四川省射洪中学校2020-2021学年高三上学期第二次月考数学（理）试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{=A x y =，{}12B x x =-＜＜ ，则A B =（ ） A ．()1,1-B ．(]1,1-C ．[)1,2D ．()1,2 2．设311z i=-，则复平面内z 对应的点位于（ ） A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知等比数列{a n }的公比为12，且a 2＝﹣2，那么a 6等于（ ） A ．12- B ．14- C ．16- D ．18- 4．已知命题:0p x ∀≥，1x e ≥或sin 1x ≤，则p ⌝为（ ）A ．0x ∃<，1x e <且sin 1x >B ．0x ∃<，1x e ≥或sin 1x ≤C ．0x ∃≥，1x e <或sin 1x >D ．0x ∃≥，1x e <且sin 1x > 5．已知α是第二象限角，()5sin 13πα-=，则()cos πα+=（ ） A ．1213- B ．513- C ．513 D ．1213 6．设0.80.70.713,,log 0.83a b c -⎛⎫=== ⎪⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．b a c <<C ．b c a <<D ．c a b << 7．函数()2cos x x f x x+=的图象大致为（ ） A ． B ．C ．D ．8．运行如图程序框图，则输出m 的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．49．已知f(x)是R 上最小正周期为2的周期函数，且当0≤x<2时，f(x)＝x 3－x ，则函数y ＝f(x)的图象在区间[0,6]上与x 轴的交点的个数为( )．A ．6B ．7C ．8D ．9 10．若3cos()45πα-=，则sin 2α=（ ） A ．725 B ．15 C ．15- D ．725- 11．已知1a >，设函数()4x f x a x =+-的零点为m ，()log 4a g x x x =+-的零点为n ，则11m n+的取值范围是 ( ) A ．(1,)+∞ B ．7(,)2+∞ C ．(4,)+∞ D ．9(,)2+∞ 12．已知{|()0}M f αα==，{|()0}N g ββ==，若存在M α∈，N β∈，使得||n αβ-<，则称函数()f x 与()g x 互为“n 度零点函数”.若2()21x f x -=-与2()e x g x x a =-互为“1度零点函数”，则实数a 的取值范围为A ．214(,]e eB ．214(,]e eC ．242[,)e eD ．3242[,)e e二、填空题13．e11dx x =⎰________. 14．函数()f x 在区间(,)-∞+∞上单调递减，且为奇函数.若(1)1f =-，则满足1(2)1f x -≤-≤的x 的取值范围是 ．15．若函数()3cos 4sin f x x x =+在x θ=时取得最小值，则cos θ的值为______.16．已知函数()2ln ,0,e x x m f x e x m x<≤⎧⎪=⎨>⎪⎩，若函数()()g x f x m =-仅有1个零点，则实数m 的取值范围为______.三、解答题17．已知函数2()23=++f x x ax ，[]4,6x ∈-．（1）当2a =-时，求()f x 的最值；（2）求实数a 的取值范围，使()y f x =在区间[]4,6-上是单调函数；18．已知角α的终边经过点()12,5P -.（1）求sin α，cos α； （2）求()()()()cos 2cos 2sin 2cos f παπααπαα⎛⎫+-+ ⎪⎝⎭=-+-的值. 19．已知函数ln ()()x a f x a x+=∈R . （1）若曲线()y f x = 在点(1,(1))f 处的切线与直线10x y --= 平行，求a 的值；（2）在（1）条件下，求函数()f x 的单调区间和极值；20．某市随机抽取一年（365天）内100天的空气质量指数API 的监测数据，结果统计如下：记某企业每天由于空气污染造成的经济损失为S （单位：元），空气质量指数API 为ω，在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当API 为150时造成的经济损失为500元，当API 为200时，造成的经济损失为700元）；当API 大于300时造成的经济损失为2000元．（1）试写出S （ω）表达式；（2）试估计在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于500元且不超过900元的概率；（3）若本次抽取的样本数据有30天是在供暖季，其中有8天为重度污染，完成下面2×2列联表，并判断能否有95%的把握认为该市本年空气重度污染与供暖有关？K 2=21．已知函数()()2ln 1f x ax x x ax a R =--+∈在定义域内有两个不同的极值点.（1）求实数a 的取值范围；（2）设两个极值点分别为1x ，2x ，且12x x <，证明：()()2212122f x f x x x +<-+. 22．