i
ln(1/ r)
多重分维的定义包含了各种分维的定义（具体见书
本）。多重分形式定义了无穷多种维数，它依赖一
个参数q ，当q=0，1，3时，Dq分别等于Hausdorff维 数，信息维D1和关联维数D2。当然q不必限于正整数， 它可以取从-∞到+∞的一切实数值。
§14.2 应用实例之一： 甘肃城镇体系的分形研究
分形的基本属性是自相似性。表现为，当 把尺度r变换为λr时，其自相似结构不变， 只不过是原来的放大和缩小，λ称为标度因 子，这种尺度变换的不变性也称为标度不 变性，是分行的一个普适规律。有
N (r) 1 D0 N (r) (r) D0
海岸线分形，如果考虑其长度随测量尺度的变化，
L(r) rN (r) 1D0 r N (r) L(r)
同的线条集合，它们构成单分形子集合。对每一个
单分形子集合，其标度指数为α，分维为f(α)。
最后每段线条的质量相当于二项式 (P1 P2 )n展开中的
一项，n 。因此可以用P1的q阶矩i Piq 取代单分形
中的盒子数N，多重分维Dq可以定义为
Dq

lim 1 r0 1 q
ln Piq
§14.1 分形理论简介
分形的概念 分形维数的定义和测算 标度律与多重分形
分形的有关概念
(1)分形，是指其组成部分以某种方式与整体相似的 几何形态(Shape)，或者是指在很宽的尺度范围内， 无特征尺度却有自相似性和自仿射性的一种现象。分 形是一种复杂的几何形体，唯有具备自相似结构的那 些几何形体才是分形。 (2)特征尺度 ,是指某一事物在空间，或时间方面具 有特定的数量级，而特定的量级就要用恰当的尺子去 量测。凡是具有自相似结构的现象都没有特征尺度, 分形的一个突出特点是无特征尺度。在无特征尺度区， 用来表征的特征量是分形维数 。
Cantor集合是由处处稀疏的无穷多个点构成的集合， 拓扑维数为d=0。构造方法是，把(0 , 1)区间上的线段 分成三等份后去掉中段，剩下的每段再三等份后去掉
中段，如此自相似变换无穷次，最后剩下的就是无穷 稀疏又无穷多的点的集合。用尺度为r=(1/3)n的小盒 子覆盖，小盒子数为N(r)=2n，Hausdorff维数是

ln ln
4 3
1.2618
显然，L(r)与N(r)之间的关系是 L(r) N(r) r
所以海岸线的维数大于它的拓扑维1而小于它所在
的空间维2。长度L(r)随测量尺度r的变小而变长，在 r→0时，L(r)→∞。当海岸线分形的自相似变换程度 复杂性有所增加时，海岸线的分维也会相对地增加。
§14 分形理论及其应用
分形理论简介 应用实例之一：甘肃城镇体系的分形研究 应用实例之二：沙漠化的分形研究 应用实例之三：
R/S分析法在城市气候研究中的应用
分形（Fractal）理论，主要研究和揭示复杂的自 然现象和社会现象中所隐藏的规律性、层次性和标 度不变性，为通过部分认识整体、从有限中认识无 限提供了一种新的工具。
当r=1/3时， 当r=(1/3)2时，
N (r) 4， L(r) 4 3
N (r) 42，L(r) ( 4)2 3
……………
当r=(1/3)n时，
N (r) 4n，L(r) ( 4)n 3
根据分维的定义得海岸线的Hausdorff维数是
D0

lim
r0
ln N (r) ln(1/ r)
得到信息维D1的定义 N(r)
Pi ln Pi
D1

lim
r 0
i 1
ln(1/ r)
如果把信息维看作Hausdorff维数的一种推广，那么
Hausdorff维数应该看作一种特殊情形而被信息维的
定义所包括。对于一种均匀分布的分形，可以假设
分形中的部分落入每个小盒子的概率相同，即
Pi

1 N
对于一个二维几何体——边长为单位长度的正方 形，若用尺度r=1/2的小正方形去分割，则覆盖它所 需要的小正方形的数目N(r)和尺度r满足如下关系式
N
(1) 2

4

1 (1)2
2
若r=1/4，则
N
(1) 4

16

1 (1)2
4
当r=1/k（k=1，2，3，…）时，则
N(1) k

k2

1 ( 1 )2
一般情况下，可以把标度律写为 f (r) f (r)
f是某一被标度的物理量，标度指数α与分维D0之间存 在着简单的代数关系 d D0 d为拓扑维数。
质量均匀分布的Cantor集合：取一个长度r0=1，质量 P0=1的均匀质量棒，分为两段，各段质量P1=P2=1/2， 再将每段变为长度r1=1/3，线密度ρ1=P1/r1=3/2的均匀 棒。自相似变换，第二步可获4段小棒，长度r2=(1/3)2， 质量P2=(1/2)2，线密度ρ2=P2/r2=(3/2)2，…，到第n步， 共有N=2n个小棒，每一个长度为ri=3-n，质量为Pi =2-n， 线密度为ρi=Pi/ri=(3/2)n (i=1,2,…,N)，
X1 ： (x1，x2，，xm )

