实验四动态法测定材料杨氏模量杨氏模量是工程材料的一个重要物理参数，它标志着材料抵抗弹性形变的能力。

杨氏模量测量方法有多种，最常用的有拉伸法测量金属材料的杨氏模量，这属于静态法测量，这种方法一般仅适用于测量形变较大、延展性较好的材料，对如玻璃及陶瓷之类的脆性材料就无法用此方法测量。

动态法由于其在测量上的优越性，在实际应用中已经被广泛采用，也是国家标准指定的一种杨氏模量的测量方法。

本实验用悬挂、支撑二种“动态法”测出试样振动时的固有基频，并根据试样的几何参数测得材料的杨氏模量。

一、实验目的1．理解动态法测量杨氏模量的基本原理。

2．掌握动态法测量杨氏模量的基本方法，学会用动态法测量杨氏模量。

3．培养综合运用知识和使用常用实验仪器的能力。

4．进一步了解信号发生器和示波器的使用方法。

二、实验原理长度L 远远大于直径d（L>>d）的一细长棒，作微小横振动（弯曲振动）时满足的动42力学方程（横振动方程）为：y4s2y0（1）x4 YJ t2式中为棒的密度，S为棒的截面积，J 称为惯量矩（取决于截面的形状），Y 为杨氏模量。

解以上方程的具体过程如下（不要求掌握）：用分离变量法：令y（x,t） X（x）T（t）等式两边分别是 x 和 t 的函数，这只有都等于一个常数才有可能， 设该常数为 K 4 ，于是得：24d 2T 2 K 4YJ T 0dt2s这两个线形常微分方程的通解分别为：X(x) B 1chKx B 2 shKx B 3 cos Kx B 4 sinKx T(t) Acos( t ) 于是解振动方程式得通解为：y(x,t) ( B 1chKx B 2shKx B 3 cosKx B 4 sin Kx) A cos( t1K 4YJ 2s该公式对任意形状的截面，不同边界条件的试样都是成立的。

我们只要用特定的边界条件定出常数 K ，并将其代入特定截面的转动惯量J ，就可以得到具体条件下的计算公式了。

将通解代入边界条件， 得到cosKLchKL1 ，用数值解法求得本征值 K 和棒长 L 应满足：KL 0, 4.7300, 7.8532, 10.9956, 14.137, 17.279, 20.420由于其中第一个根“ 0 ”对应于静态情况，故将其舍去。

将第二个根作为第一个根， 记作 K 1 L 。

一般将 K 1 L 4.7300 所对应的共振频率称为基频（或称作固有频率） 。

在上 述如果悬线悬挂 （支撑点 ）在试样的节点附近， 则其边界条件为自由端横向作用力：YJ弯矩 ： d 3Xdx 33x 33y 0x2YJ 2yxd 3Xdx 3d 2Xdx 2d 2Xdx 2代入方程（ 1）得：1 d 4 X X dx 4s1 d 2T YJ T dt 2d 4X dx 4K 4X 0其中式（ 2）称为频率公式：(2K n L 值中， 1， 3，5⋯个数值对应着“对称形振动” , 第 2、4、6⋯个数值对应着“反对称形振动”。

图 1 给出了当 n 1, 2, 3, 4 时的振动波形。

由 n 1图可以看出，试样在 作基频振动时， 存在两个节点， 它们的位置距离端面分别为 0.224L 和 0.776L 处。

理论上 悬挂点 （ 支撑点 ）应取在节点处，但由于悬挂 （支撑点 ） 在节点处试样棒难于被激振和拾振， 为此，可以在节点两旁选不同点对称悬挂 （ 支撑） ，用外推法找出节点处的共振频率。

将第 一本征值 K4.7L300代入（ 2）式，得到自由振动的固有频率（即基频） 解出杨氏模量：1 424.7300 4 YJ 2 l 4s3 L 4s 2Y 1.9978 10 3 2 J2 L3m 27.8870 10 2 f 2 J对于圆棒：2d 2Jy 2ds s （ ）2式中 d 为圆棒的直径。

4得到杨氏模量的表达式为：L 3mY 1.6067 L m 4 f 2（ 3）d上式即为（ 1）式的解。

式中 L 为棒长， d 为棒的直径， m 为棒的质量。

如果在实验中测 定出试样（棒）在不同温度时的固有频率 f ，即可计算出被测试样在不同温度条件下的杨 氏模量 Y 。

在国际单位制中杨氏模量的单位为（ Nm 2 ）。

本实验的基本问题是测量试样在一定温度时的共振频率。

为了测出该频率，实验时可 采用如图 2 所示装置。

由信号发生器输出的等幅正弦波信号，加在传感器 I （激振）上。

通过传感器 I 把电信 号转变成机械振动，再由悬线 （支撑刀 ）把机械振动传给试样，使试样受迫作横向振动。

试 样另一端的悬线 （支撑刀 ）把试样的振动传给传感器 II （拾振），这时机械振动又转变成电信 号。

该信号经放大后送到示波器中显示。

当信号发生器的频率不等于试样的共振频率时， 试样不发生共振，示波器上几乎没有信号波形或波形很小。

当信号发生器的频率等于试样 的共振频率时，试样发生共振。

这时示波器上的波形突然增大，这时读出的频率就是试样在该温度下的共振频率。

根据（图 3 动态杨氏模量测 试 台三、实验仪器1． FB2729A 型动态杨氏模量实验仪 1 套； 2．通用双踪示波器 1 台； 3．天平、游标卡尺、螺旋测微计等 。

