（ 2010 至 2011 学年第一学期）课程名称： 高等数学 ( 上 )(A 卷)考试 (考查 )： 考试2008年 1 月 10 日共 6页题 二三四五六七 八九十十一评阅 (统分 )一总分师号 教得线分注意事项：1、 满分 100 分。

要求卷面整洁、字迹工整、无错别字。

名2、 考生必须将姓名、班级、学号完整、准确、清楚地填写在试卷规定的地方，否姓则视为废卷。

3、 考生必须在签到单上签到，若出现遗漏，后果自负。

题4、 如有答题纸，答案请全部写在答题纸上，否则不给分；考完请将试卷和答题卷分别一同交回，否则不给分。

答号试题学要得分评阅教师封不班一、单选题（请将正确的答案填在对应括号内，每题3 分，共 15 分）内级 线1.lim sin( x 21)()x 1x 1封1； (B)0； (C)2；1(A)(D)2业 密F ( x) ，则 exf (e x)dx 为 ()专2.若 f ( x) 的一个原函数为(A) F (e x) c ；(B)F (e x) c ；密F (e x)(C)F (e x) c ；(D ) cx3.下列广义积分中 () 是收敛的 .(A)sin xdx ；(B)1 1(C)xdx ；0 x dx。

系dx ；(D) e1x1 x 24. f (x) 为定义在 a, b 上的函数，则下列结论错误的是 ()(A) f (x) 可导，则 f ( x) 一定连续；(B)f (x) 可微，则 f ( x) 不一定可导；(C) f ( x) 可积（常义），则 f (x) 一定有界；(D) 函数f ( x)连续，则xf (t )dt 在 a, b 上一定可导。

a5. 设函数f ( x)1x() lim2n ，则下列结论正确的为n1x(A) 不存在间断点；(B)存在间断点 x1；(C) 存在间断点x0 ；(D)存在间断点 x1得分评阅教师二、填空题（请将正确的结果填在横线上.每题 3 分，共 18 分）1.极限 lim x 2 1 1_____.xx 02.x1t22 处的切线方程为______.曲线t3在 ty3.已知方程 y 5 y 6y xe2 x的一个特解为 1 ( x22x)e2x，则该方程的通解2为.4. 设f ( x)在x 2 处连续，且 lim f ( x) 2 ，则 f (2)_____x 2x2F （牛顿）与伸长量s 成正比，即F ks （ k 5．由实验知道，弹簧在拉伸过程中需要的力为比例系数），当把弹簧由原长拉伸6cm 时，所作的功为_________ 焦耳。

6．曲线y 2 x23上相应于 x 从3到8的一段弧长为.3得分评阅教师2三、设 x0时，e x(ax2 bx c) 是比x2高阶的无穷小，求常数a, b , c 的值（6分）线名姓题答号学要封不班内级线封业密专密系得分评阅教师四、已知函数 y arcsin x e x cos(3 2x) ,求dy.（6分）得分评阅教师五、设函数由方程yd 2 yy f ( x)xy e e确定求.（8分）2dx x 0得分评阅教师f ( x) 满足关系式 f (x)3 xt)dt 3x 3，求 f (x) .(8六、若有界可积函数 f (03分)得分评阅教师七、求下列各不定积分（每题 6 分，共 12 分）（ 1）(1 sin 3 )d .（2）x arctan xdx .得分评阅教师x1,x12八、设 f ( x)12,x 求定积分 f ( x)dx .（6分）2x10得分评阅教师1九、讨论函数 f ( x)x 3x 3的单调区间、极值、凹凸区间和拐点坐标.（ 10 分）线名姓题答号学要封不得分评阅教师班内十、求方程dy y4的通解（ 6 分）级线dx x y封业密专密系得分评阅教师十一、求证： sin x 2). .（5分）x, x (0,2第一学期高等数学（上）（A）卷参考答案及评分标准一、选择题（每题 3 分，共15 分）1． C 2.B 3.D 4.B 5.D二、填空（每题 3 分，共 18 分）1．0 ， 2. y3x7 ， 3. y c1e2x c2 e3x1( x22x)e2 x(c1, c2为任意常数），4. 2，28 。

25. 0.18k6.3三、解：lim e x2(ax2bx c)0c1⋯⋯⋯.2分x0e x 2(ax 2bx c)0. . . . . .l i m(e x2ab0⋯⋯..4分l i m2) x 0x x02x..a1b0 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯..6 分四、解：1x cos(3 2 ) 2x sin(3 2 )⋯⋯⋯4分y1x 2e x e xdy1 e x cos(32x)2e x sin(32x)dx ⋯⋯⋯.6分1x2五、解： y x dy e y dy0dyx y⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 3 分dx dx dx e yx0, y1dy1dx x0eydy y dyd 2 y(xe )dx(1 e dx) y⋯⋯⋯⋯⋯ .6 分dx 2( x e y ) 2x0时, d 2 y e 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .8 分dx2六、两边求导f( x) 3 f (x) 3 ⋯⋯⋯⋯..3分f (x) ce3x1(c 为任意常数）⋯⋯⋯⋯6分x 0, f (0)3 f (x)2e3x1⋯⋯⋯..8分七、解：（ 1）(1sin 3)d .d(1cos2)d cos ⋯⋯..3分cos 1cos3 c ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯.6分3（2）x arctan xdx121 x2⋯⋯3分2 xarctan x21 x 2dx1x 2arctan x 1 x 1arctan x c ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .6 分 2 2 2 2 1八、解：211) dx2dx ⋯⋯ .2 分f ( x) dx(x12x8 =⋯⋯⋯⋯⋯ 6 分32 5九、解f ( x) 1 x3 f( x)2x3由 f (x)0得x1, f ( x)不存在 x 0（3 分）3x,1-1（-1，0） 0（ 0，1） 1(1, )f (x) +—不存在—+f ( x)———不存在+++f (0) 0 f ( 1) 2f (1) 2 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .7 分f (x)在, 1与 1,上单增, 在 1,1 上单减 . x1时有极大值 2，x 1,有极小值2 。

