第16章 二次根式
一、内容安排
第十六章 二次根式
约9课时
• 二次根式、最简二次根式的概念
• 二次根式的四则运算
16.1 二次根式 16.2 二次根式的乘除 16.3 二次根式的加减 数学活动 小结
约2课时 约2课时 约3课时 约1课时 约1课时

二次根式
2 a a (a 0)
核心思想：把二次根式看作特殊实数的一般 形式， 全面运用实数的运算律； 整式运算的公式和方法适用于二次根式； 注意二次根式的加减与整式的加减，以及二 次根式的混合运算与多项式乘法的类比(并 注意化为最简二次根式)，帮助学生掌握新 内容。
三、对教学的几点建议
1．注意代数学的整体性
作为初中阶段“数与式”内容的最后一章，本 章不仅承担二次根式知识的教学任务，而且也有整 理“数与式”的内容、方法和基本思想的任务。因 此，教学时一定要有整体观。
本章内容，核心是以“二次根式”这一特殊的 “式”为载体，进一步引导学生体会运算在代数中 的核心地位，学习用运算法则进行运算，体会运算 法则的逻辑相容性，体会数系运算律在代数中的基 础地位。
1．一以贯之地进行代数基本思想和方法的教学
内容安排线索： 二次根式的概念（定义研究对象）—二次根式
的性质—二次根式的运算（运算法则和运算律的应 用）
• 从实数运算出发，由特殊到一般，给出二次根式
的乘除法法则：
• 加减运算
• 混合运算
在小结中，引导学生概括，指出“二次根式 的加减法与整式的加减法类似，只要将根式 化为最简二次根式后，去括号与合并被开方 数相同的二次根式就可以了。二次根式的乘 法与整式的乘法类似，以往学过的乘法公式 等都可以用。二次根式的除法与分式的运算 类似，如果分子分母中含有相同的因式，可 以直接约去。”
其中，“概念”、“性质”是“运算”的基础， 在“运算”中自然地提出“如何算”的问题，并运 用运算律而得到相应的运算法则，从而实现有效地 、有系统地进行二次根式的运算。
• “归纳法是整个代数学的基本大法和基本功”， “归纳地去探索、发现，然后归纳地定义，再归 纳地论证”是解决代数问题的基本过程。
• 教材特别注意归纳法的应用。例如，通过具体实 例，从正数的平方根、算术平方根中归纳出研究 对象二次根式；通过具体实例归纳二次根式的性
•本章重点：二次根式的运算和运算法则；
难点：理解二次根式的性质和运算法则的基础上， 养成良好的运算习惯。
本章内容的主要变化
降低了对一些内容的要求，如只要求了解二次根式加 、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运 算（根号下仅限于数）等，根号下含有字母的二次根 式的化简与运算作为选学内容。
二、编写时主要考虑的问题
本章内容与以前所学的实数内容有较多联系，在
思考问题的方法上与整式的内容又有很多相通之处 ，因此，教学中一定要从联系性上多做文章，使学 生通过本章学习建立完整的代数知识结构，并进一 步地体会代数问题的基本研究方法。
2．加强归纳法，使学生经历特殊到一般的认 识过程
教学时一定要根据教材“从具体数字的算术平方 根的运算中观察规律，归纳得出二次根式的性质、 运算法则”的编写意图，让学生通过观察、思考、 讨论等，经历从特殊到一般的过程，归纳得出有关 结论。
对于二次根式的运算，要注意放在“代数运算”
这个大系统下，加强“从概念到法则”、“利用运 算律进行运算”、“利用乘法公式简化运算”等思 想方法的教学。总之，要在“二次根式是一类特殊 的实数的一般形式，因此满足实数的运算律，关于 整式运算的公式和方法也适用”的思想指导下，展 开二次根式运算法则的学习和运算技能的训练。
“反比例函数”移到九下
便于学生理解涉及的一些物理等相关知识
“一次函数”由八上移到八下
这一调整基于函数内容学习的以下三个难点： （1）函数的概念比较抽象； （2）从数和形两方面考虑问题； （3）用函数解决实际问题比较难。
本书在第十九章、第二十章分别安排了一个课题 学习，并在每一章的最后安排了两个数学活动， 通过这些课题学习和数学活动进一步落实“综合 与实践”的要求。
式 的
a (a是非负数)
化 简 a 2 a (a 0) 与
运
算
二次根式的乘除 二次根式的加减
•本章将进一步研究二次根式的概念、性质和运算， 目的是以二次根式这一类典型的“式”为载体，进 一步学习对数字、符号进行运算的方法，体会通过 符号运算所得结果的一般性，培养符号意识和运算 能力。
•二次根式的运算类似于整式的运算。
质；通过具体实例说明 a （a≥0）是一个实数
，进而明确“这一类实数满足怎样的运算法则” 的问题；所有运算法则都是采用从特殊到一般的 归纳方式得出的；等等。
• 由算术平方根引入二次根式
• 从算术平方根的意义得到二次根式的性质
2.以运算为核心，加强运算能力的培养
做法：加强二次根式运算与实数、整式运算的联系
第16章 二次根式 第17章 勾股定理 第18章 平行四边形 第19章 一次函数 第20章 数据的分析 涵盖“数与代数”“图形与几何”“统计与 概率”“综合与实践”全部四个领域。
本书内容的整体变化
原八年级下册（61）
新八年级下册（62）
第16章 分式（14）
第16章 二次根式（9）
第17章 反比例函数（8） 第17章 勾股定理（9） 第18章 勾股定理（8） 第18章 平行四边形（15） 第19章 四边形 （16） 第19章 一次函数（17） 第20章 数据的分析（15）第20章 数据的分析（12）
“分式”由八下提前至八上
第14章 整式的乘法与因式分解； 第15章 分式； 第16章 二次根式。 三章式的内容相对集中，体现式之间的联系，它们 构成式的有机整体。
“二次根式”从九上提前至八下“勾股定 理”之前
用勾股定理进行计算时经常涉及二次根式的化简，
便于计算、进一步巩固二次根式的运算，有利于全 面体现勾股定理的教育价值
3．加强运算技能训练，提高运算能力
运算技能的训练是代数教学的基本任务，本章 的“训练点”在两个方面。一是“用二次根式的运 算法则进行运算”，核心是有效地利用二次根式的 性质和乘法法则、除法法则，其中将各式转化为最 简二次根式是关键步骤；二是运算习惯的培养，与 “数感”、“符号意识”等相关，具体可以从“先 观察，后计算”、“先化为最简二次根式，后计算 ”、“利用乘法公式进行计算”等方面着手。