在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为3cos sin x y θθ=⎧⎨=⎩(θ为参数，[)0,2θ∈π),曲线2C 的参数方程为12x a y t ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(t 为参数). （1）求曲线1C ，2C 的普通方程;（2）若曲线1C 上一点P 到曲线2C 的距离的最大值为a .23．已知函数()1f x ax =+.（1）当1a =时，求不等式()213f x x +->的解集；（2）设()1g x x =+，若关于x 的不等式()()f x g x ≤的解集为R ，求实数a 的取值范围.参考答案1．C【分析】求出集合A 的范围，直接进行交集运算即可得解.【详解】{{}==1A x y x =≥，故{}|12A B x x =≤<，故选：C.【点睛】本题考查了集合交集的运算，考查了求函数定义域，在求集合时，注意描述对象的确定，属于简单题.2．D【分析】 化简311z i =-再根据复数的几何意义判定即可. 【详解】 因为3111122z i i ==--,所以复平面内z 对应的点11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭位于第四象限. 故选：D .【点睛】本题主要考查了复数的基本运算与几何意义,属于基础题型.3．D【分析】根据等比数列通项公式求得6a .【详解】由于{}n a 是等比数列，所以()446211228a a q ⎛⎫=⋅=-⨯=- ⎪⎝⎭. 故选：D【点睛】本小题主要考查等比数列通项公式的基本量计算，属于基础题.4．D【分析】利用全称命题的否定可得出命题p 的否定.【详解】由全称命题的否定可知，命题p 的否定为:0p x ⌝∃≥，1x e <且sin 1x >. 故选：D.【点睛】本题考查全称命题否定的改写，要熟悉量词与结论的变化，考查分析问题和解决问题的能力，属于基础题.5．D【分析】根据诱导公式化简，及同角三角函数的基本关系，计算即可得出结果.【详解】()5sin sin =13παα-=,α是第二象限角， 12cos =13α∴-, ()12cos cos 13παα∴+=-=. 故选：D【点睛】 本题考查诱导公式和同角三角函数在化简求值中的应用，属于基础题.6．D【分析】利用指数函数与对数函数的性质，即可得出,,a b c 的大小关系.【详解】因为0.731a =>，0.80.80.71333b a -⎛⎫==>= ⎪⎝⎭，0.70.7log 0.8log 0.71c =<=，所以1c a b <<<.故选：D.【点睛】本题考查的是有关指数幂和对数值的比较大小问题，在解题的过程中，注意应用指数函数和对数函数的单调性，确定其对应值的范围.比较指对幂形式的数的大小关系，常用方法：（1）利用指数函数的单调性：x y a =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（2）利用对数函数的单调性：log ay x =，当1a >时，函数递增；当01a <<时，函数递减；（3）借助于中间值，例如：0或1等.7．C【分析】 先判断函数为奇函数，再求出()1f 即可判断【详解】()()()()22cos cos x x x x f x f x x x-+-+-==-=--， 则函数()f x 为奇函数，故排除A D ，，当1x =时，()11cos10f =+>，故排除B ，故选C ．【点睛】本题考查了函数图形的识别，关键掌握函数的奇偶性和函数值，属于基础题.8．D【分析】根据程序框图进行模拟运算即可．【详解】a=16，a≤0否，21641a log m ，，a=4，a≤0否，2422alog m ，， a=2，a≤0否，2213alog m ，， a=1，a≤0否，2104a log m ，，a=0，a≤0是，输出m=4，故选D ．【点睛】本题主要考查程序框图的识别和判断，解决此类问题的关键是读懂程序框图，明确顺序结构、条件结构、循环结构的真正含义．9．B【解析】当x ∈[0,2)时，由f(x)＝0可得x ＝0或x ＝1，即在一个周期内，函数的图象与x 轴有两个交点，在区间[0,6)上共有6个交点，当x ＝6时，也是符合要求的交点，故共有7个不同的交点．10．D【解析】 试题分析：2237cos 22cos 12144525ππαα⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=--=⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦ ， 且cos 2cos 2sin 242ππααα⎡⎤⎛⎫⎡⎤-=-= ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦，故选D. 【考点】三角恒等变换【名师点睛】对于三角函数的给值求值问题，关键是把待求角用已知角表示：（1）已知角为两个时，待求角一般表示为已知角的和或差．（2）已知角为一个时，待求角一般与已知角成“倍的关系”或“互余、互补”关系．11．A【分析】根据函数与方程将零点问题转化为交点问题，利用反函数图像关于y x =对称的性质，得到m n +的值，然后根据基本不等式得到所求的结果.【详解】函数()4xf x a x =+-的零点是函数xy a =与函数4y x =-图象交点A 的横坐标m ，函数()log 4a g x x x =+-的零点是函数log ay x =与函数4y x =-图象交点B 的横坐标n ，由于相同底数的指数函数与对数函数互为反函数， 其图象关于直线y x =对称， 直线4y x =-与直线y x =垂直，故直线4y x =-与直线y x =的交点()2,2即是,A B 的中点，4m n ∴+=.