学号：数形结合思想在中学数学中的应用学院名称：数学与信息科学学院专业名称：数学与应用数学专业年级班别：姓名：指导教师：2012年05月数形结合思想在中学数学中的应用摘要数与形是数学中两个最主要最基本的研究对象，数与形是紧密相连的，在一些特定的条件下，数与形是可以相互转化的，这就是“数形结合”。
数形结合作为数学学习的一个重要思想，在数学学科中占有重要的地位。
本文中主要介绍了数形结合研究背景及意义；在中学教学中的地位；应用数形结合的原则和途径以及数形结合思想在中学解题中的应用等问题。
通过分析、比较和归纳充分展现数形结合思想在解题中的特点和优越性，从而在实际教学中要将数形结合思想融汇到课堂中，培养学生加强数形结合思想的意识。
关键词数与形；数形结合；中学数学The combination of shapes and number in the middle school Abstract The number and shape are the two most major and basic research objects in mathematics, and they have close relationship. In some specific conditions, they are interchangeable,which is named the combination of shapes and number.The combination of shapes and number is an important thought in mathematics studying,while it occupies an important position in mathematics, too. This article mainly introduces：the research background and significance of the combination of shapes and number,it's position in the middle school teaching ,the principles and ways of it's application ,and the application of the combination of shapes and numberthought in the middle school problem solving and so on.Through the analysis, comparison and induction,it showsthe combination of shapes and number thought's characteristic and advantagesin the problem solving, which inactual teaching ,we should form together with this thought to the classroom, training students to strengthen the consciousness of the combination of shapes and numberthought.Keywords Number and shape The combination of number and shapesThe mathematics of the middle school目录摘要1Abstract2前言 (4)1 数形结合思想方法概述 (4)1.1 数形结合思想的研究背景 (4)1.2数形结合思想的研究意义及作用 (5)2 数形结合思想方法在中学数学教学中的地位 (5)2.1从新课程标准对思维能力的要求看数形结合 (5)2.2从新课程教学内容的特点来看数形结合 (5)2.3从高考题设计背景来看数形结合 (6)3 数形结合思想应用的途径和原则 (6)3.1．数形结合的途径 (6)3.2．数形结合的原则 (7)4 数形结合思想方法在中学解题中的应用 (7)4.1“数”中思“形”74.1.1利用韦恩图法解决集合之间的关系问题 (7)4.1.2 利用数轴解决集合的有关运算 (8)4.1.3 数形结合思想在解决对称问题中的应用 (8)4.1.4 利用函数图像比较函数值的大小 (9)4.1.5 数形结合思想在解方程问题中的应用94.1.6数形结合解决最值问题 (10)4.2“形”中觅“数”105 结束语 (11)参考文献 (11)致谢 (12)前言在数学思想中，有一类思想是体现基础数学中的具有奠基性和总结性的思维成果，这些思想可以称之为基本数学思想。
中学阶段的基本数学思想包括：分类讨论的思想、数形结合的思想、变换与转化的思想、整体思想、函数与方程的思想、抽样统计思想、极限思想等等。
中学数学中处处渗透着基本数学思想，如果能使它落实到学生学习和运用数学的思维活动上，它就能在发展学生的数学能力方面发挥出一种方法论的功能。
在这些数学思想方法中数形结合思想是一种很重要的方法，它贯穿于整个中学数学的课程。
