由此得到
L
t2 t1
(qe
)T ( Keqqe
Meqqe
Ceqqe
Feq)d t
0
由于单元位移的变分 (qe )T 是任取的，所以可由式 得到单元的运动方程为
Meqqe Ceqqe Keqqe Feq
Theory of Vibration
工程振动与测试
7.2 单元体的特性分析 7.2.1 形函数矩阵N
t2 [ (qe )T ( t1
cN T N dV )qe ]d t
V
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于是变分式成为
L t2 (qe )T[( BTDB dV )qe ( rN T N dV )qe
t1
V
V
( cN T N dV )qe ( N TFV dV ) ( N TFS d S)]d t 0
Theory of Vibration
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单元体上的应力为 σ Dε DBq e
D为应力应变关系矩阵，又称为弹性矩阵，所 以单元体的应变能为
U
V
1 2
εTσ dV
V
1 (qe )T BT DBq e 2
dV
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设单元体振动时，阻尼系数为c，则阻尼力为 cq 。 单元体上阻尼力所消耗的能量Wd为
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有限元计算的基本过程： （1）将结构离散化，即把结构划分成离散的单
元。 （2）考虑单元的性质，建立单元的质量矩阵、
刚度矩阵、阻尼矩阵、载荷矩阵，推导出单元体的运 动方程式。
（3）组合各单元的质量矩阵、刚度矩阵、阻尼 矩阵，得到整个离散系统的运动方程。
在有限元中，形函数的作用十分重要，因为单 元形状和相应的形函数确定以后，其它运算可依照 标准步骤和普遍公式进行。单元上任一点的位移用 节点的位移表示为
V
V
S
令
Keq BTDBdV
V
Meq rN TN dV
V
Ceq cN TN dV
V
Feq ( N TFV dV ) ( N TFS d S)
V
S
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Keq、Meq、Ceq、Feq分别表示单元体的刚度 矩阵、质量矩阵、阻尼矩阵和载荷矩阵
t2 [ (qe )T ( rN T N dV )qe ]d t
t1
V

t2 [ (qe )T ( t1
rN T N dV )qe ]d t
V
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用同样的方法可得到
t2 [ (qe )T ( cN T N dV )qe ]d t
t1
V
S
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应用分步积分公式，上式的第二项有
t2 [ (qe )T ( rN T N dV )qe ]d t
t1
V
[ (qe )T(
V
rN T N
d
V
)q
e
]t2 t1
t2 [ (qe )T (
t1
V
rN T N dV )qe ]d t
式中qe(t1)=0，qe(t2)=0，则只剩下第二项。
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第7章 振动问题的有限元法
有限元法是力学模型系统上近似的数值计算方 法。它先将要分析的工程结构模型，假想地分割成 有限个单元，组成离散化模型。
各个单元之间在单元的外节点处互相连接起来。 然后导出各单元体的运动方程，然后由各个单元的 运动方程组合而形成原工程结构的有限元运动方程。
有限元法中分析的结构，是一个由有限个单元 组成的与原结构非常接近的离散系统。计算所得结 果的精确程度取决于单元体的划分。
L t2 [ (qe )T( BTDBdV )qe (qe )T( rN T N dV )qe
t1
V
V
(qe )T( cN T N dV )qe (qe )T( N TFV dV )
V
V
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(qe )T( N TFS d S)]d t 0
单元体中任一点的速度矢量可表示为
q u v w T Nqe
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单元体的动能为
T
1
V
2
rqTq dV
1
V
2
r (qe )T N T Nqe
dV
式中r为单元体积的质量
由弹性力学公式，应变与位移的关系为
ε Bqe
式中B为应变位移关系矩阵，是几何矩阵，与t 无关。
（4）解特征方程，求出频率与振型。 （5）求解动力响应问题。
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有限元法中采用的单元类型很多，其形状、 大小可以变化，各单元互相之间也容易连接，因 此它能适应复杂的结构，也适用于各种不同的边 界条件。
有限元法中的分析顺序是比较固定的，因此 便于计算机计算，并有标准程序和通用程序。
Wd
V
1 cqTq dV
2
V
1 c(qe )T N T Nq e dV 2
单元体上所受的外力分为两部分，即体积力 FV和表面力FS。它们的势能分别为
We1 qTFV dV (qe )T N TFV dV
V
V
We2 qTFS d S (qe )T N TFS d S
S
S
We We1 We2
任一点的位移矢量q用单元体上各节点的位移矢量qe
表示为
q Nq e
式中N为形函数矩阵，它是坐标x、y、z的函数。
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工程振动与测试 单元体中任一点的位移矢量q又可表示为
q u(t) v(t) w(t)T
式中u(t)、v(t)、w(t)分别表示该点沿x、y、z方向 的位移，它们都是时间t的函数。
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拉格朗日函数
L 1
[r (qe )T N T Nqe (qe )T BT DBq e c(qe )T N T Nqe
2V
2(qe )T N TFV ]dV (qe )T N TFS d S
S
由哈密尔顿原理，将其在时间区间(t1,t2)上对L积分， 并使其变分等于零，考虑到D的对称性后，有
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7.1 单元体的运动方程式
取一单元体，设单元体的动能为T，应变能为U，
阻尼消耗的能量为Wd，外力的势能为We。建立拉格 朗日函数为
L T U Wd We
设q为单元体中任一点的位移矢量，qe为单元体上
各节点的位移矢量，它是时间t的函数。令单元体中