()111114m n m n m n ⎛⎫∴+=++ ⎪⎝⎭1241m n n m ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭≥，当且仅当2m n ==时，等号成立， 又m n ≠，所以等号无法取到， 因此11m n+的取值范围是()1,+∞ 故选A 项. 【点睛】本题考查函数与方程，反函数图像的性质，基本不等式求和的最小值，属于中档题. 12．B 【解析】易知函数()f x 在R 上单调递增，且22(2)210f -=-=，所以函数()f x 只有一个零点2，故{2}M =.由题意知|2|1β-<，即13β<<，由题意，函数()g x 在(1,3)内存在零点，由2()e 0xg x x a =-=，得2e xa x =，所以2ex x a =，记2()((1,3))e x x h x x =∈，则222e e (2)()((1,3))(e )e x x x xx x x x h x x --==∈'，所以当(1,2)x ∈时，()0h x '>，函数()h x 单调递增；当(2,3)x ∈时，()0h x '<，函数()h x 单调递减.所以24()(2)e h x h ≤=.而1(1)eh =，391(3)e e h =>，所以214()(2)e e h x h <≤=，所以a 的取值范围为214(,]e e.故选B. 点睛：本题通过新定义满足“1度零点函数”考查函数在给定区间内的零点问题，属于难题，遇到新定义问题，应耐心读题，分析新定义的特点，弄清新定义的性质，按新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决，将函数零点问题转化为2ex x a =，即求函数的值域问题，通过导数得单调性，得值域. 13．1 【分析】 由于()'1ln x x=，利用微积分基本定理，直接求得定积分的值. 【详解】易知()'1ln x x =.故ee111ln |ln e ln11dx x x ==-=⎰.【点睛】本小题主要考查利用微积分基本定理求定积分的值.只需求得原函数，代入计算公式即可计算出定积分的值.属于基础题. 14．[1,3] 【分析】根据函数的奇偶性以及函数的单调性即可求出x 的范围即可． 【详解】因为f （x ）为奇函数，所以f （﹣1）＝﹣f （1）＝1，于是﹣1≤f （x ﹣2）≤1等价于f （1）≤f （x ﹣2）≤f （﹣1）， 又f （x ）在（﹣∞，+∞）单调递减，∴﹣1≤x ﹣2≤1， ∴1≤x ≤3． 故答案为[]1,3 【点睛】本题考查函数的单调性和奇偶性的综合应用，考查转化思想，属于基础题． 15．35【分析】利用辅助角公式化简函数的解析式，再根据正弦函数的最值求出辅助角，再利用两角和的正、余弦公式求出cos θ的值． 【详解】对于函数()3cos 4sin 5sin()f x x x x ϕ=+=+， 其中，4cos 5ϕ=，3sin 5ϕ=．当x θ=时，函数取得最小值，∴5sin()5θϕ+=-，即sin()1θϕ+=-，∴cos()0θϕ+=．则43sin cos 15543cos sin 055θθθθ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，解得3cos 5θ=-故答案为：35． 【点睛】本题主要考查辅助角公式，两角和的正、余弦公式，属于中档题． 16．(]0,e 【分析】令()0g x =，得出()f x m e e =，令()()f x h x e=，将问题转化为直线m y e =与函数()y h x =的图象有且仅有1个交点，然后对m 与e 的大小进行分类讨论，利用数形结合思想得出关于实数m 的等式或不等式，即可求出实数m 的取值范围. 【详解】令()0g x =，则()f x m =，得()f x me e=，令()()ln ,0,x x mf x h x e ex m x<≤⎧⎪==⎨>⎪⎩，则问题转化为直线my e =与函数()y h x =的图象有且仅有1个交点， 当m e =时，1m y e ==，此时函数()y h x =的图象与直线my e=只有1个公共点(),1e ，符合题意；当0m e <<时，01m e <<，若函数()y h x =的图象与直线my e=只有1个公共点， 则ln m em e m<<，如下图所示，显然m e e m <成立，下面解不等式ln m m e <，即ln 1m m e<， 构造函数()ln x F x x =，0x >，()1ln xF x x-'=，令()0F x '=，得x e =.当0x e <<时，()0F x '>，当x e =时，()0F x '<.所以，函数()y F x =在x e =处取得最大值，即()()max 1F x F e e==， 所以，当0m >且m e ≠时，不等式ln 1m m e<恒成立，此时，0m e <<. 当m e >时，1m e >，若函数()y h x =的图象与直线m y e =有1个交点，则有ln mm e≤，即ln 1m m e≥，由上可知，m e =（舍去）. 综上所述，0m e <≤. 故答案为：(]0,e . 【点睛】本题考查利用函数的零点个数求参数的取值范围，解题的关键就是对m 与e 的大小关系进行分类讨论，并利用数形结合思想得出不等关系，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题. 17．