对四自由度并联机构分析 摘要：并联机构（Parallel Mechanism，简称PM），可以定义为动平台和定平台通过至少两个独立的运动链相连接，机构具有两个或两个以上自由度，且以并联方式驱动的一种闭环机构。机构有串联机构，并联机构，各有其优缺点. 关键词：并联机构；四自由度；分析 Analysis of a novel four -degree -of -freedom parallel
mechanism Abstract：Parallel Mechanism is usually called for short PM, which can be defined as the mobile platform and the platform through at least two independent movements of the chain that can be connected. Agencies have series mechanisms, parallel mechanism, each have its advantages and disadvantages. Keywords：parallel manipulator; 4 –DOF; analysis 并联机构比起传统的串联机器人机构具有更高的刚度,更好的精度和承载能力,被广泛应用到航天器对接装置、 雷达定向装置以及虚拟轴高速并联机床等领域,尤其是少自由度并联机器人机构还具有结构简单、 控制方便等优点,被很多研究者关注,不断提出各种新型少自由度并联机器人机构并开展相应分析,在这些并联机构中,连接上下平台的支链主要为传统的串联支链, 由于杆长约束因素, 工作空间较小,无法满足一些特种机器人工作空间大、结构紧凑的要求. 由于平行四边形机构具有较好的缩放特性,有学者将其运用到并联机器人机构的结构综合中, Bruno和Jungw on等利用该机构设计了能够获得大工作空间的机器人操作平台, Nao -hi ro Hara将其应用在飞行机器人的机翼上改善了144%的升力, Grigore Gogu运用该机构设计出了一系列的各向同性的机器人机构, Sbastien Briot设计了具有承载能力大、水平和垂直方向具有独立运动的机器人机构。 本文作者利用平行四边形及其特殊形状—菱形,演绎出具有大缩放比的平行四边形机构支链和菱形机构支链, 通过用菱形机构虚拟轴代替传统串联支链实轴的方法, 提出一种具有结构紧凑、工作空间大的新型四自由度并联机器人机构, 利用螺旋理论对该机构进行了自由度分析。 1 菱形机构设计 如图1 所示,当菱形在运动变形过程中, 同一条虚直线上的各点只有沿直线方向上的相对运动. 取一个菱形, 如图2 所示, 将其顶点用转动副连接, 则此菱形演绎为单菱形运动链.将单菱形运动链 C 点转动轴与机架相连,得到单菱形机构, 如图3 所示,其相邻两边绕该点转动, 对顶角 A 点可以实现绕C点的转动和移动, A 点与C 点之间具有很大的伸缩比,其虚拟轴行程范围为22)2/(2dmLdRb （1）
式中；d 为菱形机构杆厚, m 为菱形机构杆长,RbL为菱形机构等价移动副虚拟轴行程. 当 md 时,一般可以忽略 d . 根据等效替换原理, 该单菱形机构可以等效为图4 所示的RPR 串联支链,而对于图 4所示的实际支链,当移动副采用传统的液压或气压驱动时,取缸体长度等于菱形杆长 m,则移动副行程范围为 mLmp2 （2）
由式( 1)和式( 2)可知菱形机构采用虚拟轴代替传统的实轴,具有较大的伸缩比. 当将图 2 所示单菱形运动链的2、 3 边延长,可以得到图5 所示的菱形放大尺, 与此相应得到菱形放大尺机构如图6 所示,其虚拟轴行程为 22)2/(4dmLdRb （3）
