二次曲面分类
二次曲面方程的化简和分类 （ ） P:130 Th4.2.2; P:133 Th4.3.1
定理 适当选取坐标系，二次曲面的方程总可 以化成下列五个简化方程中的一个：
(1) a11x2 a22y2 a33z2 a44 0,a11a22a33 0; (2) a11y2 a22y2 2a34z 0,a11a22a34 0; (3) a11x2 a22y2 a44 0,a11a22 0; (4)a11x2 2a24y 0,a11a24 0; (5)a11x2 a44 0,a11 0.
(11)
x2 a2
y2 b2
1
0;
x2 (13) a2
y2 b2
0;
(15)x2 a2 0;
(17）x2 0.
x2 (12) a2
y2 b2
0;
(14)x2 2 py 0;
(16)x2 a2 0;
类似结论参见 P:201 Th5.5.6 （二次曲面关于正交变换的分类（即度量分类） ）
定理 通过适当选取坐标系，二次曲面的方 程总可以写成下面十七种标准方程的一种形式：
x2 y2 z2 (1) a 2 b 2 c 2 1 0;
x2 y2 z2 (3) a 2 b 2 c 2 1 0;
x2 y2 z2 (5) a 2 b 2 c 2 0;
(7)
x2 a2
y2 b2
二次曲面方程的化简和分类
(P:130 Th4.2.2; P:133 Th4.3.1; P:201 Th5.5.6)
❖ 椭球面 ❖ （单页，双叶）双曲面 ❖ （椭圆，双曲）抛物面 ❖ （椭圆，双曲，抛物）柱面 ❖ 椭圆锥面 ❖ （两相交，两平行，重合）平面 ❖ 一条直线 ❖ 一点
（双曲，抛物）锥面
例：求锥顶在原点，准线的方程为 x 2 2py
双曲线，抛物线认为是同一类曲线）参见：尤承业《解析几何》P:275
x2 a2
y2 b2
2z
x2 y2 2z a2 b2
Thank you!
的锥面方程
z 1
解：任取准线上一点P1(x1,y1,z1),则过点P1和原点O(0,0,0) 的直线方程为： x y z ，
x1 y1 z1
又P1(x1,y1Βιβλιοθήκη z1)在准线上，故x1 2
2py 1
z1 1
由上述4个方程消去其中的参数x1,y1,z1所得的
方为 x2 2pyz
注：此方程的图形比原锥面多了整个y轴（原点除外）， 类似对准线为双曲线的锥面图形在几何直观上是不完整的， 通过添上无穷远点可得到完整图形。（射影几何：椭圆，
2z
0;
(9)
x2 a2
y2 b2
1
0;
x2 y2 z2 (2) a 2 b 2 c 2 1 0;
x2 y2 z2 (4) a 2 b 2 c 2 1 0;
x2 y2 z2 (6) a 2 b 2 c 2 0;
(8)
x2 a2
y2 b2
2z
0;
(10 )
x2 a2
y2 b2
1
0;