（1）最小值是1-，最大值是35.；（2）6a -或4a . 【分析】（1）根据二次函数的性质求出函数的单调区间，从而求出函数的最值即可； （2）求出函数的对称轴，得到关于a 的不等式，求出a 的范围即可． 【详解】解：（1）当2a =-时，22()43(2)1f x x x x =-+=--，由于[]4,6x ∈-，()f x ∴在[]4,2-上单调递减，在[]2,6上单调递增，()f x ∴的最小值是()21f =-，又(4)35,(6)15f f -==，故()f x 的最大值是35.（2）由于函数()f x 的图像开口向上，对称轴是x a =-，所以要使()f x 在[]4,6-上是单调函数，应有4a --或6a -，即6a -或4a . 【点睛】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查二次函数的性质，是一道中档题． 18．（1）5sin 13α=-，12cos 13α=；（2）2919. 【分析】（1）先求出13OP =，再由三角函数定义可得5sin 13α=-，12cos 13α=； （2）由（1）可知5sin 13α=-，12cos 13α=，再结合诱导公式求得()2919f α=. 【详解】解：（1）由题意可得：13OP =，由角的终边上的点的性质可得5sin 13α=-，12cos 13α=； （2）由（1）可知5sin 13α=-，12cos 13α=，再结合诱导公式得：()()()()512cos 2cos 2sin 2cos 21313512sin 2cos sin 2cos 213121399f παπααααπαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-+--+ ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭====-+-+⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以()2919f α= 【点睛】本题考查根据角的终边上的点求三角函数值、根据诱导公式化简求值，是基础题.19．（1）0（2）单调递增区间是(0,)e ，单调递减区间是(,)e +∞ ，在x e =处取得极大值，为1e【解析】试题分析：（1）由导数几何意义得()11f '=,解得a 的值；（2）求出导函数零点,列表分析导函数符号变化规律,确定函数单调区间及极值 试题解析：解：（1）函数(){}0,f x x x 的定义域为 所以()21ln .x af x x --='又曲线()()()1,1y f x f =在点处的切线与直线10x y --=平行，所以()111,0.f a a =-=='即 （2）令()0,f x x e ='=得当x 变化时，()(),f x f x '的变化情况如下表：由表可知：()f x 的单调递增区间是()0,e，单调递减区间是(),e +∞所以()f x x e =在处取得极大值，()()ln .e f x f ee 极大值== 1e= 20．（1）S （ω）=；（2）；（3）有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关． 【解析】试题分析：（1）根据在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当API 为150时造成的经济损失为500元，当API 为200时，造成的经济损失为700元）；当API 大于300时造成的经济损失为2000元，可得函数关系式； （2）由500＜S≤900，得150＜ω≤250，频数为39，即可求出概率；（3）根据所给的数据，列出列联表，根据所给的观测值的公式，代入数据做出观测值，同临界值进行比较，即可得出结论． 试题解析：解：（1）根据在区间[0，100]对企业没有造成经济损失；在区间（100，300]对企业造成经济损失成直线模型（当API 为150时造成的经济损失为500元，当API 为200时，造成的经济损失为700元）；当API 大于300时造成的经济损失为2000元，可得S （ω）=；（2）设“在本年内随机抽取一天，该天经济损失S 大于500元且不超过900元”为事件A ； 由500＜S≤900，得150＜ω≤250，频数为39， ∴P （A ）=；（2）根据以上数据得到如表： 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 22 8 30非供暖季 63 7 70 合计 85 15 100 K 2的观测值K 2=≈4.575＞3.841所以有95%的把握认为空气重度污染与供暖有关． 考点：独立性检验.21．（1）2a e >；（2）证明过程见详解. 【分析】（1）先求函数()f x 的定义域和导函数，接着令()()'()ln 20g x f x a x x x ==->，再将条件“函数()f x 在()0,∞+内有两个不同的极值点”转化为“函数()g x 在区间()0,∞+内至少有两个不同的零点”，接着利用导函数分0a ≤和0a >两种情况讨论求实数a 的取值范围；（2）先由（1）得方程组1122ln 2ln 2a x x a x x =⎧⎨=⎩将“()()2212122f x f x x x +<-+”转化为“22211ln 10x x x x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭”，再构造新函数()()2ln 11h t t t t =-+>，最后利用导函数判断函数()h t 在区间()1,+∞内单调递减，证明()()2212122f x f x x x +<-+.