λ-矩阵一、λ矩阵的不变因子及初等因子定义1 设多项式矩阵()A λ的秩1r ≥，而1k r ≤≤. ()A λ中所有k 阶子式的首相系数为1的最大公因子()k D λ，称为()A λ的k 阶行列式因子. 当k r >时，由秩的定义可知()0k D λ=. 另外，为了讨论方便，规定0()1D λ=.定理1 初等变换不改变矩阵的各阶行列式因子. 因而等价的矩阵有相同的各阶行列式因子.定义2 1()()()i i i D d D λλλ−=（1,2,,i r =⋯），称为()A λ的不变因子. 规定：()0i d λ=()n i r ≥>. 暗含了1()()i i d d λλ+的结论.定义3 下面的矩阵称为λ-矩阵()A λ的Smith 标准形12()()()()00r d d J d λλλλ=⋱⋱.定理2 λ-矩阵()A λ的Smith 标准形是唯一的.推论1 λ-矩阵()A λ与()B λ等价⇔()A λ与()B λ有相同的行列式因子或有相同的不变因子.定义4 设λ-矩阵()A λ的不变因子为12(),(),,()r d d d λλλ⋯. 将()i d λ分解为C 上的一次因式之积：11112221221211221212()()()()()()()()()()()()s srs r r k k k s k k ks k k k rs d d d λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ =−−− =−−−=−−− ⋯⋯⋯⋯⋯()∗ 其中12,,,s λλλ⋯互不相同，0ij k ≥，1,1.i r j s ≤≤≤≤ 因1()()i i d d λλ+，所以1,,11,1.ij i j k k i r j s +≤≤≤−≤≤ 在()∗中所有指数大于零的因子(),11,1,0ij kj ij i r j s k λλ−≤≤−≤≤>称为()A λ的初等因子.由初等因子求不变因子：由初等因子的定义可知，如果给定()A λ的不变因子，则其初等因子就唯一确定. 反之，如果给定了()A λ的所有初等因子及()A λ的秩，则其不变因子也唯一确定. 不妨设()A λ的秩为r . 把()A λ的所有初等因子按不同的一次因子分类，并按各因子的幂从大到小排成一个有r 列的表（若某一行或若干行的初等因子不足r 个，则在后面补1，直到够r 个为止）：1,11111,22121,1111222(),(),,()(),(),,()(),(),,()r r r r r s rs s k k k k k k k k k s s sλλλλλλλλλλλλλλλλλλ−−− −−− −−−−−− ⋯⋯⋯⋯⋯其中1,10,1.rj r j j k k k j s −≥≥≥≥≤≤⋯ 因而1212()()()(),1.i i i k k k i s d i r λλλλλλλ=−−−≤≤⋯至此可知，当已知一个λ-矩阵()A λ的秩r 后，求不变因子或行列式因子的问题等价于求初等因子的问题.定理3 设λ-矩阵()A λ为分块对角阵12()()()()s B B A B λλλλ=⋱ 则各子块(),1,2,,i B i s λ=⋯的初等因子的全体构成()A λ的全部初等因子. 次定理给出一个求λ-矩阵()A λ的Smith 标准形的方法： （1） 先将()A λ通过初等变换化为准对角阵的形式：12()()((),(),,())s A B diag B B B λλλλλ→=⋯使得每块()i B λ的初等因子（或不变因子）可以相对来说容易求出来；（2） 求出每块()i B λ的初等因子；（3） 把()i B λ的所有初等因子放在一起，即得到()A λ的初等因子，进而求 出()A λ的不变因子及Smith 标准形.注意：这个方法不是求Smith 标准形的唯一方法，可以用定义求. 先求各阶行列式因子，再求不变因子，然后写出Smith 标准形即可. 二、Jordan 标准形 定义5 形如111i ii i i i i m m J λλλλ×=⋱⋱ 的方阵称为i m 阶的Jordan 块，i C λ∈，通常记为()i m i J λ.定义6 由若干个Jordan 块组成的准对角阵12s J J J J=⋱ 称为Jordan 标准形.定义7 设n n A C ×∈，E A λ−称为数字矩阵A 的特征矩阵.定理4 复数域C 上两个n 阶矩阵A 与B 相似⇔E A λ−与E B λ−等价.推论2复数域C 上两个n 阶矩阵A 与B 相似⇔A 与B 的特征矩阵E A λ−与E B λ−有相同的不变因子或有相同的初等因子.定理5（Jordan 标准形定理） 每个n 阶复矩阵A 都与一个Jordan 标准形相似. 这个Jordan 标准形除了其中Jordan 块的排列顺序外被A 唯一决定. 我们称其为A 的Jordan 标准形，并记为.A J推论3 复矩阵A 与对角阵相似⇔E A λ−的初等因子都是一次的.我们简称λ-矩阵E A λ−的行列式因子、不变因子和初等因子为矩阵A 的行列式因子、不变因子和初等因子.设A n n C ×∈的所有互不相等的特征值为12,,,s λλλ⋯，并设它们的重数分别为12,,,s k k k ⋯，则1si i k n ==∑. 设i λ对应的初等因子为12(),(),,()is i i i kk k i i i λλλλλλ−−−⋯.其中111,,0,1,2,,,1,2,,.i is s s ij i ij ij i j i j k k k n k j s i s =====>==∑∑∑⋯ 每个初等因子对应一个Jordan 块(),1,2,,,1,2,,.ij k i i J j s i s λ==⋯⋯ 则A 的Jordan 标准形为()111212112,,,,,,,,,s s s ss sA k k k k k k J diag J J J J J J =⋯⋯⋯⋯其中Jordan 块的顺序可以换. 