X X
2 3
： (x2，x3，，xm1 ) ： (x3，x4，，xm2 )

X
4
： (x4，x5，，xm3 )


把相点X1，X2，…，Xi，…，依次连起来就是一 条轨线。因为点与点之间的距离越近，相互关联
的程度越高。设由时间序列在m维相空间共生成
整个过程中，总质量守恒
N
Pi 1
i 1
如果把看作概率，上式就是归一条件。对每一小棒
给以标度
Pi ri
其中α为标度指数。把每一小棒的长度及质量同时代
入，可以算得
ln 2 0.63093
ln 3
i

Pi ri
ri 1
这种均匀分布的Cantor集合，其标度指数α是一个常
分形理论，是在“分形”概念的基础上升华和发
展起来的。分形的外表结构极为复杂，但其内部却 是有规律可寻的。许多社会经济现象等都是分形理 论的研究对象。分形的类型有自然分形、时间分形、 社会分形、经济分形、思维分形等。
分形理论，被广泛地应用于自然科学和社会科学
的各个领域，从而形成了许多新的学科生长点。随 着分形理论在地理学研究中的应用，到了20世纪90 年代，逐渐形成了一个新兴的分支学科——分形地 理学。
分形维数的定义和测算
维数是几何对象的一个重要特征量，传统 的欧氏几何学研究、立方体等非常规整的 几何形体。按照传统几何学的描述，点是 零维，线是一维，面是二维，体是三维。 但仔细观看，对于大自然用分型维数来描
述可能会更接近实际。
几种测定分维数
(1)拓扑维数
一个几何对象的拓扑维数等于确定其中一个点 的位置所需要的独立坐标数目。
量，并且α = 0-D0，为单标度，分形称为单分形。
（2）多重分形
对于非均匀分布的分形，可以看作由单分形 集合构成的集合，它的标度指数 α和分维 D 都不再是常量，这样的分形称为多重分形。
理想的表达方法是，把α看作是连续变化的， 在α和α+dα这个间隔是一个以单值α为特征和 分维为f(α)的单分形集合，把所有不同α的单 分形集合相互交织在一起就形成多重分形。
N

1 ln 1
D1

lim
r 0
i1 N N lim ln N
ln(1/ r)
r0 ln(1/ r)
ห้องสมุดไป่ตู้
可见，在均匀分布的情况下，信息维数D1和 Hausdorff维数D0相等。在非均匀情形，D1<D0。
(4) 关联维数
空间的概念早已突破3维空间的限制，如相空间， 系统有多少个状态变量，它的相空间就有多少维， 甚至是无穷维。相空间突出的优点是，可以通过 它来观察系统演化的全过程及其最后的归宿。对 于耗散系统，相空间要发生收缩，也就是说系统 演化的结局最终要归结到子空间上。这个子空间 的维数即所谓的关联维数。
个相点X1，X2，…，XN，给定一个数r，检查有 多少点对(Xi，Xj)之间的距离|Xi-Xj|小于r，把距离 小于r的点对数占总点对数N2的比例记作C(r)，
C(r) 1
N
(r
N2 i, j1
Xi X j
)
i j

(
x)

1，x 0，x

0 0
为Heaviside阶跃函数
1 D0 为标度指数。上式表明，把用尺度r测 量的分形长度L(r)再缩小(或放大)λα倍就和用缩小 (或放大)了的尺度λ r测量的长度相等。最重要的 是这种关系具有普适性。究竟普适到什么程度是由 标度指数α 来分类的，这称为普适类。具有相同α 的分形属于同一普适类，同一普适类的分形也具有 相同的分维D0。
若r取得太大，所有点对的距离都不会超过它，
C(r)=1，lnC(r)=0。测量不出相点之间的关联。
适当缩小测量尺度r，可能在r的一段区间内有
C(r) r D
如果这个关系存在，D就是一种维数，把它称
为关联维数，用D2表示，即
D2

lim
r 0
ln C(r) ln r
标度律与多重分形
(1)标度律
k
一般地，如果用尺度为r的小盒子覆盖一个d
维的几何对象，则覆盖它所需要的小盒子
数目N(r)和所用尺度r的关系为
N (r)

1 rd
变形得
d ln N (r) ln(1/ r)
定义为拓扑维数
（2）Hausdorff维数
几何对象的拓扑维数有两个特点：一是d为整数；二 是盒子数虽然随着测量尺度变小而不断增大，几何 对象的总长度(或总面积，总体积)保持不变。但总 长度会随测量尺度的变小而变长，最后将趋于无穷 大。因此，对于分形几何对象，需要将拓扑维数的 定义推广到分形维数。因为分形本身就是一种极限 图形，可以得出分形维数的定义：