在,0 上是凸的，在 0,上是凹的，拐点为（ 0，0）⋯⋯⋯ 10分dx 1 x y 3 (1)十、解；dyy⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ ..3 分对应齐次方程dx1x 的通解为 xcy 、dy y设方程（ 1）的解为 x u( y) y 代入（ 1）得 u( y)1 y 3c 1 ⋯⋯⋯ 5 分1 y 43x c 1 y ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯ .6 分3十一、证明： 令 f ( x) sin x2x, x 0,2⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 1分f (x)cos x2sin x 又 x(0, ), f (x) 0 ⋯..3 分, f (x)2f ( x) 的图形是凸的，由函数在闭区间连续知道最小值一定在区间端点取到。

f (0)f ( )0 ，所以 x(0, ), f (x) 0⋯⋯⋯⋯ .5 分。

22（ 2010 至 2011 学年第一学期）题 一 二 三 四 五 六 七 八 九总 号分得 分一、 单项选择题（ 15 分，每小题3 分）1、当 x 时，下列函数为无穷小量的是（）（A ）xCosx （ B） Sinx（ ）1（ D ） (1 1 ) xxx C2x1x2．函数 f ( x) 在点 x 0 处连续是函数在该点可导的（）（A ）必要条件（B ）充分条件（C ）充要条件（D ）既非充分也非必要条件3．设 f ( x) 在 (a,b) 内单增，则 f (x) 在 (a,b) 内（ ）（A ）无驻点（B ）无拐点（C ）无极值点（D ） f (x) 04．设 f (x) 在 [ a ，b] 内连续，且 f (a) f (b)0 ，则至少存在一点使（）成立。

（a ， b ）（A ） f （ ） 0（B ） f （ ） 0（C ） f （ ） 0（D ） f （b ） f （a ） f （ ）（ba ）dx(a 0) 当（5．广义积分 a x p）时收敛。

（A ） p 1(B) p 1(C) p 1(D) p 1二、填空题（ 15 分，每小题 3 分）1、 若当 x0时， 11 ax2 ~ x 2，则 a；2 、 设 由 方 程 xy 2a 2所 确 定 的 隐 函 数 yy( x) ， 则dy；3、函数 y2x8 (x0) 在区间单减；x在区间单增；4、若 f ( x)xex在 x 2处取得极值，则；115、若 a 0 xf ( x 2 )dxf ( x)dx ，则 a；三、计算下列极限。

（12 分，每小题 6 分）xx1)dt1、 limlim(e t( ) x2、2 x1xx 0x四、求下列函数的导数（12 分，每小题 6 分）1221、 y，求 y2、xln(1 t )，求d y4 x2y t arctantdx2五、计算下列积分（ 18 分，每小题 6 分）1、1 xarctan x dx2、32cosx cos xdx1 x223、设 f ( x)x 21sin t 1dt ，计算 0 xf ( x)dx tx2,x六、讨论函数 f ( x)cos x 2 的连续性，若有间断点，2xx ,2指出其类型。

（7 分）七、证明不等式：当x 0时，ln(1 x) x x2（7 分）2八、求由曲线 xy 2, y x2, y 2x (x 1) 所围图形的面积。

（7 分）九、设 f ( x) 在[ 0,1] 上连续，在 (0,1)内可导且f (1) f (0) 0.证明：至少存在一点(0,1) 使参考答案及评分标准（ 2010 至 2011 学年第一学期）课程名称： 高等数学一、单项选择题（ 15 分，每小题 3 分）1.B2.A3.C4.A5.A二、填空题（ 15 分，每小题 3 分）1. a=22. dyydx3. (0, 2) 单减，（，）单增。

12x4.a=25.2三、计算下列极限。

（ 12 分，每小题6 分xx 11.解。

原式 = lim1 xlim 1 1e1（6 分）x x xx1.解。

原式 = lime x1 limx1 （6 分）x 02xx 02x2四、求下列函数的导数（ 12 分，每小题 6 分）1y4x221 解。

12 3x2x4分422x6分4 x 2 3dy 11t1 t 2分dx2t 232.解。

1 t 2d 2y d t dt 1 11 t2 分dx2dt 2dx 2 dx 4t6dt五、计算下列积分（18 分，每小题 6 分）1xarctan x1 解。