四、实验内容先按图4 把实验仪器连接好，通电预热10分钟，再按下述步骤进行实验。

3）式，即可计算出该温度下的杨氏模量。

1．测定试样的长度L 、直径d 和质量m ，每个物理量各测5次。

2．在室温下，不锈钢和铜的杨氏模量参考值分别为：2 1011 Nm 2和1.2 1011 Nm 2，实验前可先按公式（1）估算出共振频率f ，以便于寻找共振点。

3．“悬挂法”：把试样棒用细棉线挂在测试台上，悬挂点的位置放在0.0365L和0.9635L处测量一组数据,再分别挂在0.099L和0.901L, 0.1615L和0.8385L, 0.224L和0.776L ，0.2865L和0.7135L , 0.349L和0.651L 共测量6组数据,一一记录在表1中。

（具体位置金属棒上已用刻度线标注）。

4．把信号发生器的输出与测试台的悬挂法-输入相连，测试台的悬挂法-输出与放大器的输入相接，放大器的输出与示波器的Y 输入相接。

5．把示波器触发信号选择开关设为“内置”，Y 轴增益置于最小档（或左边第二档），Y 轴极性置于“ AC ”。

6．鉴频与测量：先将两悬线挂在离试样端部30mm 处，待试样稳定后，调节信号发生器频率旋钮，寻找试样棒的共振频率f1 。

当示波器荧光屏上出现共振现象时，即正弦波幅度突然变大时，再微调信号发生器频率旋钮，使波形振辐达到极大值。

鉴频就是对试样共振模式及振动级次的鉴别，所以它是准确测量操作中重要的一步。

在进行频率扫描时，我们发现试棒不只在一个频率处发生共振现象，而我们使用的公式（3）只适用于基频共振的情况。

所以我们要确定试样是在基频频率下产生的共振。

我们用阻尼法来鉴别：如果用手沿试样棒的长度方向轻触棒的不同部位，同时观察示波器，如果手指触到的是波节处，则示波器上的波形幅度不变，如果手指触到的是波腹处，则示波器上的波形幅度变小，当发现试棒上仅有两个波节时，那么这时的共振就是基频频率下的共振，记下这一频率 f 1。

7．因试样共振状态的建立需要有一个过程，且共振峰十分尖锐，因此在共振点附近调节信号频率时，必须十分缓慢地进行，直至示波器的显示屏上出现最大的信号。

8．记录室温下的共振频率 f ，求出材料的杨氏模量Y。

9．本实验用铜棒和钢棒各做一次。

10. “支撑式”：把试样棒从悬挂线上取下，轻放于测试台支撑式的激、拾振器的橡胶支撑刀上。

把信号发生器的输出与测试台的支撑式- 输入相连，测试台的支撑式- 输出与放大器的输入相接，放大器的输出与示波器的Y 输入相接。

11. 其余同“悬挂法”步骤。

五、数据与结果将所测各物理量的数值代入公式( 3)，计算出该试样棒的杨氏模量Y 。

再利用不确定度传递估算相对不确定度E Y 和不确定度Y Y E Y 写出实验结果表达式：Y Y Y1．估算金属棒的长度L 、直径d、和质量m 的测量值及其不确定度。

L L(mm) ；d d(mm) ；m m(g)2．由公式( 3)分别求出钢棒和铜棒的杨氏模量Y Y(N m 2 )(已知信号发生器的频率不确定度为：当f 1000Hz, f 0.1Hz ，当f 1000Hz, f 1HzY (3L ) (4d) (m) (2f)附：铜试样棒的基频共振频率：680~ 780Hz杨氏模量为：Y铜1~1.2 1011 (Nm 2) 不锈钢试样棒的基频共振频率：1000 ~ 1100Hz杨氏模量为：Y钢1.95 ~ 2.10 1011 (Nm 2 ) 六、注意事项1．试样棒不可随处乱放，保持清洁，拿放时应特别小心。

2．悬挂试样棒后，应移动悬挂横杆上的振，拾振器到既定位置，使二根悬线垂直试样棒。

3．更换试样棒要细心，避免损坏激振，拾振传感器。

4．实验时，试样棒需稳定之后可以进行测量。

【思考题】1．试讨论：试样的长度L 、直径d 、质量m 、共振频率f 分别应该采用什么规格的仪器测量为什么2．估算本实验的测量误差。

提示：可从以下几个方面考虑：(1)仪器误差限；(2)悬挂/ 支撑点偏离节点引起的误差。

七、数据表格1 /(/)表 2 被测试样的参数与共振基频记录室温：C实验日期：测试样品材质黄铜圆柱体棒不锈钢圆柱体棒样品长度L ( 10 2 m)样品直径D( 10-3 m)样品质量m ( 10 3 kg)悬挂共振频率f1（Hz）支撑共振频率f1（Hz）表3 几种固体材料的杨氏模量的参考值材料名称Y ( 1011 N m 2)材料名称Y ( 1011 N m 2 )生铁0.735 ~ 0.834有机玻璃0.04~ 0.05碳钢1.52橡胶78.5玻璃0.55大理石0.55附录】需要说明的二个问题：1．当测试样品不满足d L 时，公式（3）需要乘以一个修正系数T1，有关内容可参考金属材料的国家标准（GB/T 2005 91中说明）。

2．物体的固有频率f固和共振频率f共是两个不同的概念，他们之间的关系是：式中，Q为试样的机械品质因素。

对于悬挂法测量，一般Q 的最小值为50 ，把该值代入率相比只相差十万分之五（0.005% ）。

本实验中只能测量出试样的共振频率，由于相差很1.00005 f共，可见，共振频率与固有频公式，f固f共14 502小，所以用共振频率代替固有频率是合理的。