江苏省运河中学数学中心组教案学案一体化 命题人陈亮远 张清飞2008.3.4
不等式及其应用
一、要点回顾：利用基本不等式不仅可以证明一些不等式，还可以求某些式子的最值，求某些函数的值域等。

不等式及函数的应用非常广泛，在08考纲中基本不等式属Ｃ级要求。

很多数学问题中，利用常规方法很难解决，但如果将所研究的问题借助建立函数关系式，结合初等函数的性质，加以分析、转化可以将问题很容易处理.
二、常用不等式：（1）22,,2a b R a b ab +∈+≥；（2）222a b c ab bc ca ++≥++；（3）12x x
+≥；（4）22221()3
a b c a b c ++≥
++（变形式） 二、热身练习 1. （08考纲）函数212x x y -+=的定义域是__________________。

【解析】本题主要考查函数的定义域和解一元二次不等式。

本题属容易题。

【答案】},43|{R x x x ∈≤≤-
2．（08考纲）函数)0(ln )(>=x x x x f 的单调递增区间是________________________。

【解析】本题主要考查初等函数的求导、导数的四则运算以及利用导数研究函数的单调性等基础知识。

本题属中等题。

【答案】⎪⎭⎫⎢⎣⎡+∞,1e 。

3．已知()f x 为R 上的减函数，则满足1(|
|)(1)f f x
<的实数x 的取值范围是 ； 答：（－∞，－1）（1，＋∞） 4．已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是 ； 答：③
①22a b < ②22a b ab < ③2211ab a b
< ④b a a b < 5．若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是 ；答：②
①a ＜-1 ②a ≤1 ③ a ＜1 ④ a ≥1
三、例题选讲
例1.解不等式()516log 1x log x.+>
解：设16t log x =，则t x 16=，故t x 4=，原不等式可化为()
t 5log 14t +>，
∴t t 145+>，即t t 14155⎛⎫⎛⎫+> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭。

设()f t =t t
1455⎛⎫⎛⎫+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，则()f t 在R 上为单调减函数，且(1)f =1.()f t >(1)f ，t 1∴<，即16log x 1<，解得0x 16<<. 点评：由于不等式两边对数不同底，不便直接变形，故先换元，后构造函数()f t ，利用函数的单调性顺利解决问题.
例2.已知a 1,b 1,c 1.<<<求证：ab bc ac 1++>-.
证明：把a 看做自变量，构造一次函数()f a =()ba bc ac 1b c a bc 1+++=+++. a 1,b 1,c 1<<<，(1)f -=()()b c bc 11b 1c 0--++=-->，(1)f =b c ++
()()bc 11b 1c 0+=++>.()b c a bc 10∴+++>.ab bc ac 1∴++>-.
点评：构造一次函数化繁为简.
例3.设不等式()22x 1m x 1->-对m 2≤的一切实数m 都成立，求x 的取值范围.
分析：此问题由于常见的思维定势，易把它看成关于x 的不等式讨论.若变换一个角度，以m 为变量，记()f m ()()2x 1m 2x 1=---，则问题转化为求一次函数（或常函数）()f m 的值在[]2,2-内恒负时参数x 应满足的条件.
解：设()f m ()()2x 1m 2x 1=---，则不等式()
22x 1m x 1->-恒成立⇔ ()0f m <恒成立.∴在m 2≤时，()0f m <⇔22(2)2(1)(21),(2)2(1)(21).f x x f x x ⎧=---⎨-=----⎩解得7131x 22
-+<<. 点评：根据题意，变更主元，构造()f m 是用函数思想解题的关键.
四、巩固练习
1．不等式2
3+>ax x 的解集为（4，b ），则a= ，b= 。

36,8
1==b a 。

2．若奇函数)(x f 在定义域)1,1(-上是减函数，且0)1()1(2<-+-a f a f ，则a 的取值范围是 ；答：)1,0(。

3．不论k 为何实数，直线1+=kx y 与曲线04222
22=--+-+a a ax y x 恒有交点，则实数a
的取值范围是 。

31≤≤-a 。

4． 已知0,0,0>>>c b a ，求)11)(
(c b a c b a W ++++=的最小值。

解：)11)((c
b a
c b a W ++++==c b a c b a c b a )()()(+++⋅++， 又已知0,0,0>>>c b a ，所以22])(2[)(c b a c b a +≥++=4c b a )(+，
所以W 4)()(4=++≥c
b a
c b a ，从而W 的最小值为4。

5． 已知正数y x ,满足12=+y x ，求y
x 11+的最小值有如下解法： 因为12=+y x ，y x ,为正数， 所以y x 11+=（y x 11+）)2(y x +242212=⋅⋅≥y x xy
所以
y x 11+的最小值为24。

判断以上解法是否正确？说明理由；若不正确，请给出正确解法。

解：以上解法不正确。

原因是在y x 11+xy
12≥和y x y x 222⋅≥+两次运用均值不等式缩小中，当且仅当“y x y
x 2,11==”不能同时成立。

正解：因为12=+y x ，所以
y x 11+=（y x 11+）)2(y x +=y x x y ++23223+≥，当且仅当“y x x y =2和y x 2=”时即221,12-=-=y x 时，y
x 11+取得最小值223+。

五、本课小结
本课讲解了不等式的解法和不等式在函数中的应用。

特别是不等式转化为函数时要利用数形结合的手法便于解决问题；在不等式的放缩问题中要特别注意多次放大或缩小时等号是否能同时取等（如巩固练习5），否则就达不到最值。