较之单菱机构具有更大的缩放比。 2 新型四自由度并联机构的构型设计 根据并联机构组成原理, 采用两条支链提供相同的约束,另外两条支链不提供约束的方法,设计了一种新型的非全对称的四自由度并联机器人机构,如图7 所示。 并联机构由静平台、动平台和4 条支链组成,支链与支链采用对称的结构配置, 将菱形放大尺机构作为支链主结构, 上端通过 U副与动平台连接,其U 副结构如图 8 所示, 下端通过转动副R 与静平台连接. 支链Ⅰ与支链Ⅲ同样采用对称结构配置,将单菱形机构作为支链主结构,上端通过独立的U 副与动平台连接, 其U 副结构如图 9 所示, 与下端通过转动副R与静平台连接。 根据等效替换原理, 支链Ⅰ与支链Ⅲ可以等效为RPRR 串联运动支链, 运动副配置为 RPU;支链Ⅱ与支链Ⅳ可以等效为 RRPRRR 串联运动支链,运动副配置为R1 R2, R2 P, R1 P, R2 R3,由此得到2RPRR -2RRPRRR 并联机构等效模型如图10 所示. 3 自由度分析 在分析并联机器人机构中,螺旋是一个非常有效的工具.螺旋$可用对偶矢量表示为( s; s0 ) , 当螺旋$的两矢量表示为标量时, 可用 Plcuker 坐标( l m n; o p q )来表示. 如果有两个螺旋$和$ r , 若它们满足下述条件：0rss 则s与rs互为易积。 如果螺旋$ 描述的是刚体的瞬时运动, 则螺旋前3 个坐标描述的是角速度,后 3 个坐标描述的刚体上某一点相对参考坐标系原点的瞬时线速度,称此螺旋为运动螺旋.与此相应, 反螺旋$ r 描述的则是作用在刚体上的约束力或约束力偶,螺旋的前3 个坐标描述的是约束力, 后 3 个坐标描述的是相对于参照系原点的约束力矩, 称此螺旋为力螺旋.其中0 节距的力螺旋描述的是力, 无穷大节距的力螺旋则为力偶。 如图 8 所示, 在静平台上建立基础坐标系OX YZ, X 轴与 Y 轴在静平台平面内, Z 轴与静平台平 面 垂 直; 在 动 平 台 上 建 立 坐 标 系 动O 1X 1 Y1Z1, Z1 轴与动平台平面垂直. 建立并联机构各支链运动螺旋系, 在支链 中, $ 11 O1 Y,$ 12 $ 11, $ 13 $ 12, 且$ 13 $ 11, $ 14 $ 13;在支链中: $ 21 O1X , $ 22 $ 21, $ 23 $ 22. 支链Ⅰ的运动螺旋系为：T111101000sc
T121212s000a0c
T131313s0100ac
T141410000sb
式中 a1j、 b1j、 c1j分别是由螺旋$ 1j空间位置所决定的确定参数。 根据式( 5)可以求得支链的约束反螺旋系为：T11000001rs
T121401000rsb
从支链的反螺旋系可以看出, 支链对动平台提供两个约束, 即限制了动平台绕 Z 轴的转动和沿 Y 轴的移动. 支链Ⅲ与支链Ⅰ具有相同的结构相同, 同理可求得支链Ⅲ的运动螺旋系为： T3131=01000s
T323232000a0cs
T333333s0100ac
T3434s10000b
式中 a3j、 b3j、 c3j分别是由螺旋$ 3j空间位置所决定的确定参数。 由式( 7)求得支链的约束反螺旋系为： T3r
1s000001
T323401000rsb
则支链也对动平台提供两个约束, 限制了动平台绕 Z 轴的转动和沿Y 轴的移动.由于支链和支链为对称配置,则支链、支链对动平台同时限制了动平台绕 Z 轴的转动和沿Y 轴的移动。 支链Ⅱ的运动螺旋系为：T212110000sc
T22222222000sa
T23232323232323sabc
T2422222424240sabc
T25232323252525sabc
T26262626262626sabc
式中: 2j、 2j、 3j分别为螺旋$ 2j在坐标轴X 、 Y 和Z 上的方向余弦; a2j、 b2j、 c2j分别为由螺旋$ 2j空间位置所决定的确定参数。 由式( 9)求得支链的约束反螺旋系为： T2000000rs
从支链Ⅱ的反螺旋系可以看出, 支链Ⅱ对动平台不提供约束, 只起到支撑的作用.支链Ⅳ与支链Ⅱ具有相同的结构配置, 同理可求得支链Ⅳ对动平台不提供约束. 综上所述,在 4 条支链中,只有支链Ⅰ、 支链Ⅲ对动平台提供2 个约束, 限制了动平台绕 Z 轴的转动和沿 Y 轴的移动, 使机构还具有 4 个自由度, 即沿X 轴和Z 轴的移动自由度以及绕X 轴、Y 轴的转动自由度。 4 结语 根据菱形放大尺工作原理设计了具有大缩放比的单菱形机构和放大尺机构, 将其作为运动支链主结构,通过合理配置运动副,连接并联机构的静平台和动平台, 设计出一种新型非完全对称的四自由度并联机器人机构.利用等效替换原理,将菱形机构虚拟轴用传统串联支链实轴替换, 得到新型四自由度并联机构的等效模型. 在此基础上运用螺旋理论对其各运动支链的约束和动平台自由度进行了分析,分析结果表明该机构具有2 个转动自由度和2 个移动自由度. 该机构具有结构紧凑、 工作空间大的特点,可用于航天对接、 军事平台等携带占用空间小、工作扩展空间大的场合。