可见，A J 的Jordan 块由A 的初等因子唯一决定.若记1(,,)i is ii k k J diag J J =⋯，即i J 为与特征值i λ相关联的Jordan 块生成的准对角矩阵，则12(,,,).A s J diag J J J =⋯Jordan 标准形的变换矩阵的求法：幂零矩阵的定义：设n n A C ×∈ 且0A ≠，若m N +∃∈使10,0m m A A −=≠，则称方阵A 为幂零矩阵. 其中m 称为A 的幂零指数.引理1 A 为幂零矩阵⇔A 的特征值全是零.定理6 设n n A C ×∈ 且0A ≠，A 是幂零指数为m 的幂零矩阵. 设A J 有s 个Jordan 块，第i 个Jordan 块的阶数为i n . 则（1）{}12max ,,,s m n n n =⋯；（2）A 的零度（线性方程组0AX =解空间的维数）等于A J 的块数s ； （3）记A J 中k 阶Jordan 块的个数为k l ，k A 的零度为k η，1k n ≤≤. 则112222,l s ηηη=−=− 112,2.k k k k l k m ηηη−+=−−≤≤注：由于0A ≠，A J 与A 相似，则0A J ≠，故2m n ≤≤. 当,k m =m n =时1.n n η+=设A 为如上定义的幂零矩阵，则存在可逆矩阵P 使1A P AP J −=. 可推出.A AP PJ =不妨设0104,010A n J==. 可见2m =. 对P 按列分块1234(,,,)P αααα=，可得1234123413010(,,,)(,,,)(0,,0,)010A αααααααααα==由此可得P 的各个列向量应满足的方程组分别为1213430,,0,A A A A αααααα====这表明13,αα是特征向量，而24,αα是广义特征向量. 具体操作如下：取13,αα为0AX =的一组基本解组，再由2143,A A αααα==去解24,αα. 对不是幂零矩阵的方阵有类似的方法，现在已4阶的Jordan 块为例，设111A J λλλλ=由A AP PJ =可得1234123411(,,,)(,,,)1A λλααααααααλλ=即11212323434,,,A A A A αλαααλαααλαααλα==+=+=+可得1213243()0,(),(),()A E A E A E A E λαλααλααλαα−=−=−=−=可见1α是特征向量，234,,ααα是广义特征向量.注意：变换矩阵P 并不唯一. 线性方程组解的不唯一性，决定了P 的不唯一性. 三、最小多项式定义8 设n n A F ×∈，()f x 是多项式，若()0f A =，则称()f x 是A 的零化多项式.由哈密顿—凯莱定理可知，任何方阵的特征多项式是该矩阵的零化多项式，因此零化多项式总是存在的. 并且存在无穷多个次数最低的零化多项式，称其中唯一的首一多项式（首相系数为1的多项式）为A 的最小多项式，记作()A m x 或().m x定理7 设()m x 是A 的最小多项式，()f x 是A 的任一零化多项式，则()().m x f x定理8 设A 是数域F 上的任意方阵，0F λ∈. 则0λ是A 的特征值⇔0λ是A的最小多项式()m x 的零点.注：此定理表明数域F 上的方阵的最小多项式的根（零点），包含了该矩阵在数域F 上的特征值. 若F C =，则()0m x =的所有根就是A 的所有特征值. 另外，分块对角矩阵的最小多项式等于各块的最小多项式的最小公倍式. 定理9 相似矩阵具有相同的最小多项式.定理10 n 阶矩阵A 与对角矩阵相似⇔A 的最小多项式()m x 没有重根. 推论4 设n 阶方阵A 的一个零化多项式为()f x ，若()f x 无重根，则A 可以对角化.注：A 的任何一个零化多项式()f x 的根，包含了A 的所有特征值. 特征多项式、最小多项式与初等因子的关系：设n n A C ×∈，多项式(),()f m λλ分别为A 的特征多项式和最小多项式. 由于A 是数字矩阵，则A 的特征矩阵E A λ−一定满秩，即()r E A n λ−=，故E A λ−的Smith 标准形的秩为n . 这表明A 有n 个不变因子. 设A 的不变因子为12(),(),,()n d d d λλλ⋯. 则12()()()(),()().n n f d d d m d λλλλλλ=⋅⋅⋅=⋯知道这个关系后，若给出了方阵A 的阶数与其最小多项式()m λ，再由给出的条件结合1()()i i d d λλ+的永恒条件，就可求出A 的不变因子. 四、特征值的几何重数与代数重数n 阶矩阵A 的特征多项式1212()()()()s n n n A s f E A λλλλλλλλ=−=−−−⋯其中12,,,s λλλ⋯为A 的所有互不相同的特征值. 显然1si i n n ==∑. 我们称j n 为特征值(1,2,,)j j s λ=⋯的代数重数. 对(1,2,,)j j s λ=⋯，其所对应的线性无关的特征向量的个数等于齐次线性方程组()0j E A X λ−=的解空间的维数，记此数为j g ，称其为j λ的几何重数.定理11 特征值的几何重数不超过其代数重数.定理12 n 阶矩阵A 相似于对角矩阵⇔其每个特征值的代数重数等于几何重数⇔所有特征值的几何重数之和为.n定理13 设n 阶矩阵A 的n 个特征值为12,,,n λλλ⋯，()f x 为任一多项式. 则()f A 的n 个特征值为12(),(),,()n f f f λλλ⋯.推论5 若()f x 是A 的零化多项式，则12()()()0.n f f f λλλ====⋯ 几何重数、代数重数与Jordan 标准形的关系：沿用之前对A 及其Jordan 标准形A J 的相关符号，则i λ的几何重数等于i J 中的Jordan 块的块数；i λ的代数重数等于i J 的阶数.。