19
2 2 u ( x, t ) 2 u ( x, t ) a 2 t x 2 2 2u ( x, t ) 2 u ( x, t ) a f ( x, t ) t 2 x 2
（ *） （**）
方程（*）和方程（**）的差别在于方程（ ** ）的右端多了一个与未 知函数u无关的项f(x,t)，这个项称为自由项。
x
P ( x, t ) A' u ( x, t )
P( x x, t ) B' u ( x x, t )
2u ( , t ) S x ( x x, t ) S ( x, t ) S F ( x 2 x, t ) S x 2 t x x
所以式（*）变为
或
2 u x, t 2 u x, t g dx dx T 2 2 x t
2 2 T u x, t u x , t g 2 2 x t
u 2 ( x, t ) 一般来说，张力较大时弦振动的速度变化很快，即 要比g大得多， t 2 所以可以把g略去。
则方程组
T cos T ' cos ' 0
重复以上的推导过程，可得有外力作用时弦的振动方程为：
2 2u ( x, t ) 2 u ( x, t ) a f ( x, t ) t 2 x 2
（**）
其中， f ( x, t ) F ( x, t ) / ，表示t时刻单位质量的弦在x点所受的外力。 式（**）称为弦的受迫振动方程。

'
ds
M
gds
T
N
弦是均匀的，设其线密度为 ；
O
x
N' x dx
x
13
设弦上具有横坐标为x的点，在时刻t的位置为M，其位移MN记为u。
显然，在振动过程中，位移u是变量x和t的函数，即
u u ( x, t )
采用微元法来建立位移u满足的方程：
u
T'
M'
'
把弦上点的运动先看成小弧段的运动，然 后再考虑小弧段趋于零的极限情况。
2 u x, t T sin T ' sin ' gds ds t 2 应该变为： T cos T ' cos ' 0 2 u x, t ' ' Fds T sin T sin gds ds t 2
12


§1.1.1 波动方程
1.
均匀弦的微小横振动
设有一根均匀柔软的细弦，平衡时沿直线拉紧，而且除了受不随时间变 化的张力及弦本身的重力外，不受其他外力的作用。 下面研究弦作微小横振动的规律。
u
T'
M'
所谓“横向”是指全部运动出现在一个 平面内，而且弦上的点沿垂直于x轴的方 向运动。
所谓“微小”是指运动的幅度及弦在任 意位置处切线的倾角都很小，以致它们 的高于一次方的项可以忽略不计。
，横截面为S（常数），长度为 x
A B
P( x x, t ) B' u ( x x, t )
外力密度为F(x,t)，
x点在t时刻的纵向位移为u(x,t) 。 弹性模量E：杆伸长单位长度所需的 力
x
P ( x, t ) A' u ( x, t )
应力 ：杆在伸缩过程中各点相互之间单位截面上的作用力 ( x, t ) ：杆上x点在t时刻的应力。 应变：杆的相对伸长
x
T sin T ' sin ' gds,
' 其中， gds 是 MM 的重力。
16
当
0, ' 0
时，
2u ( x, t ) 小弧段在时刻t沿u方向的加速度近似为 ， 2 t 小弧段的质量为 ds
u x, t sin tan , 2 x 1 tan u x dx, t ' ' sin tan , x 2 u x, t ds 1 dx dx. O x tan
可得：
2 2 u ( x, t ) 2 u ( x, t ) a t 2 x 2
其中， a 2 T /
这就是均匀弦的横振动所满足的泛定方程。它是一种波动方程。由于在 18 空间上是一维的，故称一维波动方程。
受迫振动
如果均匀弦上沿位移方向还经受外力场作用，单位长度弦上所受之力， 即力密度为F(x,t)。则在方程左端还应加上一项外力 F ( x, t )dx 。
由牛顿第二定律，可得[x,x+△x]段的运动方程为：
2u ( , t ) S x ( x x, t ) S ( x, t ) S F ( x 2 x, t ) S x 2 t x x 22
1


