全校总人数Xi：表示第i班的班级人数n: 表示学校的班级数m：表示测试所分批数k：表示每批的班级数r：表示测试场所的人员容量t：表示每批组织管理安排时间T：表示测试总时间A n7：表示n×7阶班级人数矩阵HF k k：表示k×k阶幻方HZ m k：表示m×k阶幻阵BHZ m k：表示m×k阶半幻阵。

S：表示身高与体重的仪器、L：表示立定跳远的仪器F：表示肺活量仪器W：表示握力仪器G：表示台阶试验仪器四、问题的分析及模型的建立（一）问题分析如何合理的安排测试时间使得所用时间最短？将人数完全不同的各个班级进行合理的搭配，是一个离散到均衡的变化过程。

因此我们必须把分散的数据进行排序整理，然后赋予顺序号数。

利用祖国传统文化九宫图的均衡思想，构造幻阵或幻方，利用幻阵的均衡获得每批人数的分配均衡，但在一般的规律之下总有一些个别的特殊情况，比如个别班级人数太少或过多，总会引起某批测试人数 不符合要求的情况，因而我们要对此问题进行微调处理。

从而使每批人数达到合理安排，使得所用时间最少，测试能顺利完成。

（二）模型的建立模型 （1） 对全校n 个班级进行分批合理安排模型。

设全校人数N ，班级数为n,X i 表示第i 班的班级人数，r 表示测试场所的人员容量（由于台阶仪器和5个测试点的原因，r 应为25的倍数），m 表示所分批数，k 表示每批的班级数，y=[x]是取整函数(如[3.45]=3), 则 ∑==ni iXN 1；m=[N/r]+1，k=[n/m],设An7为n ×7阶班级人数矩阵,HF k k 为k ×k 阶幻方,HZ m k 为m ×k 阶幻阵，BHZ mk 为m ×k 阶半幻阵。

即1 BJ1 X 1 BJ1 X 1 BJ1 X 12 BJ2 X 2 BJ2 X 2 BJ2 X 2A n7= …… … … … … … nBJn X nBJn X nBJn X na11 a 12 a 13…… a 1k b 11 b 12 b 13…… b 1ka 21 a 22 a 23…… a 2kb 21 b 22 b 23…… b 2kHF k k = … … … … … HZ mk = … … … … …a k1 a k2 a k3…… a kkb m1 b m2 b m3…… b mk设f ：BJi →Xi i=1,2,3,……n ，为班级代号到班级人数的映射， g ：i →BJi i=1,2,3,……n ，为自然数（序号）到班级人数的映射h ：Xi →BJi i=1,2,3,……n ，为班级人数到班级代号的映射，是f ：BJi →Xi 的逆映射。

对于上述三个矩阵的特性,我们说明如下:An7为n ×7阶矩阵,其代表含意,第1列为序号, 第2列为班级代号,第3列为班级人数,第4,5列,第6,7列分别与第2,3列相同 . 幻方在数学中是这样定义的: 用1到k2的k2个自然数组成一个k 阶方阵，使得每一行、每一列及两条对角线上k 项之和都是相等的，这个方阵则称为n 阶幻方。

图1的九宫图是三阶幻方,其三行三列及两条对角线上三数之和都等于15.而HFk k 为k ×k 阶幻方,满足kj1ai i =∑=kj j 1a i =∑=k(1+k 2)/2, 其中自然数i,j(1≤i ，j ≤k).HZM k 为m ×k 阶幻阵, 即用1到m ×k 的m ×k 个自然数组成一个m ×k 阶矩阵，使得每一行k 项之和都等于H1，每一列m 项之和都等于H2 ,即H 1=k j 1b i i =∑, j=1,2,3,……m , H 2 =mj j 1b i =∑ i=1,2,3,……k图2是4×6阶幻阵,图3 是3×7阶幻阵.一般m ，k 同偶同奇时m ×k 阶幻阵才存在。

图3 3×7阶幻阵我们从资料中看到,中国科学院应用数学研究所陈培德提出了半幻阵的概念。

半幻阵是满足m 个行和相等的m ×k 阶矩阵，它的各列的各数和不一定相等。

这样当m,k 奇偶相异时，半幻阵仍然存在。

为了对全校各班进行合理分配，由于测试场所的人员容量为r ，全校人数为N,所以我们要将n 个班级分成m （m=[N/r]+1）组，每组k （k=[n/m]）个班级，每个班级人数不同，但我们要将每组人数均匀搭配，这是一个从无序到有序的变化过程，为了解决这个问题，我们要采用下列方法进行操作：1.将An7的第4、5列以人数多少进行升序排列，将第6、7列以人数多少进行降序排列，一般可在电子表格中完成，可得下列新的矩阵Cn7。

1 BJ1 X 1 BJu 1 Y 1 BJv 1 Z 12 BJ2 X 2 BJu 2 Y 2 BJv 2 Z 2C n7= … … … … … …n BJn X n BJu n Y n BJv n Z n图1九宫图而C n7中BJu i （i ＝1,2,…n ）是班级代号进行升序排列后得到的，BJv i （i ＝1,2,…n ）是班级代号进行降序排列后得到的。

2. 假定m 可以整除n ，即n ＝mq ，如果m ＝k ，其中m=[N/r]+1，k=[n/m],我们将1到n 各数构造一个k 阶幻方，如果m ≠k ，我们就将1到n 各数构造一个m ×k 阶幻阵或半幻阵。

假定m 不整除n ，即n ＝mq+p ，但n-p ＝mq ，我们就将1到n+m-p 各数构造一个（m+1）×k 阶幻阵或半幻阵。

幻方构造方法，幻阵和半幻阵的构造方法见参考书和网站。

3. 如果我们构造出半幻阵（下面仅以半幻阵为例，幻方，幻阵道理相同）BHZ M k ，我们就将BHZ M k 中的各个数字通过映射Y i 当i=1,2,3,……n 时g ：i →0 当i ＞n 时即C n7中第1列自然数（序号）到第5列班级人数的映射,如果BHZ mk 中的部分数字b ij ＞n ，则其函数值都为0，映射所得新矩阵为D m kd 11 d 12 d 13…… d 1k d 21 d 22 d 23…… d 2k D mk = … … … … …d m1 d m2 d m3…… d mk4.对D m k 各行求和，检查kj j 1b i =∑，i=1,2,3,……m ，是否小于或等于测试场所的人员容量r 。

如果有大于r 的情况，我们通过微调，将本行大数字与其它行小数字对换，使得各行数字都小于r 。

5.调好后将D mk 中的各个数字通过映射h ：d ij →BJi i=1,2,3,……n ，即班级人数到班级代号的映射，0不对应任何班级，可以去掉。

但班级人数有相同情况，这个映射会造成混乱，解决的办法是第4步对D mk 微调时，相应的将BHZ mk 中的各个数字也微调，然后我们进行以下映射：g ：i →BJui i=1,2,3,……n ，即Cn7中第1列自然数（序号）到第4列班级人数的映射，映射后可得元素全为班级代号的矩阵BJ m kBJ 11 BJ 12 BJ 13…… BJ 1k BJ 21 BJ 22 BJ 23…… BJ 2k BJ mk = … … … … …BJ m1 BJ m2 BJ m3…… BJ mk那么BJ m k 就是我们得到的班级分批测试安排表。

对于第2步，需要说明的是，如果m 不整除n ，余数为p ，则可以去掉人数较小的p 个班级，只对n －p 个班级进行排序，当n －p 个班级的分配方案出来后，将放下的p 个班级搭配在某批测量组中，如果放不下，可以将这些班级放在某个时间段的剩余时间中。