1 傅里叶变换

周期函数)(tfT可表示为：

10)sincos(2)(nnnTtnbtnaatf

其中：

220)(2TTTdttfTa

22cos)(2TTTntdtntfTa

22sin)(2TTTntdtntfTb

周期函数)(tfT的周期为T。频率Tf1，角频率T2，n为正整数。

周期函数)(tfT的直流分量220)(12TTTdttfTad。nffn为各次谐波的频率。

周期函数)(tfT可化为：(三角函数公式：BABABAsinsincoscos)cos()

dtnAtfnnnT1)cos()(

其中：

22nnnbaA

)(nnnabarctg

即周期函数)(tfT可表示为不同频率成分的正弦函数的和。其中频率f

2 为基波的频率。

根据欧拉公式sincosiei，有：

2cosiiee

ieeii2sin

所以周期函数)(tfT可表示为：

10)22(2)(ntintinntintinnTieebeeaatf

= )22(210tinnntinnnneibaeibaa

而

tdtntfitdtntfTibaTTTTTTnnsin)(cos)(122222

=dttnitntfTTTT)sin(cos)(122

=dtetfTtinTTT22)(1

2nniba=tdtntfitdtntfTTTTTTTsin)(cos)(12222

= dttnitntfTTTT)sin(cos)(122

= dtetfTtinTTT22)(1

3 令

220)(1TTTdttfTc

dtetfTibactinTTTnnn22)(12

dtetfTibactinTTTnnn22)(12 n为正整数

则

)()(10tinntinnnTececctf

当 n取整数时，c可以合写为一个式子

dtetfTctinTTTn22)(1 （n = 0, ±1，±2，...）

所以有

tinnnTectf)( n为整数

非周期函数)(tf，当T时，有

)()(limtftfTT

所以

tinntinTTTTedtetfTtf22)(1)(lim

取nn，Tnnn21，当T时，0n。

从而

4 tintiTTTnnnnedtetftf220)(2)(lim

亦即

ntintinnnedtetftf)(21)(lim0

令

dtetfFtinn)()(

则

ntinnnneFtf)(21)(lim0

=ntindeFn)(21

=deFti)(21

因此有

dtetfFti)()( (1)

deFtfti)(21)( (2)

称式(1)中函数)(F为函数)(tf的傅里叶变换，式(2)中函数)(tf为函数)(F的傅里叶逆变换。函数)(F即为函数)(tf的频谱。

图1 是函数y1和y2的函数图。其中

y1=sin(t)。

y2=sin(t)+0.5*cos(3*t)+0.2*sin(8*t)+0.35*cos(15*t)。

y1是标准的正弦函数，y2中加入了高次谐波分量。

5

图1 谐波分量图

图2 是偶次谐波的函数图。

图2 偶次谐波图

6 图3 是偶次谐波的频谱图。

图3 偶次谐波频谱图

图4 是偶次谐波5次谐波含量和20次谐波含量的波形图。

图4 偶次谐波5次谐波含量和20次谐波含量的波形图

7 傅里叶分析在电路上的应用

函数)(tf的傅里叶变换记为F)(tf ，函数)(tg的傅里叶变换记为F)(tg，即)(FF)(tf，)(GF)(tg。 则有

傅里叶变换的线性性质

F)()(tgtf = )(F  )(G

傅里叶变换的微分性质

Fdttdf)(  )(Fi

傅里叶变换的积分性质

Ftdttf)(  )(1Fi

电路上的一个例子。

有一段RLC电路如图5所示

图5 RLC电路

8 求电路的电流)(ti ，列方程有

)()(1)()(tudttiCdttdiLtRit

函数)(ti的傅里叶变换为)(I，函数)(tu的傅里叶变换为)(U，对方程两边做傅里叶变换，有

)()(1)()(UICiLIiRI

求)(I得

CiLiRUI1)()(

求)(I的傅里叶逆变换得

dteItitit)(21)(

代入具体的参数值，即可求得电路的电流)(ti。

函数的卷积

已知函数)(tf，)(tg，则积分

dtgfth)()()(

称为函数)(tf和)(tg的卷积，记为

)(*)()(tgtfth

按傅里叶变换的定义，有

F)](*)([tgtf = dtetgtfti)](*)([

= dtedtgfti])()([

= dtdetgeftii)()()(

= )()()()(tdetgdeftii

9

= F)(tf  F)(tg

=)()(GF

即两个函数卷积的傅里叶变换等于这两个函数傅里叶变换的乘积。

数字低通滤波器的设计

模拟二阶低通滤波器的电路如图6所示。

图6 模拟二阶低通滤波器电路

10 用傅里叶变换分析电路，可以证明

2121221211221211)1)1(11(1)()(CCRRsCRACRCRsCCRRAsUsUio

其中is，341RRA。设

)()()(sUsUsGio

21211CCRRc

212121CCRRfc

221112211122)1(1CRCRACRCRCRCRQ

则有

222)(cccsQsAsG

函数)(sG为图6模拟二阶低通滤波器的传递函数。A为放大系数，c为滤波器的截止角频率，Q为滤波器的品质因数。

取kRR159.15521，FCC01.021，kRR1043，则2A，

Hzfc100，sradc/200，1Q。函数)(sG的频谱图如图7所示。

11

图7 函数)(sG的频谱图(1Q)

特别的，取3R，04R，则1A, 5.0Q，函数)(sG的频谱图如图8所 示。

图8 函数)(sG的频谱图(5.0Q)

12 取1A, 5.0Q的参数，当21)(sG， 求得64.3594Hzf。即为函数

)(sG的半功率点。

函数)(sG的零极点图如图9所示。0Q时极点位于左半平面。

图9 函数)(sG的零极点图(1A)

特别的，当21RR，21CC时，AQ31。当3A时，0Q，函数)(sG的零极点位于右半平面。取3A，函数)(sG的零极点图如图10所示。

函数)(sG极点位于右半平面。

13

图10 函数)(sG的零极点图(3A)

函数)(sG的相频图如图11所示。

图11函数)(sG的相频图

14 -1F将函数)(sG级联，构成多阶低通滤波器，如图12所示的2阶、4阶、6阶低通滤波器的频谱图。

图12 2阶、4阶、6阶低通滤波器的频谱图(5.0Q)

由)()()(sGsUsUio，根据卷积定理得)()()(tgtutuio。在频域上对函数)(sG采样，并对函数)(sG做傅里叶逆变换得)(tg )]([sG。二阶模拟低通滤波器在时域上的传递函数)(tg的图形如图13所示。

对函数)(tui和函数)(tg做卷积运算，求得函数)(tuo，即通过数字滤波器滤波后的结果。函数)(tui和函数)(tuo的图形如图15所示。

图14是函数)(tui的基波经过滤波器后产生相位延时的例子。

图16是模拟二阶低通滤波器电路运行后的结果。函数)(tuo和图6中模拟电路给出的结果是一致的。