一直以来数与形就是两个不可分割的对象，他们在一定程度上可以相互转换，我国著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事非”，即数形结合在一起好处很多，而独立分开却会带来很多麻烦，从这可以看出数与形的基本性质，数与形是不可分割的，数形结合在实际问题中是紧密结合在一起的。
而数形结合主要是指数与形之间的一一对应关系。
例如函数图象与函数表达式之间的关系。
在数学问题中若能“以数示形，以形思数，数形渗透”，则能加强知识的横纵联系（1）。
对中学数学中数形结合思想的研究有助于我们更好的掌握中学数学知识，增强解题能力，特别是在一些题目中如选这题、填空题，在小题目中经常考察数形结合思想，如果熟练掌握了数形结合思想并加以巧妙利用，那么我们将取得事半功倍的效果，能帮助我们在高考中能取得时间和效率的优势，最终让你取得优异成绩。
那么接下来我们将要研究数形结合思想在我们中学中到底有哪些用处，我们解什么样问题时需要用到数形结合思想？1 数形结合思想方法概述1.1 数形结合思想的研究背景数学以现实世界的数量关系和空间形式作为研究的对象，而数和形是相互联系，也是可以相互转化的。
早在数学萌芽时期，人们在度量长度、面积和体积的过程中，就把数和形式联系起来了（8）。
我国宋元时期，系统地引进了几何问题代数画化的方法，用代数式描述某些几何特征，把图形之间的几何关系表达成代数式之间的代数关系。
“数形结合”一词正式出现在华罗庚先生于1964年1月撰写的《谈谈与蜂房结构有关的数学问题》的科普小册子中。
“数形结合”的应用大致又可以分为两种情形：第一种情形是“以数解形”，而第二种是“以形助数”。
“以数解形”就是有些图形过于简单，直观观察却看不出什么规律来，这时就需要给图形赋值，如边长.角度等等。
“以形助数”是指把抽象的数学语言转化为直观的图形，可避免繁杂的计算，获得出奇制胜的解法。
1.2数形结合思想的研究意义及作用数形结合思想在中学教学中有着重要的研究意义。
首先，“数形结合”能更好帮助学生对所学知识的掌握与记忆。
例如：在研究函数时，可以利用函数图形来记忆有关函数的知识点，像函数的定义域.值域.单调性.奇偶性.周期性.有界性以及凹凸性等。
其次，应用“数形结合”能培养学生的数学直觉思维能力。
第三，数形结合思想有利于培养学生的发散思维能力。
第四，应用“数形结合”有益于培养学生的创造性思维能力。
“数无形时不直观，形无数时难入微”道出了数形结合的辩证关系，数形结合简言之就是：见到数量就应想到它的几何意义，见到图形就应想到它的数量关系。
在数学教学中，数形结合对启发思路，理解题意，分析思考，判断反馈都有着重要的作用。
在中学教学中，数形结合已成为一条重要的教学原则。
2 数形结合思想方法在中学数学教学中的地位2.1从新课程标准对思维能力的要求看数形结合数形结合思想能帮助学生树立现代思维意识：第一通过数与形的有机结合，把形象思维与抽象思维有机地结合，尽可能地先形象后抽象，不但能促进这两种思维能力同步发展，还为学生初步形成辩证思维能力创造了条件。
第二通过数形结合，能够有的放矢地帮助学生从多角度、多层次出发地思考问题，养成多向性思维的好习惯。
第三通过数形结合引导学生变静态思维方式为动态思维方式，也就是以运动、变化、联系的观点考虑问题，更好地把握事情的本质。
由此可见，新课程把数形结合思想作为中学数学中的重要思想，要求教师能充分渗透数形结合思想，挖掘它的教学功能和解题功能。
2.2从新课程教学内容的特点来看数形结合数学基本知识与数学思想方法是课堂教学内容的两个不可分割的有机组成部份。
数学思想方法是解决数学问题的根本思想和手段，它是人们探索数学真理，求解数学问题的过程中逐步积累起来的，并蕴含于各个数学分支的公理、定理、公式、法则和解决问题的过程中，是人类宝贵的精神财富。
数学思想方法产生数学知识，数学知识蕴含数学思想和方法，两者的联系是辩证的统一。
这就决定了在中学数学课堂教学中，数学知识的教学不能代替数学思想方法的教学，课堂教学的目的，应在于运用数学思想方法去揭示数学知识之间的内在联系，教师在课堂教学中，既要重视数学知识的教学，更要突出数学思想和方法的教学，通过数学思想和方法的教学，使我们的学生毕业之后，“不论做什么业务工作，唯有深深铭刻在头脑中的数学精神，数学思想方法和着眼点，都随时随地发生作用，使他们终生受用。
”（2）然而在课堂教学中教师过于呆板地强调着逻辑思维能力。
在教学中忽视对直观图形的利用，不能很好地利用具体形象来化解对书本中一些抽象的结论的理解。
忽视学生形象思维的培养。
学生对于现在这种过于陈旧的课堂教学模式不能产生“亲和感”，感到枯燥，厌恶。
事实上教材中体现数形结合思想方法的内容很多，可以通过数形结合给代数提供几何模型，形象直观地揭示问题的本质，减轻学生学习的负担，从而引发学生学习数学的兴趣。
利用数形结合有利于进行初、高中数学教学的过渡衔接。
初中数学的教学内容较具体，模仿性的练习较多，而高中数学的内容抽象性较强，强对数学概念的理解基础上的运用，对思维能力、运算能力、空间想象能力，数学语言的运用要求较高。
因此学生对于高中数学的学习要有一个适应过程。
教师更要帮助学生渡过这个关口。
从高一数学内容来看，通过数形结合，从具体到抽象恰好符合学生的认知规律。
2.3从高考题设计背景来看数形结合随着数学教育改革不断深入，高考命题朝着多样性和多变性发展，增加了应用题，开放题，情景题，强调检测学生的创造能力。