10/12/2018 11:01 AM
1 2 1 n x , 1 x 1 x 2 n 1 3 x , a x 1 x ln a (a 0, a 1) 6
第二章
极限与连续
例1
tan 2 x 计算 lim x 0 sin 5 x
解1 利用重要极限
tan 2 x 2 2 tan 2 x 5 x lim lim x 0 sin 5 x 5 x 0 2 x sin5 x 5
e
3 x ln a x ln b lim 2 x 0 x
e
3 ln( ab ) 2
(ab)
等价无穷 小量代换
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第二章

极限与连续
与 5.当 x 0 时， （ B ）。 （2007）
A 1 e
x
x 等价的无穷小量是
B ln(1 x ) D 1 cos x
lim[1 ( x )]
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等价无穷小量 代换定理
1 ( x)
lim[1 A( x )]
1 B( x )
e
lim
A( x ) B( x )
第二章
极限与连续
2.若 lim u( x ) 1 , lim v( x ) , 则
lim u( x )v ( x ) e lim[ u( x )1]v ( x )
(1 x ) 1 例3 计算 lim x 0 cos x 1 1 2 1 x (1 x 2 ) 3 1 2 3 lim 解 lim x 0 x 0 1 2 cos x 1 3 x 2
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1 2 3
第二章
极限与连续
说明 应用等价无穷小量代换定理时 （1）分子和分母都是无穷小量； （2）分子和分母都整体用等价无穷小量代换， 不能部分代换。 例4
解
1 2 x 1 1 cos x 1 2 lim lim lim 2 2 x 0 cos x x 0 sin x x 0 x 2
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第二章
极限与连续
例5 解
tan x ln(1 x ) 计算 lim x 0 sin x 2
x x tan x ln(1 x ) lim 2 1 lim 2 x 0 x x003）
2 x
结论1
解
lim[1 ln(1 x )]
x 0
2 x
lim(1 x ) e 2
1 (1 2a )
n 2na 1 n 1 ] 3.设常数a ，则 limln[ n n(1 2a ) 2 n 2na 1 n ] ln e 解 limln[ n n(1 2a )
tan x sin x 计算 lim x 0 sin 3 x
tan x sin x x x lim 0 判断是否正确 lim 3 x 0 x 0 sin x x
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第二章
极限与连续
例4
tan x sin x 计算 lim 3 x 0 sin x sin x(1 cos x ) tan x sin x lim lim 3 3 x 0 x 0 cos x sin x sin x
§2.7 利用等价无穷小量代换求极限
（一）与无穷小量有关的定理
（二）常用的等价无穷小量
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第二章
极限与连续
（一）与无穷小量有关的定理 定理1 与 是等价无穷小量
o( )
证明 设
lim 1 0 因此 o( ) , 即 o( ) o( ) o ( ) 设 ， 则 lim lim o( ) lim(1 )1 即 证毕。
n 2 na 1 lim 1 n n n (1 2 a )
（2002）
结论2
n 2na 1 1 lim 1 n n (1 2a ) n(1 2a )
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第二章
极限与连续
4.若 a 0, b 0 均为常数， 则
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， lim( 1) 则 lim
第二章
极限与连续
例如 当 x 0 时，
x sin x
tan x
arcsin x ,
1 cos x
1 2 x 2
所以，当 x 0 时，
sin x x o( x ) , arcsin x x o( x ) , tan x x o( x ) ,
x
C
1 x 1
1) ~ x 1 ln(1 x ) ~ x , 1 x 1 ~ x 2 1 1 2 1 cos x ~ ( x ) x 2 2
x
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解 1 e
( e
选Ｂ
解2 利用等价无穷小量代换
2x 2 tan 2 x lim lim x 0 5 x x 0 sin 5 x 5
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第二章
极限与连续
sin x 例2 计算 lim x 0 x 3 3 x sin x x 1 1 lim 3 lim 2 解 lim 3 x 0 x 3 x x 0 x 3 x x 0 x 3 3
例6 计算
1 x sin x 1 lim x 0 arctan x 2
3
1 1 2 x sin x x 3 1 x sin x 1 1 3 3 lim lim 2 解 lim 2 2 x 0 x 0 x x 0 x 3 arctan x
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作业 P94 28
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第二章
极限与连续
备用题
sin x a 1 ; b 4 (cos x b) 5 ， 则 1.若 lim x x 0 e a
解
（2004） 则分母的极限 由于分子的极限为０，
lim( e x a ) 0 ,
x 0
lim lim lim lim
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证毕。
第二章
极限与连续
（二）常用的等价无穷小量
当 x0 时
x
x
sin x
e 1
x
tan x
arcsin x
arctan x
ln(1 x )
1 x 1 x
1 cos x x sin x
a x bx 3 lim( ) x (ab ) 2 x 0 2
x x
3
（2000）
3 x a x bx 3 lim ( 1) x 0 2 x
解
a b lim( ) e x 0 2
e
3 a x b x 2 lim x 2 0 x
e
3 2
3 a x 1 b x 1 lim 2 x 0 x
第二章
极限与连续
内容小结
重要结论
1.若 lim ( x ) lim ( x ) lim A( x ) lim B( x ) 0 且 ( x ) A( x ) , ( x ) B( x ) , 则
( x) A( x ) lim lim ( x) B( x )
1 2 1 cos x x o( x 2 ) 2
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第二章
极限与连续
定理2（等价无穷小量代换定理）
设 , ，且 lim 存在，则 lim lim
证明
lim lim( )
也为０。即
a 1
sin x x lim x (cos x b) lim (cos x b) 1 b 5 x 0 e 1 x 0 x
b 4
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第二章
极限与连续
2 x
2. lim[1 ln(1 x )]
x 0