【详解】解：（1）由题意可知，()f x 的定义域为()0,∞+，且()ln 2f x a x x '=-， 令()()ln 20g x a x x x =->，则函数()f x 在()0,∞+内有两个不同的极值点()g x ⇔在区间()0,∞+内至少有两个不同的零点， 由()2a xg x x-'=可知， 当0a ≤时，()0g x '<恒成立，即函数()g x 在()0,∞+上单调，不符合题意，舍去； 当0a >时，由()0g x '>得02a x <<，即函数()g x 在区间0,2a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增； 由()0g x '<得，2a x >， 即函数()g x 在区间,2a ⎛⎫+∞⎪⎝⎭上单调递减； 故要满足题意，必有ln 022a a g a a ⎛⎫=-> ⎪⎝⎭，解得2a e >， （2）证明：由（1）可知，1122ln 2ln 2a x x a x x =⎧⎨=⎩，则()221111111ln 11f x ax x x ax x ax =--+=-+，同理()22221f x x ax =-+所以()()2212122f x f x x x +<-+⇔()()2212122221121x ax x a x x x -+-+++<-⇔()21122ax x x <+， 因为1122ln 2ln 2a x x a x x =⎧⎨=⎩，两式相减得21212ln x x a x x -=， 所以()21122a x x x <+⇔22221121ln x x x x x -<， 不妨设120x x <<，则222222122221211111ln 1ln 10lnx x x x x x x x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-<⇔<-⇔-+< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 构造函数：()()2ln 11h t t t t =-+>，其中21x t x =由()2120t h t t-'=<，所以函数()h t 在区间()1,+∞内单调递减，所以()()10h t h <=，则22211ln 10x x x x ⎛⎫-+< ⎪⎝⎭所以()()2212122f x f x x x +<-+【点睛】本题考查根据极值点个数求参数范围、利用导函数研究函数的单调性、利用导函数证明不等式，还考查了转化的数学思想与分类讨论的数学思想，是偏难题.22．（1） 221:19x C y +=,2:0x a C -= （2）a =a =-【分析】（1）根据三角函数平方关系消元得1C 的普通方程，根据加减消元法得2C 的普通方程； （2）先根据点到直线距离公式得点P 到2C 的距离，再根据a 的正负讨论其最大值取法，最后根据最大值求结果. 【详解】（1）221:19x C y +=，2:0x a C -=（2）设点()3cos ,sin P θθ，点P 到2C的距离d ==， 当0a ≥时，有sin 13πθ⎛⎫-= ⎪⎝⎭时，maxd ==，∴a =； 当0a <时，有sin 13⎛⎫-=- ⎪⎝⎭πθ时，max d ==a =-综上，a =a =-. 【点睛】本题考查参数方程化普通方程以及利用椭圆参数方程求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.23．（1）{}11x x x <->或；（2）[]1,1-. 【分析】（1）将1a =代入()1f x ax =+中，然后根据()213f x x +->，利用零点分段法解不等式即可，或构造函数()121h x x x =++-，利用函数图像解不等式；（2）由条件可知11ax x +≤+，然后分0a =和0a ≠两种情况，利用数形结合法得到关于a 的不等式，再求出a 的范围.【详解】（1）当1a =时，有()3,111212,1213,2x x h x x x x x x x ⎧⎪-<-⎪⎪=++-=-+-≤≤⎨⎪⎪>⎪⎩. 解法一：作出函数()y h x =的图像，它与直线3y =的交点为()1,3A -，()1,3B ，所以原不等式的解集为{}11x x x <->或. 解法二：原不等式133x x <-⎧⇔⎨->⎩或11223x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪-+>⎩或1233x x ⎧>⎪⎨⎪>⎩， 解得1x <-或无解或1x >， 所以原不等式的解集为{}11x x x <->或.（2）不等式()()f x g x ≤，即11ax x +≤+.（*）当0a =时，（*）式11x ⇔≤+，恒成立；当0a ≠时，作出()1f x ax =+与()1g x x =+的图像，如图所示.则有1a ≤，于是11a -≤≤且0a ≠.综上所述，a 的取值范围是[]1,1-.【点睛】此题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了分类讨论思想和数形结合思想，属于中档题.。