u ( x x, t ) u ( x, t ) u ( x, t ) lim x 0 x x
9
教学基本要求



掌握波动方程、热传导方程、Laplace方程的 物理背景及其定解问题的提法； 熟练掌握三类方程定解问题的解法：分离变量 法，行波法、积分变换法等； 熟悉Bessel函数和Legendre函数的性质及其 应用。
学习方法
物理过程 数学模型 数学解 物理解 物理现象
第1章 数学物理方程及其 定解条件

ds
M

gds
T
N
在弦上任取一弧段
MM
' ，其长度为 ds，
'
弧段两端所受张力为 T 和 T
O
x
N' x dx
x
是弦的线密度
由于假定弦是柔软的，所以在任意点处张力的方向总是沿着弦在该点的 切线方向。
14
现在考虑弧段
MM ' 在t时刻的受力和运动情况。

根据牛顿第二定律，作用于弧段上任一方向上力的总和等于这段弧的 质量乘以该方向上的运动加速度。


与初等函数相对； 初等函数：常函数、指数函数、对数函数、幂函数、 三角函数和反三角函数
5
主要内容




第一章 §1.1 §1.2 §1.3 §1.4
数学物理方程及其定解条件 基本方程的建立 定解条件 定解问题的提法 二阶线性偏微分方程的分类与化简

第二章 分离变量法 §2.1 （1+1）维齐次方程的分离变量法 §2.2 二维Laplace方程的定解问题 §2.3 非齐次方程的解法 §2.4 非齐次边界条件的处理
21


如图，AB段的相对伸长是： x点的应变为：
A B AB
——
—— ' '
——
AB
u ( x x, t ) u ( x, t ) x
A B
由于振动是微小的，可认为不超过杆的弹性限度
虎克（Hooke）定律：应力=弹性模量*应变
u ( x, t ) ( x, t ) E x
u
在x方向弧段
MM ' 受力总和为
' '
M

T'
M'
'
T cos T cos
由于弦只做横向运动，所以
' '
ds

gds
T
N
T cos T cos 0
O
x
N' x dx
x
按照弦作微小振动的假设，可知在振动过程中，弦上M和M’点处切线 的倾角都很小，即：
0, ' 0
17
2 u x, t u x dx, t u x, t T dx（*） gdx 2 x x t
上式左端方括号的部分是由于x产生 的改变量，可以用微分近似代替：
dx
u ( x, t ) 的变化引起的 x
u x dx, t u x, t u x, t 2u x , t dx dx 2 x x x x x
6



第三章 二阶常微分方程的级数解法 本征值问题 §3.1 二阶常微分方程的级数解法 §3.2 Legendre（勒让德）方程的级数解 §3.3 Bessel（贝塞尔）方程的级数解 §3.4 Sturm-Liouville（斯特姆--刘维尔）本征值问题 第四章 Bessel函数的性质及其应用 §4.1 Bessel方程的引出 §4.2 Bessel函数的性质 §4.3 Bessel函数的应用 *§4.4 修正Bessel函数 *§4.5 可化为Bessel方程的方程
u
T'
M'
'
ds
M

gds
T
N
x
N' x dx
x
2 u x, t ' ' 由牛顿第二定律有 T sin T sin gds ds t 2
2 u x dx , t u x , t u x, t 将近似式代入，T dx gdx 2 x x t
包括有非零自由项的方程称为非齐次方程。
自由项恒等于零的方程称为齐次方程。
方程（*）为一维齐次波动方程，
方程（**）为一维非齐次波动方程。
20
2.
均匀弹性杆的微小纵振动
一根弹性杆中任意小段受外界影响发生纵振动，必使其相邻部分发生伸 长或缩短。最终，杆上任意小段的纵振动必然传播到整根杆。这种振动 的传播就是波。 杆的质量密度为